世界数学难题

庞加莱猜想 已证成立 庞加莱猜想 已证成立 庞加莱猜想庞加莱猜想最早是由法国数学家庞加莱提出的一个猜想 是克雷数学研究所悬 赏的数学方面七大千禧年难题之一 2006 年确认由俄罗斯数学家格里戈里 佩 雷尔曼完成最终证明 他也因此在同年获得菲尔兹奖 但并未现身领奖 1 2 基本描述基本描述 在 1904 年发表的一组论文中 庞加莱提出以下猜想 任一单连通单连通的 封闭封闭的三维流形流形与三维球面同胚同胚 上述简单来说就是 每一个没有破洞的封闭三维物体 都拓扑等价于三维的球 面 粗浅的比喻即为 如果我们伸缩围绕一个苹果表面的橡皮带 那么我们可 以既不扯断它 也不让它离开表面 使它慢慢移动收缩为一个点 另一方面 如果我们想象同样的橡皮带以适当的方向被伸缩在一个轮胎面上 那么不扯断 橡皮带或者轮胎面 是没有办法把它不离开表面而又收缩到一点的 我们说 苹果表面是 单连通的 而轮胎面不是 该猜想是一个属于代数拓扑学领域的具有基本意义的命题 对 庞加莱猜想 的证明及其带来的后果将会加深数学家对流形性质的认识 甚至会对人们用数 学语言描述宇宙空间产生影响 证明历史证明历史 2020 世纪世纪 这个问题曾经被搁置了很长时间 直到 1930 年怀特海 J H C Whitehead 首先宣布已经证明然而又收回 才再次引起了人们的兴趣 怀特海提出了一些 有趣的三流形实例 其原型现在称为怀特海流形 1950 和 1960 年代 又有许多著名的数学家包括 R H 宾 R H Bing 沃 夫冈 哈肯 Wolfgang Haken 爱德华 摩斯 Edwin E Moise 和 Christos Papakyriakopoulos 声称得到了证明 但最终都发现证明存在致命缺 陷 1961 年 美国数学家史提芬 斯梅尔采用十分巧妙的方法绕过三 四维的 困难情况 证明了五维以上的庞加莱猜想 这段时间对于低维拓扑的发展非常 重要 这个猜想逐渐以证明极难而知名 但是证明此猜想的工作增进了对三流 形的理解 1981 年美国数学家麦克 傅利曼 Michael Freedman 证明了四维 猜想 至此广义庞加莱猜想得到了证明 1982 年 理查德 汉密尔顿引入了 瑞奇流 的概念 并以此证明了几种特殊 情况下的庞加莱猜想 在此后的几年中 他进一步地发展了此方法 后来被佩 雷尔曼的证明所使用 2121 世纪世纪 俄罗斯数学家格里戈里 佩雷尔曼 在 2002 年 11 月和 2003 年 7 月之间 俄罗斯的数学家格里戈里 佩雷尔曼在 arXiv org 发表了三篇论文预印本 并声称证明了几何化猜想 在佩雷尔曼之后 先后有 3 组研究者发表论文补全佩雷尔曼给出的证明中缺少 的细节 这包括密歇根大学的布鲁斯 克莱纳和约翰 洛特 哥伦比亚大学的 约翰 摩根和麻省理工学院的田刚 以及理海大学的曹怀东和中山大学的朱熹 平 据报道 3 2006 年 6 月 3 日 丘成桐曾表示曹怀东和朱熹平第一个给出了 庞加莱猜想的完全证明 4 2006 年 8 月 第 25 届国际数学家大会授予佩雷尔曼菲尔兹奖 但佩雷尔曼拒 绝接受该奖 5 数学界最终确认佩雷尔曼的证明解决了庞加莱猜想 2010 年 3 月 18 日 克雷数学研究所对外公布 俄罗斯数学家格里戈里 佩雷 尔曼 俄语 1966 年 6 月 13 日出生 因为破解庞加莱猜想而荣膺千 禧年大奖 6 7 纽约客纽约客 专文及相关争议专文及相关争议 2006 年 8 月 28 日出版的 纽约客 杂志发表西尔维亚 娜莎和大卫 格鲁伯 的长文 流形的命运 传奇问题以及谁是破解者之争 该文介绍了佩雷尔 曼等人的工作并描画了 一个令人厌恶的丘成桐的形象 暗示他为他的学生曹 怀东和他支持的朱熹平的工作宣传了过多的功劳 8 此文发表后 引发了 很大争议 包括汉密尔顿在内的多名数学家发表声明表示文章没有正确地反映 他们对丘的评价 丘成桐也表示可能采取法律行动 一名加州理工学院的研究者指出曹 朱论文 4 中引理 7 1 2 与克莱纳和洛特 2003 年发表的成果 9 几乎完全相同 据此 洛特指责曹和朱两人有剽窃的行为 此后 曹怀东和朱熹平在原刊发表纠错声明 确认了此引理是克莱纳和洛特的 成果 解释没有指明出处是由于编辑上的差错 并为此向两位原作者致歉 P NPP NP 问题问题 P NPP NP 问题问题是在理论信息学中计算复杂度理论领域里至今没有解决的问题 它被 克雷数学研究所 Clay Mathematics Institute 简称 CMI 在千禧年大 奖难题中收录 P NP 问题中包含了复杂度类 P 与 NP 的关系 1971 年史提 芬 古克 Stephen A Cook 和 Leonid Levin 相对独立的提出了下面的问题 即是否两个复杂度类 P 和 NP 是恒等的 P NP P P 和和 NPNP 复杂度类 P P 即为所有可以由一个确定型图灵机在多项式表达的时间内解决的问 题 类 NPNP 由所有可以在多项式时间内验证解是否正确的决定问题组成 或者等 效的说 那些解可以在非确定型图灵机上在多项式时间内找出的问题的集合 很可能 计算理论最大的未解决问题就是关于这两类的关系的 P P 和 NPNP 相等吗 在 2002 年对于 100 研究者的调查 61 人相信答案是否定的 9 个相信答案是肯 定的 22 个不确定 而 8 个相信该问题可能和现在所接受的公理独立 所以不 可能证明或证否 1 对于正确的解答 有一个 1 000 000 美元的奖励 NP 完全问题 或者叫 NPCNPC 的集合在这个讨论中有重大作用 它们可以大致的 被描述为那些在 NPNP 中最不像在 P P 中的 确切定义细节请参看 NP 完全理论 计算机科学家现在相信 P P NPNP 和 NPCNPC 类之间的关系如图中所示 其中 P P 和 NPCNPC 类不交 假设 P P NPNP 的复杂度类的图解 如 P P NPNP 则三个类相同 简单来说 P P NPNP 问题问道 如果是 不是问题的正面答案可以很快验证 其 答案是否也可以很快计算 这里有一个给你找点这个问题的感觉的例子 给定 一个大数Y 我们可以问Y是否是复合数 例如 我们可能问 53308290611 是 否有非平凡的因子 答案是肯定的 虽然手工找出一个因子很麻烦 从另一个 方面讲 如果有人声称答案是 对 因为 224737 可以整除 53308290611 则我 们可以很快用一个除法来验证 验证一个数是除数比找出一个明显除数来简单 得多 用于验证一个正面答案所需的信息也称为证明 所以我们的结论是 给 定正确的证明 问题的正面答案可以很快地 也就是 在多项式时间内 验证 而这就是这个问题属于 NPNP 的原因 虽然这个特定的问题 最近被证明为也在 P P 类中 参看下面的关于 质数在 P 中 的参考 这一点也不明显 而且有很多 类似的问题相信不属于类 P P 像上面这样 把问题限制到 是 不是 问题并没有改变原问题 即没有降低 难度 即使我们允许更复杂的答案 最后的问题 是否 FP FNP 是等价的 学术定义学术定义 更正式一些 一个决定问题是一个取一些字符串为输入并要求输出为是或否的 问题 若有一个算法 譬如图灵机 或一个 LISP 或 Pascal 的程序并有无限的 内存 能够在最多nk步内对一个串长度为n的输入给出正确答案 其中k是某 个不依赖于输入串的常数 则我们称该问题可以在多项式时间内解决 并且将 它置入类 P P 直观的讲 我们将 P P 中的问题视为可以较快解决的问题 现在假设有一个算法 A w C 取两个参数 一个串w 也就是我们的决定问题的 输入串 而另一个串C是 建议证明 并且使得 A 在最多nk步之内产生 是 否 答案 其中n是w的长度而k不依赖于w 进一步假设 w是一个答案为 是 的例子 当且仅当 存在C使得 A w C 返回 是 则我们称这个问题可以在非决定性多项式时间内解决 且将它放入 NPNP 类 我们 把算法 A 作为一个所建议的证明的检验器 它运行足够快 注意缩写 NPNP 代表 N Non deterministic 非确定性 P Polynomial 多项式 而不是代表 N Non P Polynomial 非多项式 NPNP 完全完全 要解决 P P NPNP 问题 NPNP 完全的概念非常有用 不严格的讲 NPNP 完全问题是 NPNP 类中 最难 的问题 也就是说它们是最可能不属于 P P 类的 这是因为任何NPNP 中的问题可以在多项式时间内变换成为任何特定 NPNP 完全问题的一个特例 例如 旅行推销员问题的判定问题版本是 NPNP 完全的 所以 NPNP 中的任何问题的任何特 例可以在多项式时间内机械地转换成旅行商问题的一个特例 所以若旅行商问 题被证明为在 P P 内 则 P P NPNP 旅行商问题是很多这样的 NPNP 完全的问题之一 若任何一个 NPNP 完全的问题在 P P 内 则可以推出 P P NPNP 不幸的是 很多重要 的问题被证明为 NPNP 完全 但没有一个有已知快速的算法 更难的问题更难的问题 虽然是否 P P NPNP 还是未知的 在 P P 之外的问题是已经知道存在的 寻找国际象棋 或围棋最佳走法 在n乘n棋盘上 是指数时间完全的 因为可以证明 P EXPTIME 指数时间 这些问题位于 P P 之外 所以需要比多项式时间更多的时 间 判定 Presburger 算术中的命题是否为真的问题更加困难 Fischer 和 Rabin 于 1974 年证明每个决定 Presburger 命题的真伪性的算法有最少 22cn的 运行时间 c为某个常数 这里 n是 Presburger 命题的长度 因此 该命题 已知需要比指数时间更多的运行时间 不可判定问题是更加困难的 例如停机 问题 它们无法在任何给定时间内解决 P P 真的容易处理吗 真的容易处理吗 上面所有的讨论 假设了 P P 表示 容易 而 不在 P P 中 表示 困难 这是 一个在复杂度理论中常见而且有一定准确性的假设 它在实践中却不总是真的 原因包括如下几点 它忽略了常数因子 一个需要 101000n时间的问题是属于 P P 的 它是线性 时间的 但是事实上完全无法处理 一个需要 10 100002n时间的问题不 是在 P P 中的 它是指数时间的 但是对于n取值直到几千时还是很容 易处理的 它忽略了指数的大小 一个时间复杂度n1000属于 P P 但是很难对付 已 经证明在 P P 中存在需要任意大的指数的问题 参看时间等级定理 一 个时间复杂度 2n 1000的问题不属于 P P 但对与n直到几千还是容易应对 的 它只考虑了最坏情况的复杂度 可能现实世界中的有些问题在多数时候 可以在时间n中解决 但是很偶尔你会看到需要时间 2n的特例 这个问 题可能有一个多项式的平均时间 但最坏情况是指数式的 所以该问题 不属于 P P 它只考虑确定性解 可能有一个问题你可以很快解决如果你可以接受出 现一点误差的可能 但是确保正确的答案会难得多 这个问题不会属于 P P 虽然事实上它可以很快求解 这实际上是解决属于 NPNP 而还不知道是 否属于 P P 的问题的一个办法 参看 RPRP BPPBPP 新的诸如量子计算机这样的计算模型 可能可以快速的解决一些尚未知 道是否属于 P P 的问题 但是 没有一个它们已知能够解决的问题是 NPNP 完 全的 不过 必须注意到 P P 和 NPNP 问题的定义是采用像图灵机这样的经典 计算模型的术语表述的 所以 即使一个量子计算机算法被发现能够有 效的解决一个 NPNP 完全问题 我们只是有了一个快速解决困难问题的实际 方法 而不是数学类 P P 和 NPNP 相等的证明 计算机科学家为什么认为计算机科学家为什么认为 P P NPNP 多数计算机科学家相信 P P NPNP 该信念的一个关键原因是经过数十年对这些问 题的研究 没有人能够发现一个 NP 完全问题的多项式时间算法 而且 人们早 在 NP 完全的概念出现前就开始寻求这些算法了 Karp 的 21 个 NP 完全问题 在最早发现的一批中 有所有著名的已经存在的问题 进一步地 P NP 这 样的结果会导致很多惊人的结果 那些结果现在被相信是不成立的 例如 NP 反 NP 和 P PH 也有这样论证的 问题较难求解 NP 但容易验证 P 这和我们日常经验是 相符的 从另一方面讲 某些研究者认为我们过于相信 P P NPNP 而应该也去寻找 P P NPNP 的证明 例如 2002 年中有这样的声明 2 倾向 P NP 的主要论据是在穷尽搜索的领域完全没有本质进展 也就是 说 以我的观点 一个很弱的论据 算法的空间是很大的 而我们只是 在开始探索的起点 费马最后定理的解决也显示非常简单的 sic 问题可能只有用非常深刻的理论才能解决 摩西 瓦迪 Moshe Vardi 莱斯大学 过分依赖某种投机的猜测不是规划研究的一个好的导引 我们必须总是 尝试每个问题的两个方向 偏见可能导致著名的数学家无法解决答案和 他们的预计相反的著名问题 虽然他们发展了所有所需的方法 Anil Nerode 康奈尔大学 关于证明的难度的结果关于证明的难度的结果 虽然百万美元的奖金和投入巨大却没有实质性结果的大量研究足以显示该问题 是困难的 但是还有一些形式化的结果证明为什么该问题可能很难解决 最常被引用的结果之一是设计神谕 假想你有一个魔法机器可以解决单个问题 例如判定一个给定的数是否为质数 可以瞬间解决这个问题 我们的新问题是 若我们被允许任意利用这个机器 是否存在我们可以在多项式时间内验证但无 法在多项式时间内解决的问题 结果是 依赖于机器能解决的问题 P P NPNP 和 P P NPNP 二者都可以证明 这个结论带来的后果是 任何可以通过修改来证明 该机器的存在性的结果不能解决问题 不幸的是 几乎所有经典的方法和大部 分已知的方法可以这样修改 我们称它们在相对化 如果这还不算太糟的话 1993 年 Razborov 和 Rudich 证明的一个结果表明 给 定一个特定的可信的假设 在某种意义下 自然 的证明不能解决 P P NPNP 问题 3 这表明一些现在似乎最有希望的方法不太可能成功 随着更多这类定理得 到证明 该定理的可能证明方法有越来越多的陷阱要规避 这实际上也是为什么 NPNP 完全问题有用的原因 若对于 NP 完全问题存在有一个 多项式时间算法 或者没有一个这样的算法 这将能用一种相信不被上述结果 排除在外的方法来解决 P P NPNP 问题 多项式时间算法多项式时间算法 没人知道多项式时间算法对于 NP 完全问题是否存在 但是如果这样的算法存在 我们已经知道其中的一些了 例如 下面的算法正确的接受了一个 NP 完全语言 但是没人知道通常它需要多久运行 它是一个多项式时间算法当且仅当 P P NPNP 接受 NP 完全语言的一个算法子集和 这是一个多项式时间算法当且仅当 P NP 多项式时间 表示它在多项式时间内返回 是 若 结果是 是 否则永远运行 输入 S 一个自然数的有限集 输出 是 如果某个 S 的子集加起来等于 0 否则 它永远运行没有输出 注意 程序数 P 是你将一个整数 P 写为二进制 然后 将位串考虑为一个程序 每个可能的程序都可以这样产生 虽然多数什么也不做因为有语法错误 FOR N 1 infinity FOR P 1 N 以 S 为输入运行程序数 P N 步 IF 程序输出一个不同的整数的列表 AND 所有整数都在 S 中 AND 整数的和为 0 THEN OUTPUT 是 并 停机 若 P P NPNP 则这是一个接受一个 NP 完全语言的多项式时间算法 接受 表 示它在多项式时间内给出 是 的答案 但允许在答案是 否 的时候永远运 行 可能我们想要 解决 子集和问题 而不是仅仅 接受 子集和语言 这表示 我们想要它总是停机并返回一个 是 或 否 的答案 是否存在任何可能在 多项式时间内解决这个问题的算法 没有人知道 但是如果这样的算法存在 那么我们已经知道其中的一些了 只要将上面的算法中的 IF 语句替换成下面的 语句 IF 程序输出一个完整的数学证明 AND 证明的每一步合法 AND 结论是 S 确实有 或者没有 一个和为 0 的子集 THEN OUTPUT 是 或者 不是 如果那被证明了 并停机 逻辑表述逻辑表述 P NP 问题可以用逻辑命题的特定类的可表达性的术语来重新表述 所有 P 中的 语言可以用一阶逻辑加上最小不动点操作 实际上 这允许了递归函数的定义 来表达 类似地 NP 是可以用存在性二阶逻辑来表达 也就是 在关系 函数 和子集上排除了全称量词的二阶逻辑 多项式等级 PH 中的语言对应与所有的 二阶逻辑 这样 P 是 NP 的真子集吗 这样的问题可以表述为 是否存在性 二阶逻辑能够表达带最小不动点操作的一阶逻辑的所不能表达的语言 霍奇猜想霍奇猜想 霍奇猜想霍奇猜想是代数几何的一个重大的悬而未决的问题 它是关于非奇异复代数簇 的代数拓扑和它由定义子簇的多项式方程所表述的几何的关联的猜想 它在霍 奇的著述的一个结果中出现 他在 1930 至 1940 年间通过包含额外的结构丰富 了德拉姆上同调的表述 这种结构出现于代数簇的情况 但不仅限于这种情况 黎曼猜想黎曼猜想 黎曼猜想黎曼猜想由德国数学家波恩哈德 黎曼于 1859 年提出 它是数学中一个重要而 又著名的未解决的问题 多年来它吸引了许多出色的数学家为之绞尽脑汁 黎曼猜想黎曼猜想 黎曼 函数 非平凡零点 在此情况 下是指 s 不为 2 4 6 等点的值 的实数部份是 未解决的数学问题未解决的数学问题 黎曼 函数的每个非 平凡零点的实部是否 同为 黎曼猜想 RH 是关于黎曼 函数 s 的零点分布的猜想 黎曼 函数在 任何复数s 1 上有定义 它在负偶数上也有零点 例如 当s 2 s 4 s 6 这些零点是 平凡零点 黎曼猜想关心的是非平凡零 点 黎曼猜想提出 黎曼 函数非平凡零点的实数部份是 即所有的非平凡零点都应该位于直线 ti 临界线 上 t为一实数 而i为虚数的基本单位 沿临界线的黎曼 函数有时通过 Z 函数进行研究 它的实零点对应于 函数在临界线上的零点 素数在自然数中的分布问题在纯粹数学和应用数学上都很重要 素数在自然数 中的分布并没有简单的规律 黎曼 1826 1866 发现素数出现的频率与黎曼 函数紧密相关 1901 年 Helge von Koch 指出 黎曼猜想与强条件的素数定理 等价 现在已经验证了最初的 1 500 000 000 个素数对这个定理都成立 但是是否所有的解对此定理都成立 至今尚无人给 出证明 黎曼猜想所以被认为是当代数学中一个重要的问题 主要是因为很多深入和重 要的数学和物理结果都能在它成立的大前提下被证明 大部份数学家也相信黎 曼猜想是正确的 约翰 恩瑟 李特尔伍德与塞尔伯格曾提出怀疑 塞尔伯格 于晚年部分改变了他的怀疑立场 在 1989 年的一篇论文中 他猜测黎曼猜想对 更广泛的一类函数也应当成立 克雷数学研究所设立了 1 000 000 美元的奖 金给予第一个得出正确证明的人 编辑 历史历史 黎曼 函数在临界线 Re s 1 2 上的实部 红色 和虚部 蓝色 我们可 以看到最起初的几个非平凡零点就位于 Im s 14 135 21 022 和 25 011 上 黎曼 函数实部与虚部的数值比较图 也就是 Re s vs Im s 沿 着临界线s it 1 2 t 由 0 到 34 黎曼 1859 年在他的论文 ber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Gr e 中提及了这个著名的猜想 但它并非该论文的中心目的 他也没有试图给出证明 黎曼知道 函数的不平凡零点对称地分布在直线s it上 以及他知道它所有的不平凡零点一定位于区域 0 Re s 1 中 1896 年 雅克 阿达马和 Charles Jean de la Vall e Poussin 分别独立地证 明了在直线 Re s 1 上没有零点 连同了黎曼对于不非凡零点已经证明了的 其他特性 这显示了所有不平凡零点一定处于区域 0 Re s 0 我们有 式中 x 为素数计数函数 ln x 为x 的自然对数 以及右手边用上了大 O 符 号 1 一个由 Lowell Schoenfeld 提出的非近似版本 表示黎曼猜想等价于 黎曼 函数的零点与素数满足一个称为明确公式明确公式的对偶性 这表明了 在调和 分析的意义下 黎曼 函数的零点可视为素数分布的谐波 将黎曼 函数代为更一般的 L 函数 此时仍有相应的猜想 整体 L 函数的非 平凡零点的实部必等于 这被称为广义黎曼猜想 函数域上的广义黎曼猜 想已被证明 数域的情形仍悬而未决 黎曼猜想之结果及其等价命题黎曼猜想之结果及其等价命题 黎曼猜想的实际用途包括一些在黎曼猜想成立前提底下能被证明为真的命题 当中有些更被证明了跟黎曼猜想等价 其中一个就是以上素数定理误差项的增 长率 编辑 默比乌斯函数的增长率默比乌斯函数的增长率 其中一个命题牵涉了默比乌斯函数 命题 等式 在s的实部大于 的时候成立 而且右边项的和收敛 就等价于黎曼猜想 由此 我们能够总结出假如 Mertens 函数的定义为 那黎曼猜想就等价于对任何都有 这将会对于M的增长给出了一个更紧的限制 因为即使没有黎曼猜想我们也能 得出 关于这些符号的意思 见大 O 符号 积性函数增长率积性函数增长率 黎曼猜想等价于一些除 n 以外一些积性函数增长率的猜想 例如 因子函 数 n 由下式给出 那在n 5040 的时候 这名为 Robin 定理并在 1984 年以 Guy Robin 命名 另一个有关的上限在 2002 年由 Jeffrey Lagarias 提出 他证明了黎曼猜想等价于命题 对于任意自然数 n 而为第n个调和数 里斯判准与二项式系数和里斯判准与二项式系数和 里斯判准由里斯在 1916 年给出 2 它断言黎曼猜想等价于下式对所有成 立 哈代稍后于 1918 年以波莱尔求和法及梅林变换证明了下式的积分表法 其它相关的积性函数的增长率也具有与黎曼猜想等价的表述 考虑二项式系数和 B ez Duarte 3 4 与 Flajolet Brigitte Vall e 5 证明了黎曼猜想等价于对所 有的下式成立 类似的还有以下级数 对此 Flajolet 与 Vepstas 6 证明了黎曼猜想等价于对所有的下式成立 其中的是依赖于 的某个常数 韦伊判准 李判准韦伊判准 李判准 韦伊判准断言某些函数的正定性等价于广义黎曼猜想 与此相似的还有李判准 这断言某些数列的正性等价于黎曼猜想 编辑 跟法里数列的关系跟法里数列的关系 另外两个跟黎曼猜想等价的命题牵涉了法里数列 假如Fn是法里数列中的第 n 项 由 1 n开始而终于 1 1 那命题 给出任何e 等价于黎曼猜想 在这里是法里数列中 n 阶项的数目 类似地 等价于黎曼猜想的命题是 给出任何e 1 跟群论的关系跟群论的关系 黎曼猜想等价于群论中的一些猜想 举例说 g n 是对称群Sn的所有元素 的秩之中 最大的一个 也就是兰道函数 则黎曼猜想等价于 对够大的n 下式成立 与埃拉托斯特尼筛法的关系与埃拉托斯特尼筛法的关系 参见埃拉托斯特尼筛法 黎曼猜想的素数公式直接来源于埃拉托斯特尼筛法的 过程 临界线定理临界线定理 黎曼猜想等价于命题 的导函数在区域 上无零点 函数 在临界线上只有单零点的充要条件是其导函数在临界线 上非零 所以若黎曼猜想成立 命题中的非零区域可以延伸为 这条进路带来了一些成果 Norman Levinson 将此条件加细 从而得到了较强 的临界线定理 已否证的猜想已否证的猜想 一些比黎曼猜想强的猜想曾被提出 但它们有被否证的趋势 Paul Turan 证明 了假如级数 当s大于 1 时没有零点 则黎曼猜想成立 但 Hugh Montgomery 证明了这前提 并不成立 另一个更强的梅滕斯猜想也同样被否证 相对弱的猜想相对弱的猜想 Lindel fLindel f 猜想猜想 黎曼猜想有各种比较弱的结果 其中一个是关于 函数于临界线上的增长速度 的 Lindel fLindel f 猜想猜想 表明了给出任意的e 0 当t趋向无限 记第n 个素数为pn 一个由 Albert Ingham 得出的结果显示 Lindel f 猜想将 推导出 给出任意e 0 对足够大的n 有 pn 1 pn 1 没有正整数解 1965 年柯召证明方程x2 yb 1 b 1 只有一个解 于是卡塔兰猜想只余下为奇素数的情况 1976 年罗贝特 泰德曼 Robert Tijdeman 证明卡塔兰猜想的方程只有 有限个解 雷 斯坦纳 Ray Steiner 和莫里斯 米尼奥特 Maurice Mignotte 也对这猜想作出贡献 皮莱猜想 把卡塔兰猜想一般化 推测正整数的幂之间的差趋向无限大 换句 话说 对任何正整数 仅有限多对正整数的幂的差是这个数 这猜想现在仍未 解决 几何化猜想几何化猜想 已证成立已证成立 威廉 瑟斯顿 Thurston 的几何化猜想几何化猜想 geometrizationgeometrization conjectureconjecture 指的 是 任取一个紧致 可能带边 的三维流形尽量作连通和以使其成为尽可能简 单的三维流形的连通和 对于带边流形可能还需要沿着一些圆盘继续切割 有 唯一的方法沿着一些环面 如果是带边流形还要加上平环 割开得到尽可能简 单的若干小块 这些小块均为八种标准几何结构之一 八种标准几何结构均为完备的黎曼度量 这些几何结构在某种意义上是比较 好 的 例如体积有限 直线 都可无限延伸等等 1 标准球面 S 具有常曲率 l 2 欧氏空间 R 具有常曲率 0 3 双曲空间 H 具有常曲率 1 4 S S 5 H S 6 特殊线性群 2 R 上左不变黎曼度量 7 幂零几何 8 可解几何 abcabc 猜想猜想 abcabc 猜想猜想最先由乔瑟夫 奥斯达利 Joseph Oesterl 及大卫 马瑟 David Masser 在 1985 年提出 此猜想仍未被证明 却衍生一 BOINC 项目名为 ABC Home 内容内容 它说明对于任何 存在常数 使得对于任何三个满足 及互质的正整数 有 在此表示 的质因子的积 如 abc 猜想与诸多丢番图方程 不定方程问题 紧密相关 如费马大定理 当时 方程无整数解 历史历史 1996 年 艾伦 贝克 Alan Baker 提出一个较为精确的猜想 将用 取代 在此 是的不同质因子的数目 2012 年 8 月 日本京都大学数学家望月新一发表长约五百页的 abc 猜想的证明 以泰赫米勒理论为基础 1 2 3 该证明目前正由其他数学专家检查中 考拉兹猜想考拉兹猜想 考拉兹猜想考拉兹猜想 英语 Collatz conjecture 又称为 3n3n 1 1 猜想猜想 冰雹猜想冰雹猜想 角谷猜想角谷猜想 哈塞猜想哈塞猜想 乌拉姆猜想乌拉姆猜想或叙拉古猜想叙拉古猜想 是指对于每一个正整数 如 果它是奇数 则对它乘 3 再加 1 如果它是偶数 则对它除以 2 如此循环 最 终都能够得到 1 取一个数字 如 n 6 根据上述数式 得出 6 3 10 5 16 8 4 2 1 步骤中最 高的数是 16 共有 8 个步骤 如 n 11 根据上述数式 得出 11 34 17 52 26 13 40 20 10 5 16 8 4 2 1 步骤中最高的 数是 52 共有 14 个步骤 如 n 27 根据上述数式 得出 27 82 41 124 62 31 94 47 142 71 214 107 322 161 484 24 2 121 364 182 91 274 137 412 206 103 310 155 466 233 700 350 175 526 263 790 395 1186 593 1780 890 445 1336 668 334 167 502 251 754 377 1132 566 283 850 425 1276 638 319 958 479 1438 719 2158 1079 3238 1619 4858 2429 7288 3644 1822 911 2734 1367 4102 2051 6154 3077 9232 4616 2308 1154 577 1732 866 433 1300 650 325 976 488 24 4 122 61 184 92 46 23 70 35 106 5