2010年高中数学高考热点：攻略函数

用心 爱心 专心 2010 年高考数学热点 攻略函数年高考数学热点 攻略函数 一 考情分析 函数是高中数学中重要的基础知识 也是高中数学的主体知识 函数是高中数学的核心内容 是学习高等数学的基础 函数的思想方法贯穿中学数学的始终 利用函数思想可以解决很多 数学问题 最能体现学生能力和水平的学习内容 为历年高考考查的重点 在高考中函数问 题具有以下几个特点 1 以函数概念的深化理解与函数图象及性质的灵活运用构成命题的核心 近年来 求函数的值域 或最值 及活用奇偶性 单调性 周期性 对称性成为高考的热点 问题 重点考查二次函数 指数函数 对数函数 幂函数 分段函数及抽象函数的有关性质 并且利用函数性质灵活解题 函数的单调性常用来判断 证明 比较大小 求单调区间及有 关参数的范围 奇偶性则经常扩展到图象的对称性 且与单调性和周期性联系在一起 解决 较复杂的问题 尤其值得注意的是 凡涉及到函数 方程和不等式的问题 必须首先考虑定 义域 这也是学生解决问题时容易忽略的地方 2 创设新情景 考查学生阅读理解领悟新信息的能力 近年来 新信息题成为新课标函数改革的一个新的亮点 和应用题一样 它考查了学生阅 读 理解能力 提炼数学问题的能力 以及用数学语言表达的能力 要求学生仔细阅读 抓 住信息 透彻理解 准确解题 有许多新定义或抽象函数是建立在一定特殊函数的基础上 解决这样的问题可以将熟知的函数作为依托去构思 但解答时不能写特殊函数 应遵循新定 义或抽象函数所满足的规律 3 在函数与其他知识的网络交汇点设计试题 培养解决综合问题的能力 4 引进探索题与开放题 培养学生研究与创新的能力 拓展考查功能 新课标的问世 增添了许多研究性的课题 提供了拓展学生思维的视野 高考命题体现了 在这方面的要求 常见的 猜想规律 是否存在 等等均属于探索类型的问题 二 高考预测 函数是中学数学的重要内容 函数方程思想贯穿中学数学的始终 利用函数方程思想可以解 决很多数学问题 因此历年的高考试题多贯穿着函数及其性质这条主线 结合最新的考试说 明及近两年的高考命题趋势 我认为 2010 年将继续贯穿这条主线 主要考察为 考察重点仍是函数概念 性质及应用 考察热点是函数模型的应用 函数的图象和性质 仍可能以函数为背景 以导数为工具 与不等式 解析几何知识交汇点命题 4 重视分段函数和一元二次方程根的分布问题 三 突破策略 函数部分是高中的重要知识内容 同时也是高考的重点 很多同学提到函数就感觉心里没底 其实 在高考中遇到函数题时 想要做到心里踏实 坦然并不难 只需复习时更有针对性和 时效性 了解高考命题的常见题型和考查要点 重点复习 即可做到心中有数 1 攻略之一 扎实打好基础 突出知识结构 深刻理解函数的概念 熟练掌握函数的图象及其性质 抓住知识主干 构建知识网络 以函 数的三要素 性质为主干知识形成知识体系 同时注意各部分知识的横向联系 尤其与不等 式 数列 解析立几何的联系 养成规范书写习惯 因为好的书写习惯 严密的思维推理 认真的学习态度对高考来说至关重要 例 1 2009 辽宁文理 9 已知偶函数 f x 在区间 0 上单调增加 则 用心 爱心 专心 1 21 3 fxf 的 x 取值范围是 1 2 3 3 A 1 2 3 3 B 1 2 2 3 C 1 2 2 3 D 答案 A 分析 此题考察函数的基本性质 没有解析式 只需要弄清楚偶函数的作用以及函数单调性 在解不等式中处理就可以了 解 由已知有 1 21 3 x 即 11 21 33 x 12 33 x 例 2 2009 山东文理 16 已知定义在 R 上的奇函数 xf 满足 4 f xf x 且在区 间 0 2 上是增函数 若方程 f x m m 0 在区间 8 8 上有四个不同的根 1234 x xx x 则 1234 xxxx 分析 本题综合考查了函数的奇偶性 单调性 对称性 周期性 以及由函数图象解答方程问题 运用数形结合的思想和函数与方程的思想解答问题 解 因为定义在 R 上的奇函数 满足 4 f xf x 所以 4 f xfx 所以 由 xf 为奇函数 所以函数图象关于直线 2x 对称且 0 0f 由 4 f xf x 知 8 f xf x 所以函数是以 8 为周期的周期函数 又因为 xf 在区间 0 2 上是增函数 所 以 xf 在区间 2 0 上也是增函数 如图所示 那么方程 f x m m 0 在区间 8 8 上有四个不 同的根 1234 x xx x 不妨设 1234 xxxx 由对称性知 12 12xx 34 4xx 所以 1234 1248xxxx 答案 8 2 攻略之二 加强思想渗透 强化数学意识 函数这一章重要的数学思想方法有函数与方程的思想 数形结合的思想 分类与整合 的思想 转化与化归的思想 有限与无限的思想等 数学方法有配方法 换元法 待定系数 法 二分法 比较法等 用心 爱心 专心 例 3 2009 天津卷文 设 3 0 2 1 3 1 2 1 3log 2log cba 则 A a b c B a c b C b c a D b a c 答案 B 解析 由已知结合对数函数图像和指数函数图像得到 10 0 ca 而 13log2 b 因 此选 B 点评 本试题考查了对数函数和指数函数的性质运用 考查了基本的运算能力和数形结合思 想 例 4 08 北京卷 18 已知函数 2 2 1 xb f x x 求导函数 fx 并确定 f x 的单调区 间 解 2 4 2 1 2 2 1 1 xxbx fx x A 3 222 1 xb x 3 2 1 1 xb x 令 0fx 得 1xb 当 1 1b 即 2b 时 fx 的变化情况如下表 x 1 b 1b 11 b 1 fx 0 当 11b 即 2b 时 fx 的变化情况如下表 x 1 11 b 1b 1 b fx 0 所以 当 2b 时 函数 f x 在 1 b 上单调递减 在 11 b 上单调递增 在 1 上单调递减 当 2b 时 函数 f x 在 1 上单调递减 在 11 b 上单调递增 在 1 b 上单 用心 爱心 专心 调递减 当 11b 即 2b 时 2 1 f x x 所以函数 f x 在 1 上单调递减 在 1 上单调递减 点评 本题考察了函数的单调性以及分类讨论的数学思想方法 3 攻略之三 加强阅读理解 提高表达能力 高考数学试题语言简洁 科学性强 信息量大 熟悉数学语言 包括文字语言 符号语言 逻辑语言 图形语言和数表语言是阅读 理解和表达数学问题的基础 也是高考审题 解题 的关键 应用题的出现 尤其是信息题的出现 对学生的阅读能力有了更高的要求 在复习 中应加强数学语言的培养和训练 要既能正确理解数学的各种语言 文字语言 符号语言 图形语言 并能相互转化 又能条理清晰 准确流畅地表达解题过程 从普通语言中捕捉信 息 将普通语言转化成数学语言 用数学知识和数学思想方法去解决 例 5 2009 湖南卷理 设函数 yf x 在 内有定义 对于给定的正数 K 定 义函数 k f xf xK fx K f xK 取函数 f x 1 2xe 若对任意的 x 恒有 k fx f x 则 A K 的最大值为 2 B K 的最小值为 2 C K 的最大值为 1 D K 的最小值为 1 答案 D 解析 由 10 x fxe 知 0 x 所以 0 x 时 0fx 当 0 x 时 0fx 所以 max 0 1 f xf 即 f x 的值域是 1 而要使 k fxf x 在 R上恒成立 结合条件分别取不同的K值 可得 D 符合 此时 k fxf x 故选 D 项 例 6 2009 四川卷文 设V是已知平面M上所有向量的集合 对于映射 f VV aV 记a的象为 f a 若映射 f VV 满足 对所有a bV 及任意实 数 都有 fabf af b 则 f 称为平面M上的线性变换 现有下列命题 设 f 是平面M上的线性变换 a bV 则 f abf af b 若e是平面M上的单位向量 对 aVf aae 设 则 f 是平面M上的线性变换 对 aVf aa 设 则 f 是平面M上的线性变换 设 f 是平面M上的线性变换 a V 则对任意实数k均有 f kakf a 用心 爱心 专心 其中的真命题是 写出所有真命题的编号 答案 解析 令 1 则 bfafbaf 故 是真命题 同理 令 0 k 则 akfkaf 故 是真命题 aaf 则有 bbf bfafbababaf 是线性变换 故 是真命题 由 eaaf 则有 ebbf ebfafeebeaebabaf e是单位向量 e 0 故 是假命题 点评 本小题主要考查函数 对应及高等数学线性变换的相关知识 试题立意新颖 突出创 新能力和数学阅读能力 具有选拔性质 4 攻略之四 注意平时积累和储存问题模型 复杂的问题往往是一些简单问题的演变和拼接组合 而我们解题的过程则是一个不断分解 转化的过程 注重平时基本题型的积累 就可以敏感地抓住解题过程的结构特征 联想起头 脑中积累的解题方法 如恒成立问题是高考中的热点题型 这就要求我们能熟练掌握其解题规 律 真正弄懂其解法 一般转化类型有 1 axf 恒成立 min xfa 或 axf 恒成立 max xfa 2 f xg x 恒成立 min 0f xg x 或 f xg x 恒成立 max 0f xg x 3 12 f xg x 恒成立 minmax f xg x 常用的解题技巧有分离参数 分类讨论 整体代换等 例 7 08 天津卷 21 已知函数 432 2f xxaxxb x R 其中 Rba 当 10 3 a 时 讨论函数 f x 的单调性 若函数 f x 仅在 0 x 处有极值 求a的取值范围 若对于任意的 2 2 a 不等式 1f x 在 1 1 上恒成立 求b的取值范围 本小题主要考查利用导数研究函数的单调性 函数的最大值 解不等式等基础知识 考查综 合分析和解决问题的能力 用心 爱心 专心 解 322 434 434 fxxaxxxxax 当 10 3 a 时 2 4104 2 21 2 fxxxxxxx 令 0fx 解得 1 0 x 2 1 2 x 3 2x 当x变化时 fx f x 的变化情况如下表 x 0 0 1 0 2 1 2 1 2 2 2 2 fx 0 0 0 f x 极小值 极大值 极小值 所以 f x 在 1 0 2 2 内是增函数 在 0 1 2 2 内是减函数 解 2 434 fxxxax 显然 0 x 不是方程 2 4340 xax 的根 为使 f x 仅在 0 x 处有极值 必须 2 4403xax 成立 即有 2 9640a 解些不等式 得 3 8 3 8 a 这时 0 fb 是唯一极值 因此满足条件的a的取值范围是 8 8 3 3 解 由条件 2 2 a 可知 2 9640a 从而 2 4340 xax 恒成立 当 0 x 时 0fx 当 0 x 时 0fx 因此函数 f x 在 1 1 上的最大值是 1 f 与 1 f 两者中的较大者 为使对任意的 2 2 a 不等式 1f x 在 1 1 上恒成立 当且仅当 1 1 1 1 f f 即 2 2ba ba 在 2 2 a 上恒成立 所以 4b 因此满足条件的b的取值范围是 4 点评 解题能力的提升不是一蹴而就的 这需要一个过程 从某种程度上可以说是一个由量变 用心 爱心 专心 到质变的过程 这就要求同学们平时要注意练习和积累 重点题型 基本解法要搞懂练熟 这样才 能在解题能力上有大的提升 四 考点精炼 1 08 全国一 1 函数 1 yx xx 的定义域为 A 0 x x B 1x x C 10 x x D 01xx 2 2009 全国卷 理 函数 f x 的定义域为 R 若 1 f x 与 1 f x 都是奇函数 则 A f x 是偶函数 B f x 是奇函数 C 2 f xf x D 3 f x 是奇函数 3 08 全国二 3 函数 1 f xx x 的图像关于 A y 轴对称 B 直线 xy 对称 C 坐标原点对称 D 直线 xy 对称 4 2009 北京理 为了得到函数 3 lg 10 x y 的图像 只需把函数 lgyx 的图像上所有的 点 A 向左平移 3 个单位长度 再向上平移 1 个单位长度 B 向右平移 3 个单位长度 再向上平移 1 个单位长度 C 向左平移 3 个单位长度 再向下平移 1 个单位长度 D 向右平移 3 个单位长度 再向下平移 1 个单位长度 5 2009 山东卷理 函数 xx xx ee y ee 的图像大致为 6 07 全国 设 1a 函数 logaf xx 在区间 2 aa 上的最大值与最小值之差为 1 2 用心 爱心 专心 则a A 2 B 2 C 2 2 D 4 7 2009 重庆卷理 若 1 21 x f xa 是奇函数 则a 8 若曲线 2 f xaxInx 存在垂直于 y 轴的切线 则实数a的取值范围是 9 2009 北京文 已知函数 3 1 1 x x f x xx 若 2f x 则x 10 2009 江苏卷 已知 51 2 a 函数 x f xa 若实数m n满足 f mf n 则m n的大小关系为 11 2009 四川卷文 已知函数 32 22f xxbxcx 的图象在与x轴交点处的切线方 程是 510yx I 求函数 f x 的解析式 II 设函数 1 3 g xf xmx 若 g x 的极值存在 求实数m的取值范围以及函数 g x 取得极值时对应的自变量x的值 12 2009 湖南卷理 本小题满分 13 分 某地建一座桥 两端的桥墩已建好 这两墩相距m米 余下工程只需要建两端桥墩之间的桥 面和桥墩 经预测 一个桥墩的工程费用为 256 万元 距离为x米的相邻两墩之间的桥面工 程费用为 2 x x 万元 假设桥墩等距离分布 所有桥墩都视为点 且不考虑其他因素 记余下工程的费用为 y 万元 试写出 y 关于x的函数关系式 当m 640 米时 需新建多少个桥墩才能使 y 最小 用心 爱心 专心 参考答案 C 2 D 解 1 f x 与 1 f x 都是奇函数 1 1 1 1 fxf xfxf x 函数 f x 关于点 1 0 及点 1 0 对称 函数 f x 是周期 2 1 1 4T 的周期函 数 14 14 fxf x 3 3 fxf x 即 3 f x 是奇函数 故选 D 3 C 4 答案 C 解析 本题主要考查函数图象的平移变换 属于基础知识 基本运算的考查 A lg31lg103yxx B lg31lg103yxx C 3 lg31lg 10 x yx D 3 lg31lg 10 x yx 故应选 C 5 解析 函数有意义 需使 0 xx ee 其定义域为 0 xx 排除 C D 又因为 2 22 12 1 11 xxx xxxx eee y eeee 所以当 0 x 时函数为减函数 故选 A 答案 A 6 A 7 答案 1 2 解析 解法 1 12 211 2 x xx fxaa fxf x 用心 爱心 专心 21121 21 1 2211 21 22 xx xxxx aaaa 故 8 解析 由题意该函数的定义域 0 x 由 1 2fxax x 因为存在垂直于 y 轴的切线 故此时斜率为0 问题转化为 0 x 范围内导函数 1 2fxax x 存在零点 解法 1 图像法 再将之转化为 2g xax 与 1 h x x 存在交点 当 0a 不符合题意 当 0a 时 如图 1 数形结合可得显然没有交点 当 0a 如图 2 此时正好有一个交点 故有 0a 应填 0 或是 0a a 9 答案 3 log 2 解析 本题主要考查分段函数和简单的已知函数值求x的值 属于基础知识 基本运算的 考查 由 3 1 log 2 32 x x x 1 22 x xx 无解 故应填 3 log 2 10 解析 考查