九年级圆教案

圆圆 第一课时 教学内容教学内容 1 圆的有关概念 2 垂径定理 平分弦 不是直径 的直径垂直于弦 并且平分弦所对的两条弧及其它 们的应用 教学目标教学目标 了解圆的有关概念 理解垂径定理并灵活运用垂径定理及圆的概念解决一些实际问题 从感受圆在生活中大量存在到圆形及圆的形成过程 讲授圆的有关概念 利用操作几何的 方法 理解圆是轴对称图形 过圆心的直线都是它的对称轴 通过复合图形的折叠方法得出猜 想垂径定理 并辅以逻辑证明加予理解 重难点 关键重难点 关键 1 重点 垂径定理及其运用 2 难点与关键 探索并证明垂径定理及利用垂径定理解决一些实际问题 教学过程教学过程 一 复习引入一 复习引入 学生活动 请同学口答下面两个问题 提问一 两个同学 1 举出生活中的圆三 四个 2 你能讲出形成圆的方法有多少种 老师点评 口答 1 如车轮 杯口 时针等 2 圆规 固定一个定点 固定一个 长度 绕定点拉紧运动就形成一个圆 二 探索新知二 探索新知 从以上圆的形成过程 我们可以得出 在一个平面内 线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转一周 另一个端点所形成的图形叫 做圆 固定的端点 O 叫做圆心 线段 OA 叫做半径 以点 O 为圆心的圆 记作 O 读作 圆 O 学生四人一组讨论下面的两个问题 问题 1 图上各点到定点 圆心 O 的距离有什么规律 问题 2 到定点的距离等于定长的点又有什么特点 老师提问几名学生并点评总结 1 图上各点到定点 圆心 O 的距离都等于定长 半径 r 2 到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上 因此 我们可以得到圆的新定义 圆心为 O 半径为 r 的圆可以看成是所有到定点 O 的距 离等于定长 r 的点组成的图形 同时 我们又把 连接圆上任意两点的线段叫做弦 如图线段 AC AB 经过圆心的弦叫做直径 如图 24 1 线段 AB 圆上任意两点间的部分叫做圆弧 简称弧 以 A C 为端点的弧记作 读作 圆 A AC 弧 或 弧 AC 大于半圆的弧 如图所示叫做优弧 小于半圆的弧 如图所示 A AC A ABC 或叫做劣弧 A AC A BC B AC O 圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧 每一条弧都叫做半圆 学生活动 请同学们回答下面两个问题 1 圆是轴对称图形吗 如果是 它的对称轴是什么 你能找到多少条对称轴 2 你是用什么方法解决上述问题的 与同伴进行交流 老师点评 1 圆是轴对称图形 它的对称轴是直径 我能找到无数多条直径 3 我是利用沿着圆的任意一条直径折叠的方法解决圆的对称轴问题的 因此 我们可以得到 圆是轴对称图形 其对称轴是任意一条过圆心的直线 学生活动 请同学按下面要求完成下题 如图 AB 是 O 的一条弦 作直径 CD 使 CD AB 垂足为 M BA C D O M 1 如图是轴对称图形吗 如果是 其对称轴是什么 2 你能发现图中有哪些等量关系 说一说你理由 老师点评 1 是轴对称图形 其对称轴是 CD 2 AM BM 即直径 CD 平分弦 AB 并且平分 AA ACBC AA ADBD 及 A AB A ADB 这样 我们就得到下面的定理 垂直于弦的直径平分弦 并且平分弦所对的两条弧 下面我们用逻辑思维给它证明一下 已知 直径 CD 弦 AB 且 CD AB 垂足为 M 求证 AM BM AA ACBC AA ADBD 分析 要证 AM BM 只要证 AM BM 构成的两个三角形全等 因此 只要连结 OA OB 或 AC BC 即可 证明 如图 连结 OA OB 则 OA OB 在 Rt OAM 和 Rt OBM 中 OAOB OMOM BA C O M C E D O F BA C E D O N M Rt OAM Rt OBM AM BM 点 A 和点 B 关于 CD 对称 O 关于直径 CD 对称 当圆沿着直线 CD 对折时 点 A 与点 B 重合 与重合 与重合 A AC A BC A AD A BD AA ACBC AA ADBD 进一步 我们还可以得到结论 平分弦 不是直径 的直径垂直于弦 并且平分弦所对的两条弧 本题的证明作为课后练习 例例 1 如图 一条公路的转弯处是一段圆弦 即图中 点 O 是的圆心 其中 A CD A CD CD 600m E 为上一点 且 OE CD 垂足为 F EF 90m 求这段弯路的半径 A CD 分析 例 1 是垂径定理的应用 解题过程中使用了列方程的方法 这种用代数方法解决 几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握 解 如图 连接 OC 设弯路的半径为 R 则 OF R 90 m OE CD CF CD 600 300 m 1 2 1 2 根据勾股定理 得 OC2 CF2 OF2 即 R2 3002 R 90 2 解得 R 545 这段弯路的半径为 545m 三 巩固练习三 巩固练习 教材 P86 练习 P88 练习 四 应用拓展四 应用拓展 例例 2 有一石拱桥的桥拱是圆弧形 如图 24 5 所示 正常水位下水面宽 AB 60m 水面 到拱顶距离 CD 18m 当洪水泛滥时 水面宽 MN 32m 时是否需要采取紧急措施 请说明理 由 分析 要求当洪水到来时 水面宽 MN 32m 是否需要采取紧急措施 只要求出 DE 的 长 因此只要求半径 R 然后运用几何代数解求 R 解 不需要采取紧急措施 设 OA R 在 Rt AOC 中 AC 30 CD 18 R2 302 R 18 2 R2 900 R2 36R 324 解得 R 34 m 连接 OM 设 DE x 在 Rt MOE 中 ME 16 342 162 34 x 2 162 342 68x x2 342 x2 68x 256 0 解得 x1 4 x2 64 不合设 DE 4 不需采取紧急措施 五 归纳小结 学生归纳 老师点评 五 归纳小结 学生归纳 老师点评 本节课应掌握 1 圆的有关概念 2 圆是轴对称图形 任何一条直径所在直线都是它的对称轴 3 垂径定理及其推论以及它们的应用 六 布置作业六 布置作业 1 教材 P94 复习巩固 1 2 3 2 车轮为什么是圆的呢 3 垂径定理推论的证明 4 选用课时作业设计 第一课时作业设计第一课时作业设计 一 选择题 一 选择题 1 如图 1 如果 AB 为 O 的直径 弦 CD AB 垂足为 E 那么下列结论中 错误的是 A CE DE B C BAC BAD D AC AD AA BCBD B A C E D O BA O M BA C D P O 1 2 3 2 如图 2 O 的直径为 10 圆心 O 到弦 AB 的距离 OM 的长为 3 则弦 AB 的长是 A 4 B 6 C 7 D 8 3 如图 3 在 O 中 P 是弦 AB 的中点 CD 是过点 P 的直径 则下列结论中不正确的是 A AB CD B AOB 4 ACD C D PO PD AA ADBD 二 填空题二 填空题 1 如图 4 AB 为 O 直径 E 是中点 OE 交 BC 于点 D BD 3 AB 10 则 A BC AC B A C E D O B A C E D O F 4 5 2 P 为 O 内一点 OP 3cm O 半径为 5cm 则经过 P 点的最短弦长为 最长 弦长为 B A C E D O F 3 如图 5 OE OF 分别为 O 的弦 AB CD 的弦心距 如果 OE OF 那么 只需 写一个正确的结论 三 综合提高题三 综合提高题 1 如图 24 11 AB 为 O 的直径 CD 为弦 过 C D 分别作 CN CD DM CD 分别 交 AB 于 N M 请问图中的 AN 与 BM 是否相等 说明理由 B A C D O N M 2 如图 O 直径 AB 和弦 CD 相交于点 E AE 2 EB 6 DEB 30 求弦 CD 长 B A C E D O 3 开放题 AB 是 O 的直径 AC AD 是 O 的两弦 已知 AB 16 AC 8 AD 8 求 DAC 的度数 答案答案 一 1 D 2 D 3 D 二 1 8 2 8 10 3 AB CD 三 1 AN BM 理由 过点 O 作 OE CD 于点 E 则 CE DE 且 CN OE DM ON OM OA ON OB OM AN BM 2 过 O 作 OF CD 于 F 如右图所示 AE 2 EB 6 OE 2 EF OF 1 连结 OD 3 在 Rt ODF 中 42 12 DF2 DF CD 2 1515 3 1 AC AD 在 AB 的同旁 如右图所示 AB 16 AC 8 AD 8 3 AC AB CAB 60 1 2 1 2 1 2 同理可得 DAB 30 DAC 30 2 AC AD 在 AB 的异旁 同理可得 DAC 60 30 90 圆圆 第第 2 2 课时课时 教学内容教学内容 1 圆心角的概念 2 有关弧 弦 圆心角关系的定理 在同圆或等圆中 相等的圆心角所对的弧相等 所对的弦也相等 3 定理的推论 在同圆或等圆中 如果两条弧相等 那么它们所对的圆心角相等 所 对的弦相等 在同圆或等圆中 如果两条弦相等 那么它们所对的圆心角相等 所对的弧也相等 教学目标教学目标 了解圆心角的概念 掌握在同圆或等圆中 圆心角 弦 弧中有一个量的两个相等就可以 推出其它两个量的相对应的两个值就相等 及其它们在解题中的应用 通过复习旋转的知识 产生圆心角的概念 然后用圆心角和旋转的知识探索在同圆或等圆 中 如果两个圆心角 两条弧 两条弦中有一组量相等 那么它们所对应的其余各组量都分别 相等 最后应用它解决一些具体问题 重难点 关键重难点 关键 1 重点 定理 在同圆或等圆中 相等的圆心角所对的弧相等 所对弦也相等及其两 个推论和它们的应用 2 难点与关键 探索定理和推导及其应用 教学过程教学过程 一 复习引入一 复习引入 学生活动 请同学们完成下题 已知 OAB 如图所示 作出绕 O 点旋转 30 45 60 的图形 B A O 老师点评 绕 O 点旋转 O 点就是固定点 旋转 30 就是旋转角 BOB 30 二 探索新知二 探索新知 如图所示 AOB 的顶点在圆心 像这样顶点在圆心的角叫做圆心角 D O B A C B A O 学生活动 请同学们按下列要求作图并回答问题 如图所示的 O 中 分别作相等的圆心角 AOB 和 A OB 将圆心角 AOB 绕圆 心 O 旋转到 A OB 的位置 你能发现哪些等量关系 为什么 B B A A O AB A B A AB A A B 理由 半径 OA 与 O A 重合 且 AOB A OB 半径 OB 与 OB 重合 点 A 与点 A 重合 点 B 与点 B 重合 与重合 弦 AB 与弦 A B 重合 A AB A A B AB A B A AB A A B 因此 在同一个圆中 相等的圆心角所对的弧相等 所对的弦相等 在等圆中 相等的圆心角是否也有所对的弧相等 所对的弦相等呢 请同学们现在动手 作一作 学生活动 老师点评 如图 1 在 O 和 O 中 分别作相等的圆心角 AOB 和 A O B 得到如图 2 滚动一个圆 使 O 与 O 重合 固定圆心 将其中的一个圆旋转 一个角度 使得 OA 与 O A 重合 O O O O B A BB O O O O B A A A 1 2 你能发现哪些等量关系 说一说你的理由 我能发现 AB A B A AB A A B 现在它的证明方法就转化为前面的说明了 这就是又回到了我们的数学思想上去呢 化归思想 化未知为已知 因此 我们可以得到下面的定理 在同圆或等圆中 相等的圆心角所对的弧相等 所对的弦也相等 在同圆或等圆中 相等的圆心角所对的弧相等 所对的弦也相等 同样 还可以得到 在同圆或等圆中 如果两条弧相等 那么它们所对的圆心角相等 所对的弦也相等 在同圆或等圆中 如果两条弦相等 那么它们所对的圆心角相等 所对的弧也相等 学生活动 请同学们现在给予说明一下 请三位同学到黑板板书 老师点评 例例 1 如图 在 O 中 AB CD 是两条弦 OE AB OF CD 垂足分别为 EF 1 如果 AOB COD 那么 OE 与 OF 的大小有什么关系 为什么 2 如果 OE OF 那么与的大小有什么关系 AB 与 CD 的大小有什么关系 A AB A CD 为什么 AOB 与 COD 呢 O B A C E D F 分析 1 要说明 OE OF 只要在直角三角形 AOE 和直角三角形 COF 中说明 AE CF 即说明 AB CD 因此 只要运用前面所讲的定理即可 2 OE OF 在 Rt AOE 和 Rt COF 中 又有 AO CO 是半径 Rt AOE Rt COF AE CF AB CD 又可运用上面的定理得到 A AB A CD 解 1 如果 AOB COD 那么 OE OF 理由是 AOB COD AB CD OE AB OF CD AE AB CF CD 1 2 1 2 AE CF 又 OA OC Rt OAE Rt OCF OE OF 2 如果 OE OF 那么 AB CD AOB COD A AB A CD 理由是 OA OC OE OF Rt OAE Rt OCF AE CF 又 OE AB OF CD AE AB CF CD 1 2 1 2 AB 2AE CD 2CF AB CD AOB COD A AB A CD 三 巩固练习三 巩固练习 教材 P89 练习 1 教材 P90 练习 2 四 应用拓展四 应用拓展 例例 2 如图 3 和图 4 MN 是 O 的直径 弦 AB CD 相交于 MN 上的一点 P APM CPM 1 由以上条件 你认为 AB 和 CD 大小关系是什么 请说明理由 2 若交点 P 在 O 的外部 上述结论是否成立 若成立 加以证明 若不成立 请说 明理由 B A C E D P O N M F B A C E D P N M F 3 4 分析 1 要说明 AB CD 只要证明 AB CD 所对的圆心角相等 只要说明它们的 一半相等 上述结论仍然成立 它的证明思路与上面的题目是一模一样的 解 1 AB CD 理由 过 O 作 OE OF 分别垂直于 AB CD 垂足分别为 E F APM CPM 1 2 OE OF 连结 OD OB 且 OB OD Rt OFD Rt OEB DF BE 根据垂径定理可得 AB CD 2 作 OE AB OF CD 垂足为 E F APM CPN 且 OP OP PEO PFO 90 Rt OPE Rt OPF OE OF 连接 OA OB OC OD 易证 Rt OBE Rt ODF Rt OAE Rt OCF 1 2 3 4 AB CD 五 归纳总结 学生归纳 老师点评 五 归纳总结 学生归纳 老师点评 本节课应掌握 1 圆心角概念 2 在同圆或等圆中 如果两个圆心角 两条弧 两条弦中有一组量相等 那么它们所 对应的其余各组量都部分相等 及其它们的应用 六 布置作业六 布置作业 1 教材 P94 95 复习巩固 4 5 6 7 8 2 选用课时作业设计 第二课时作业设计第二课时作业设计 一 选择题 一 选择题 1 如果两个圆心角相等 那么 A 这两个圆心角所对的弦相等 B 这两个圆心角所对的弧相等 C 这两个圆心角所对的弦的弦心距相等 D 以上说法都不对 2 在同圆中 圆心角 AOB 2 COD 则两条弧 AB 与 CD 关系是 A 2 B C 2 D 不能确定 A AB A CD A AB A CD A AB A CD 3 如图 5 O 中 如果 2 那么 A AB A AC A AB AC B AB AC C AB2AC O B A C O BA C E D 5 6 二 填空题二 填空题 1 交通工具上的轮子都是做圆的 这是运用了圆的性质中的 2 一条弦长恰好为半径长 则此弦所对的弧是半圆的 3 如图 6 AB 和 DE 是 O 的直径 弦 AC DE 若弦 BE 3 则弦 CE 三 解答题三 解答题 1 如图 在 O 中 C D 是直径 AB 上两点 且 AC BD MC AB ND AB M N 在 O 上 1 求证 A AM A BN 2 若 C D 分别为 OA OB 中点 则成立 AAA AMMNNB 吗 2 如图 以ABCD 的顶点 A 为圆心 AB 为半径作圆 分别A O BA C D NM 交 BC AD 于 E F 若 D 50 求的度数和的度数 A BE A EF B A C E D F 3 如图 AOB 90 C D 是 AB 三等分点 AB 分别交 OC OD 于点 E F 求证 AE BF CD O B A C E D F 答案答案 一 1 D 2 A 3 C 二 1 圆的旋转不变形 2 或 3 3 1 3 5 3 三 1 1 连结 OM ON 在 Rt OCM 和 Rt ODN 中 OM ON OA OB AC DB OC OD Rt OCM Rt ODN AOM BON A A AMNB 2 A AA AMMNNB 2 BE 的度数为 80 EF 的度数为 50 3 连结 AC BD C D 是三等分点 A AB AC CD DB 且 AOC 90 30 1 3 OA OC OAC OCA 75 又 AEC OAE AOE 45 30 75 AE AC 同理可证 BF BD AE BF CD 圆圆 第第 3 3 课时课时 O B A C E F 教学内容教学内容 1 圆周角的概念 2 圆周角定理 在同圆或等圆中 同弧或等弧所对的圆周角相等 都等于这条弦所对的 圆心角的一半 推论 半圆 或直径 所对的圆周角是直角 90 的圆周角所对的弦是直径及其它们的应 用 教学目标教学目标 1 了解圆周角的概念 2 理解圆周角的定理 在同圆或等圆中 同弧或等弧所对的圆周角相等 都等于这条弧 所对的圆心角的一半 3 理解圆周角定理的推论 半圆 或直径 所对的圆周角是直角 90 的圆周角所对的 弦是直径 4 熟练掌握圆周角的定理及其推理的灵活运用 设置情景 给出圆周角概念 探究这些圆周角与圆心角的关系 运用数学分类思想给予逻 辑证明定理 得出推导 让学生活动证明定理推论的正确性 最后运用定理及其推导解决一些 实际问题 重难点 关键重难点 关键 1 重点 圆周角的定理 圆周角的定理的推导及运用它们解题 2 难点 运用数学分类思想证明圆周角的定理 3 关键 探究圆周角的定理的存在 教学过程教学过程 一 复习引入一 复习引入 学生活动 请同学们口答下面两个问题 1 什么叫圆心角 2 圆心角 弦 弧之间有什么内在联系呢 老师点评 1 我们把顶点在圆心的角叫圆心角 2 在同圆或等圆中 如果两个圆心角 两条弧 两条弦中有一组量相等 那么它们所 对的其余各组量都分别相等 刚才讲的 顶点在圆心上的角 有一组等量的关系 如果顶点不在圆心上 它在其它的位 置上 如在圆周上 是否还存在一些等量关系呢 这就是我们今天要探讨 要研究 要解决的 问题 二 探索新知二 探索新知 问题 如图所示的 O 我们在射门游戏中 设 E F 是球门 设球 员们只能在所在的 O 其它位置射门 如图所示的 A B C 点 通 A EF 过观察 我们可以发现像 EAF EBF ECF 这样的角 它们的顶点 在圆上 并且两边都与圆相交的角叫做圆周角 现在通过圆周角的概念和度量的方法回答下面的问题 1 一个弧上所对的圆周角的个数有多少个 2 同弧所对的圆周角的度数是否发生变化 3 同弧上的圆周角与圆心角有什么关系 学生分组讨论 提问二 三位同学代表发言 老师点评 1 一个弧上所对的圆周角的个数有无数多个 O B A C O B A C D 2 通过度量 我们可以发现 同弧所对的圆周角是没有变化的 3 通过度量 我们可以得出 同弧上的圆周角是圆心角的一半 下面 我们通过逻辑证明来说明 同弧所对的圆周角的度数没有变化 并且它的度数恰 好等于这条弧所对的圆心角的度数的一半 1 设圆周角 ABC 的一边 BC 是 O 的直径 如图所示 AOC 是 ABO 的外角 AOC ABO BAO OA OB ABO BAO AOC ABO ABC AOC 1 2 2 如图 圆周角 ABC 的两边 AB AC 在一条直径 OD 的两侧 那么 ABC AOC 吗 请同学们独立完成这道题的说明过程 1 2 老师点评 连结 BO 交 O 于 D 同理 AOD 是 ABO 的外角 COD 是 BOC 的外角 那么就有 AOD 2 ABO DOC 2 CBO 因此 AOC 2 ABC 3 如图 圆周角 ABC 的两边 AB AC 在一条直径 OD 的同侧 那么 ABC AOC 吗 请同学们独立完成证明 1 2 老师点评 连结 OA OC 连结 BO 并延长交 O 于 D 那么 AOD 2 ABD COD 2 CBO 而 ABC ABD CBO AOD 1 2 COD AOC 1 2 1 2 现在 我如果在画一个任意的圆周角 AB C 同样可证得它等于同弧上圆心角一半 因 此 同弧上的圆周角是相等的 从 1 2 3 我们可以总结归纳出圆周角定理 在同圆或等圆中 同弧等弧所对的圆周角相等 都等于这条弧所对