二次函数专题

二次函数专题复习二次函数专题复习 考点考点 1 二次函数的图象和性质 二次函数的图象和性质 一 考点讲解 一 考点讲解 1 二次函数的定义 形如 a 0 a b c 为常数 的函数为二次函数 cbxaxy 2 2 二次函数的图象及性质 二次函数 y ax2 a 0 的图象是一条抛物线 其顶点是原点 对称轴是 y 轴 当 a 0 时 抛 物线开口向上 顶点是最低点 当 a 0 时 抛物线开口向下 顶点是最高点 a 越小 抛物线 开口越大 y a x h 2 k 的对称轴是 x h 顶点坐标是 h k 二次函数的图象是一条抛物线 顶点为 对称轴 x 当 cbxaxy 2 2 b a 2 4 4 acb a 2 b a a 0 时 抛物线开口向上 图象有最低点 且 x y 随 x 的增大而增大 x y 2 b a2 b a 随 x 的增大而减小 当 a 0 时 抛物线开口向下 图象有最高点 且 x y 随 x 的增 2 b a 大而减小 x y 随 x 的增大而增大 2 b a 注意 注意 分析二次函数增减性时 一定要以对称轴为分界线 首先要看所要分析的点是否是在对称 轴同侧还是异侧 然后再根据具体情况分析其大小情况 解题小诀窍 解题小诀窍 二次函数上两点坐标为 即两点纵坐标相等 则其对称轴为直线yx 1 yx 2 2 21 xx x 当 a 0 时 当 x 时 函数有最小值 当 a 0 时 当 x 时 函数有最大值 2 b a 2 4 4 acb a 2 b a 2 4 4 acb a 3 图象的平移 将二次函数 y ax2 a 0 的图象进行平移 可得到 y ax2 c y a x h 2 y a x h 2 k 的图象 将 y ax2的图象向上 c 0 或向下 c 0 平移 c 个单位 即可得到 y ax2 c 的图象 其顶点 是 0 c 形状 对称轴 开口方向与抛物线 y ax2相同 将 y ax2的图象向左 h 0 或向右 h 0 平移 h 个单位 即可得到 y a x h 2的图象 其顶 点是 h 0 对称轴是直线 x h 形状 开口方向与抛物线 y ax2相同 将 y ax2的图象向左 h0 或向下 k 0 平移 k 个单 位 即可得到 y a x h 2 k 的图象 其顶点是 h k 对称轴是直线 x h 形状 开口方向 与抛物线 y ax2相同 注意 注意 二次函数 y ax2 与 y ax2 的图像关于 x 轴对称 平移的简记口 诀是 上加下减 左加右减上加下减 左加右减 考点二 二次函数图象上点的坐标特点考点二 二次函数图象上点的坐标特点 1 2012 常州 已知二次函数 y a x 2 2 c a 0 当自变量 x 分别取 3 0 时 对应的2 函数值分别 y1 y2 y3 则 y1 y2 y3的大小关系正确的是 A y3 y2 y1 B y1 y2 y3 C y2 y1 y3 D y3 y1 y2 2 2012 衢州 已知二次函数 y x2 7x 若自变量 x 分别取 x1 x2 x3 且 1 2 15 2 0 x1 x2 x3 则对应的函数值 y1 y2 y3的大小关系正确的是 A y1 y2 y3 B y1 y2 y3 C y2 y3 y1 D y2 y3 y1 3 2012 咸宁 对于二次函数 y x2 2mx 3 有下列说法 它的图象与 x 轴有两个公共点 如果当 x 1 时 y 随 x 的增大而减小 则 m 1 如果将它的图象向左平移 3 个单位后过原点 则 m 1 如果当 x 4 时的函数值与 x 2008 时的函数值相等 则当 x 2012 时的函数值为 3 其中正确的说法是 4 抛物线 y 4 x 2 2 5 的对称轴是 2 函数 y x2 4 的图象与 y 轴的交点坐标是 5 如果将抛物线向右平移 2 个单位 向下平移 3 个单位 平移后二次函 2 2xy 数的关系式是 6 已知直线 y x 与二次函数 y ax2 2x 1 的图象的一个交点 M 的横标为 1 则 a 的值为 7 抛物线 y x2 x 5 的顶点坐标是 直线 y x 2 与抛物线 y x2 2x 的交 点坐标为 8 二次函数的图象上有两点 3 8 和 5 8 则此拋物线的对称轴是cbxxy 2 9 已知点 P a m 和 Q 0 m 是抛物线 y 2x2 4x 3 上的两个不同点 则 a b 10 已知二次函数 a 0 与一次函数 y kx m k 0 的图象相交于点 cbxaxy 2 1 2 A 2 4 B 8 2 如图 1 2 7 所示 能使 y1 y2成立的 x 取值范围是 11 若直线 y ax 6 与抛物线 y x2 4x 3 只有一个交点 则 a 的值为 12 已知 M N 两点关于 y 轴对称 且点 M 在双曲线 y 上 点 N 在直线上 设点 M 的坐标 1 2x 为 a b 则抛物线 y abx2 a b x 的顶点坐标为 考点三 抛物线的特征与考点三 抛物线的特征与 a b c 的关系的关系 一 考点讲解 一 考点讲解 1 a 的符号 a 的符号由抛物线的开口方向决定 抛物线开口向上 则 a 0 抛物线开口向下 则 a 0 2 b 的符号由对称轴决定 若对称轴是 y 轴 则 b 0 若抛物线的顶点在 y 轴左侧 顶点的横坐 标 0 即 0 则 a b 为同号 若抛物线的顶点在 y 轴右侧 顶点的横坐标 2 b a2 b a 0 即 0 则 a b 异号 即 左同右异 2 b a2 b a 3 c 的符号 c 的符号由抛物线与 y 轴的交点位置确定 若抛物线交 y 轴于正半 则 c 0 抛物 线交 y 轴于负半轴 则 c 0 若抛物线过原点 则 c 0 4 的符号 的符号由抛物线与 x 轴的交点个数决定 若抛物线与 x 轴只有一个交点 则 0 有两个交点 则 0 没有交点 则 0 5 a b c 与 a b c 的符号 a b c 是抛物线 a 0 上的点 1 a b c 的纵坐标 cbxaxy 2 a b c 是抛物线 a 0 上的点 1 a b c 的纵坐标 根据点的位置 可 cbxaxy 2 确定它们的符号 1 2012 玉林 二次函数 y ax2 bx c a 0 的图象如图所示 其对称轴为 x 1 有如下结论 c 1 2a b 0 b2 4ac 若方程 ax2 bx c 0 的两根为 x1 x2 则 x1 x2 2 则正确的结论是 A B C D 2 2012 重庆 已知二次函数 y ax2 bx c a 0 的图象如图所示对称轴为 x 下列结论中 1 2 正确的是 A abc 0 B a b 0 C 2b c 0 D 4a c 2b 3 已知二次函数的图象与 x 轴交于点 2 0 x1 0 且 1 x1 2 与 y 轴正半 cbxaxy 2 轴的交点连点 0 2 的下方 下列结论 a b 0 2a c 0 4a c0 的两实根分别为 且 则 满足 A 1 2 B 1 2 C 1 2 D 2 1717 20102010 安徽蚌埠 安徽蚌埠 已知抛物线bxxy 2 2 1 经过点 A 4 0 设点 C 1 3 请在抛物线的 对称轴上确定一点 D 使得CDAD 的值最大 则 D 点的坐标为 18 抛物线y x 1 2 2 关于x轴对称的抛物线的解析式是 关于y轴对称的抛物线的解析式是 关于原点中心对称的抛物线的解析式是 关于顶点中心对称的抛物线 或绕顶点旋转 180 的解析式是 解答题解答题 1 2009 年重庆市江津区 如图 抛物线cbxxy 2 与 x 轴交与 A 1 0 B 3 0 两点 1 求该抛物线的解析式 1x 1 2 y x O 第 14 题 DC B 4 4 A 1 4 2 设 1 中的抛物线交 y 轴与 C 点 在该抛物线的对称轴上是否存在点 Q 使得 QAC 的 周长最小 若存在 求出 Q 点的坐标 若不存在 请说明理由 3 在 1 中的抛物线上的第二象限上是否存在一点 P 使 PBC的面积最大 若存在 求出点 P 的坐标及 PBC的面积最大值 若没有 请说明理由 2 如图 点 A 在 x 轴上 OA 4 将线段 OA 绕点 O 顺时针旋转 120 至 OB 的位置 1 求点 B 的坐标 2 求经过点 A O B 的抛物线的解析式 3 在此抛物线的对称轴上 是否存在点 P 使得以点 P O B 为顶点的三角形是等腰三角形 若存在 求点 P 的坐标 若不存在 说明理由 3 2009 威海 如图 在直角坐标系中 点A B C 的坐标分别为 1 0 3 0 0 3 过 A B C 三点的抛物线的对称轴为直线 D 为对称轴 上一动点 l 1 求抛物线的解析式 2 求当 AD CD 最小时点的坐标 D 3 以点为圆心 以为半径作 A AAD 证明 当 AD CD 最小时 直线 BD 与 A 相切 写出直线 BD 与 A 相切时 D 点的另一个坐标 4 2010 山东聊城 如图 已知抛物线y ax2 bx c a 0 的对称轴为x 1 且抛物线经过 A 1 0 C 0 3 两点 与x轴交于另一点B 1 求这条抛物线所对应的函数关系式 2 在抛物线的对称轴x 1 上求一点M 使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小 并求此时点M的坐标 3 设点P为抛物线的对称轴x 1 上的一动点 求使 PCB 90 的 点P的坐标 5 2011 广东肇庆 25 10 分 已知抛物线 0 与轴交于 两 22 4 3 mmxxy mxAB 点 1 求证 抛物线的对称轴在轴的左侧 y 2 若 是坐标原点 求抛物线的解析式 3 211 OAOB O 6 2009 年济南 已知 抛物线的对称轴为与轴交于两点 与轴交于点其中xAB yC 1 求这条抛物线的函数表达式 3 0A 02C 2 已知在对称轴上存在一点 P 使得的周长最小 请求出点 P 的坐标 PBC 3 若点是线段上的一个动点 不与点 O 点 C 重合 过点 D 作交轴于点DOCDEPC x 连接 设的长为 的面积为 求与之间的函数关系式 试说E PDPECDmPDE SSm 明是否存在