高中数学《合情推理与演绎推理》同步练习4 新人教A版选修2-2

用心 爱心 专心1 合情推理与演绎推理合情推理与演绎推理 课下练兵场课下练兵场 命 题 报 告 难度及题号 知识点 容易题 题号 中等题 题号 稍难题 题号 归纳推理3 4 5 7 9 10 11 类比推理 2 6 8 演绎推理 112 一 选择题 1 下列表述正确的是 归纳推理是由部分到整体的推理 归纳推理是由一般到一般的推理 演绎推理是由一般到特 殊的推理 类比推理是由特殊到一般的推理 类比推理是由特殊到特殊的推理 A B C D 解析 归纳推理是由部分到整体的推理 演绎推理是由一般到特殊的推理 类比推理是由特殊到特 殊的推理 答案 D 2 下面使用类比推理恰当的是 A 若a 3 b 3 则a b 类推出 若a 0 b 0 则a b B a b c ac bc 类推出 a b c a c b c C a b c ac bc 类推出 c 0 a b c a c b c D ab n anbn 类推出 a b n an bn 解析 由类比推理的特点可知 答案 C 3 由 若a b 0 且m 0 则与 之间大小关系为 7 10 5 8 9 11 8 10 13 25 9 21 b m a m b a A 相等 B 前者大 C 后者大 D 不确定 解析 观察题设规律 由归纳推理易得 b m a m b a 答案 B 4 如图 圆周上按顺时针方向标有 1 2 3 4 5 五个点 一只青蛙按顺时 针方向绕圆从一个点跳到另一点 若它停在奇数点上 则下一次只能 跳一个点 若停在偶数点上 则下一次跳两个点 该青蛙从 5 这点跳 用心 爱心 专心2 起 经 2008 次跳后它将停在的点是 A 1 B 2 C 3 D 4 解析 an表示青蛙第n次跳后所在的点数 则a1 1 a2 2 a3 4 a4 1 a5 2 a6 4 显然 an 是一个周期为 3 的数列 故a2008 a1 1 答案 A 5 下列推理是归纳推理的是 A A B为定点 动点P满足 PA PB 2a AB 得P的轨迹为椭圆 B 由a1 1 an 3n 1 求出S1 S2 S3 猜想出数列的前n项和Sn的表达式 C 由圆x2 y2 r2的面积 r2 猜想出椭圆 1 的面积S ab x2 a2 y2 b2 D 科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇 解析 从S1 S2 S3猜想出数列的前n项和Sn 是从特殊到一般的推理 所以 B 是归纳推理 答案 B 二 填空题 6 定义集合A B的运算 A B x x A或x B且x A B 则A B A 解析 如图 A B表示的是阴影部分 设A B C 运用类比的方法可知 C A B 所以A B A B 答案 B 7 在平面内有n n N n 3 条直线 其中任何两条不平行 任何三条不过同一点 若这n条直线把 平面分成f n 个平面区域 则f 5 的值是 f n 的表达式是 解析 本题是一道推理问题 通过动手作图 可知f 3 7 f 4 11 f 5 16 从中可归纳推理 得出f n f n 1 n 则f n f n 1 n f n 1 f n 2 n 1 f n 2 f n 3 n 2 f 5 f 4 5 f 4 f 3 4 将以上各式累加得 f n f 3 n n 1 n 2 5 4 4 n n 3 2 则有f n f 3 7 4 n n 3 2 4 n n 3 2 n2 n 2 2 用心 爱心 专心3 答案 16 n2 n 2 2 8 2010 长春模拟 有如下真命题 若数列 an 是一个公差为d的等差数列 则数列 an an 1 an 2 是 公差为 3d的等差数列 把上述命题类比到等比数列中 可得真命题是 注 填上你认为可以成为真命题的一种情形即可 答案 若数列 bn 是公比为q的等比数列 则数列 bn bn 1 bn 2 是公比为q3的等比数列 或填为 若数列 bn 是公比为q的等比数列 则数列 bn bn 1 bn 2 是公比为q的等比数列 9 方程f x x的根称为f x 的不动点 若函数f x 有唯一不动点 且x1 1000 x a x 2 xn 1 n N 则x2011 1 f 1 xn 解析 由 x得ax2 2a 1 x 0 x a x 2 因为f x 有唯一不动点 所以 2a 1 0 即a 1 2 所以f x 所以xn 1 xn 2x x 2 1 f 1 xn 2xn 1 2 1 2 所以x2011 x1 2010 1000 2005 1 2 2010 2 答案 2005 三 解答题 10 已知 sin230 sin290 sin2150 3 2 sin25 sin265 sin2125 3 2 通过观察上述两等式的规律 请你写出一般性的命题 并给出证明 解 一般性的命题为 sin2 60 sin2 sin2 60 3 2 证明如下 左边 1 cos 2 120 2 1 cos2 2 1 cos 2 120 2 cos 2 120 cos2 cos 2 120 3 2 1 2 右边 3 2 用心 爱心 专心4 结论正确 11 已知等差数列 an 的公差d 2 首项a1 5 1 求数列 an 的前n项和Sn 2 设Tn n 2an 5 求S1 S2 S3 S4 S5 T1 T2 T3 T4 T5 并归纳出Sn与Tn的大小规律 解 1 Sn 5n 2 n n 4 n n 1 2 2 Tn n 2an 5 n 2 2n 3 5 Tn 4n2 n T1 5 T2 4 22 2 18 T3 4 32 3 39 T4 4 42 4 68 T5 4 52 5 105 S1 5 S2 2 2 4 12 S3 3 3 4 21 S4 4 4 4 32 S5 5 5 4 45 由此可知S1 T1 当n 2 时 Sn Tn 归纳猜想 当n 2 n N 时 Sn Tn 12 已知函数f x a 0 且a 1 a ax a 1 证明 函数y f x 的图象关于点 对称 1 2 1 2 2 求f 2 f 1 f 0 f 1 f 2 f 3 的值 解 1 证明 函数f x 的定义域为全体实数 任取一点 x y 它关于点 对称的点的坐标 1 2 1 2 为 1 x 1 y 由已知得y 则 a ax a 1 y 1 a ax a ax ax a f 1 x a a1 x a a a ax a a ax a a ax 1 y f 1 x ax ax a 即对称点 1 x