46. 因式分解 专项训练（四）

第八章第八章 因式分解因式分解 专项训练 四 专项训练 四 例题精选例题精选 例例 1 把下列各式分解因式 xx 2 32 xx 2 76 xx 2 421 分析分析 常数项 2 是正数 分解的两个因数必须是同号的两个数 1 2 或 1 2 而再看一次项系数是 3 即分得的这两个因数之和必然是 3 那 么就只能使分得的两个因数是 1 2 解解 11xx 2 32 12 xx12 同学自己试一试如果原题为 呢 应怎样分解 xx 2 32 即左边两数之积是二次项的系数 右边两数之积是常数项 十字交叉相乘积的代数和是一次项的系数 分析分析 二次项系数是 1 只能是 1 与 1 的积 而常数项是 6 有两种可能 性 一种是的积 但如果再考虑一次项系数是 7 那 2316与的积或与 么 常数项 6 就只能分解为 1 与 6 的积 解解 xx 2 76 xx16 如果原题改变为呢 同学们分析一下 还能用 1 与 6 的积吗 xx 2 56 就应改变为 2 与 3 的积了 即xxxx 2 5623 分析分析 常数项 21 可考虑分解为或的积 再考虑到 121与 37与 一次项系数是 4 时 就只能考虑 3 与 7 的积 因为它们的积恰好是 21 而分别与 1 的积的和恰又是 4 解解 xx 2 421 xx37 同学们自己试一试呢 它是否恰分解为 xx 2 421 x 3 x 7 例例 4 把分解因式xx 2 215 解解 因为 15 可以考虑分解为的积 或的积 如果再 115与 35与 考虑到一次项的系数是 2 那么就只能是 3 与 5 的积 口算方法 用 十字 交叉相乘 两 数之和的代数和恰好是一次项的 系数 xx xx 2 32 12 xx xx 2 215 35 自己动手试一试 如果呢 那么是怎样的结果 xx 2 215 例例 5 把下列各式分解因式 1 xx 42 68 2 abab 2 43 3 mmnnmn 22 2228 解解 1 xx 42 68 xx 22 24 如果呢 注意结果 要分解到不能分解为止 xx 42 68 xx xx xxx 42 22 2 68 24 222 解 2 abab 2 43 abab abab 13 13 解 3 mmnnmn 22 2228 分析分析 此多项式为六项式 其中有三项为二次式 两项一次式 一项常数 项 如果考虑上面的例题可否考虑 分别进行分解 再利用十字相乘 解解 mmnnmn 22 2228 mnmn mnmn mnmn 2 28 24 24 例例 6 把下列各式分解因式 1 xxyy 22 45 2 xxx 432 328 3 xx yy 4224 89 分析分析 此类例题 在解题时 可以把它们看成是二次三项式 把看成 5 2 y 是常数项 利用十字相乘进行因式分解 解解 1 xxyy 22 45 xyxy5 2 xxx 432 328 xxx xxx 22 2 328 47 3 xx yy 4224 89 xyxy 2222 9 利用公式还可以分解 xyxyxy 22 33 对于二次项系数不是 1 的二次三项式也可以利用十字相乘方法进行因式分 解 如 2342512 2 xxxx 反过来 对二次三项式因为二次项的系数是2512234 2 xxxx 2 可以分解为的积 常数项 12 可以分解为的积 还可以 12与 112与 分解为的积 还可以分解为 26与 的积 34与 2512234 2 xxxx 我们可以把二次三项式进行因式分解 axbxc 2 因为 a xca xc 1122 a a xa ca c xc c 12 2 122112 所以对于形如 a a xa ca c xc c a xca xc 12 2 1 2211 2 1122 排列如下 像借助画十字交叉线分解系数 从而帮助我们把二次三项式分解因式的方 法 通常叫做十字相乘法 注意注意 在分解时 通常是考虑比较好分解的系数 先确定它是哪两个因数 的积 再考虑较复杂的常数项 或二次项系数 如 31110 2 xx 二次项系数是 3 常数项是 10 比较起来还是 3 比较简单 分解为 1 与 3 的积 而 10 可以是的积 也可以是的积 110与 25与 31110 2 35 2 xx xx 例例 7 分解因式 1 3 21211 2 xx 2 2523xyxyxy 3 2533165 22 xxyyxy 分析分析 此种例题 可以仿照十字相乘法进行因式分解 如果假设 则 1 式可变形为 所以在进行运算过程中 完全 21xA 为310 2 AA 可以利用十字相乘进行 只不过 1 乘以 3 不只是表示一个字母 而是表示一个 代数式 21x 解解 1 3 212110 2 xx 3 212110 212 3 215 21 68 2 21 34 2 xx xx xx xx 2 2523xy xyxy 利用十字相乘把之积直接用在十字相乘当中就可以了 2xyxy 与 2523 231 xy xyxy xyxy 3 2533165 22 xxyyxy 分析分析 前面三项是关于 x y 的二次三项式 中间的两项恰好是关于 x y 的 一次二项式 最后一项是常数项 同样可以利用十字相乘法进行运算 解法一解法一 2533165 22 xxyyxy xyxyxy xyxy 323165 31 25 解法二解法二 分析分析 此多项式为二次六项式 其中三项是二次式 两项为一次式 一项 是常数项 必是两个一次三项式相乘而来 即形如而此 axbm cxdn 两项式里的可以得知分别为 1 3 2 1 即前三项为二次三项式abcd 可分解为 那么就只要待定就可以了 xyxy 32mn 解解 2533165 22 xxyyxy xyxyxy323165 设原式 xymxyn32 xyxymn xmn ymn3223 由题意可得 231 3162 53 mn mn mn 解 1 2 方程组得 m n 1 5 原式 xyxy31 25 专项训练专项训练 一 用分组分解法分解因式一 用分组分解法分解因式 1 414 22 xyxy 2 xzyzxxyy 22 2 3 a ba ba bab 423324 4 254129 222 yaabb 5 a bababababab 2222 41422 提示 把看作 6 231223311 222 xxxx 7 63882 22 axaybxbxyby 二 利用十字相乘分解因式二 利用十字相乘分解因式 1 aa 2 43 2 xx 2 56 3 xx 2 34 4 xx 2 34 5 xx nn2 310 6 23 22 xxyy 7 65 22 xxyy 8 246 2 xx mm 9 24 23 2 xyxy 10 xyxy 2223 2 11 xxyyxy 22 69392 12 xxyyxy 22 6628 13 mmnnmn 22 2556 三 三 1 已知 的值 ababab 22 32 求 2 已知 的值 ababab 23 33 求 答案答案 一 一 1 1212 xyxy 2 3 42323 511 61 21 2310 72342 2 2 5 5 xy zxy ab ab ab yabyab abab abab xxxx