《高数专升本讲义》第一至第五章

周世国 09 耶鲁专升本秋季班 1 第一章第一章函数 极限 连续函数 极限 连续 高数 专升本考试的题型 题量及考察的知识点 分值的分布相对固定 近几年的考卷具有明显的连续性和强烈的可参考性 下面我就把 高数 专升本 大致的情况跟大家做一介绍 高数 专升本卷面总分值总分值 150 分分 其中一元一元 微积分微积分 部分占部分占 90 分左右 多分左右 多 元元 微积分微积分 部分 包括微分方程 占部分 包括微分方程 占 60 分左右分左右 出题的形式分为两大块 其 中客观题客观题 90 分 主观题分 主观题 60 分分 客观题这 90 分如再细分 包括 15 道填空题 每 空 2 分 共 30 分 还有 60 分 又分为两种情况 要么全出单项选择题 共 30 个 每个 2 分 要么出单项选择题 25 个 每个 2 分 总计 50 分 再出是非判 断题 5 个 总计 10 分 另外还有 60 分的主观题部分 题型及分值分布又可细分为三部分 第一部分 计算题第一部分 计算题 40 分 八道小题 每小题分 八道小题 每小题 5 分分 第一道题 求一元函数的极限 基本上考察的都是洛必达法则或等价无穷小替 换的计算技巧 第二道题 一元函数求导数 考察复合函数求导 隐函数求导 对数求导法 参数方程求导等 第三道题 不定积分 绝大部分考察的是带根式的积分 即考察第二换元法的 积分技巧 第四道题 定积分 主要考察分部积分的技巧 第五道题 多元函数求偏导数或全微分 重点考察多元的抽象的复合函数求偏 导的链式法则或二元函数求全微分 第六道题 二重积分的计算 有两套系统 重点放在直角坐标系下 第七道题 幂级数 有两种可能的题型 一种是求幂级数的收敛半径与区间 另一种是将简单函数展开为幂级数 第八道题 微分方程 考察的重点是一阶线性非齐次微分方程 第二部分 应用题第二部分 应用题 14 分 共两道小题 每小题分 共两道小题 每小题 7 分分 第一道小题 求平面图形的面积或旋转体的体积 第二道小题 二元函数求极值 绝大部分是经济方面的应用 或一元函数求最 值 第三部分 证明题第三部分 证明题 6 分分 常见题型有三种 一是利用拉格朗日中值定理或单调性 最值证明函数不等式 第二种是利用定积分的换元积分法证明积分等式 第三 种是利用零点定理证明方程有根 下面详细介绍每章节的分值分布 一元函数微积分一元函数微积分 极限 连续部分 15 分左右 导数及其应用部分 15 分左右 中值定理及其应用部分 25 分左右 不定积分部分 13 分左右 定积分部分 22 分左右 向量代数及空间解析几何部分 6 分左右 多元函数微积分多元函数微积分 多元函数微分学部分 20 分左右 二重积分部分 12 分左右 周世国 09 耶鲁专升本秋季班 2 无穷级数部分 10 分左右 微分方程部分 12 分左右 下面详细介绍各章重点考核的知识点 第一章 一元函数极限 连续第一章 一元函数极限 连续 1 定义域 有具体函数求定义域 也有抽象函数求定义域 2 求函数的表达式 3 函数的特性 主要考察函数的奇偶性 4 反函数 5 复合函数 6 函数极限存在的充要条件 即左极限 右极限 7 极限的四则运算 8 夹逼准则 9 无穷小阶的比较 10 有界变量与无穷小的乘积仍为无穷小 11 两个重要极限 12 等价无穷小的替换 13 函数的连续性 14 函数在定点处的连续性 即既左连续 又右连续 0 x 15 复合函数的连续性 16 间断点及其分类 17 零点定理 二章二章 一元函数导数 或微分 一元函数导数 或微分 1 导数的定义 2 导数的几何意义 3 导数的四则运算法则 4 反函数求导法则 5 复合求导法则 6 简单函数的高阶导数 7 隐函数求导 8 对数求导法 9 幂指函数求导 10 参数方程求导 11 一元函数一阶微分形式的不变性 第三章第三章 中值定理及导数的应用中值定理及导数的应用 1 验证罗尔中值定理 拉格朗日中值定理的条件及结论是否成立 2 利用拉格朗日中值定理证明不等式 尤其是双向不等式 3 利用中值定理证明等式成立 或方程有根 4 洛必达法则 5 单调性 6 极值 7 最值 8 曲线的凹凸性及拐点 9 曲线的渐进线 只考察水平渐进线和垂直渐进线 不考察斜渐进线 周世国 09 耶鲁专升本秋季班 3 第四章第四章 一元函数积分法一元函数积分法 其中不定积分部分其中不定积分部分 1 原函数的概念 2 不定积分的两个性质及一个推论 3 分项积分法 4 换元积分法 又可细分为凑微分法 重点 与变量代换法 主要是去根号 5 分部积分法 有理函数积分 三角函数积分基本不考 即便考 用前面的方法也可解决 定积分部分定积分部分 1 定积分的七大性质 2 积分上限函数及其导数 3 定积分的换元法 4 分部法 5 对称区间上的定积分的性质 6 无穷区间上的广义积分 7 平面图形的面积及旋转体的体积 第五章第五章 向量代数与空间解析几何向量代数与空间解析几何 1 向量的数量积与向量积 2 向量的相交 这时要求夹角 平行 垂直的判定方法 3 两向量向量积的模的几何意义 4 空间直线与平面之间的位置关系 5 旋转曲面的方程特征 6 简单的二次曲面 只要求掌握柱面 球面 锥面及旋转曲面 复杂的不要求 第六章 多元函数微分法第六章 多元函数微分法 1 二元函数极限 连续 2 偏导数 3 具体函数的二阶偏导数 4 全微分 包括具体函数求全微分与抽象函数求全微分 5 隐函数求偏导 6 二元函数连续 偏导 可微及偏导连续之间的关系 7 二元函数的极值及一些条件极值 第七章第七章 二重积分二重积分 1 二重积分的七大性质 重点考察的面积和比较积分大小 1 D dA D 2 二重积分交换积分次序 3 二重积分在两种坐标系下的计算方法 4 二重积分在两种坐标系下的转换 5 利用二重积分求平面图形的质量 6 利用代入法计算第二型曲线积分 第八章第八章 无穷级数无穷级数 1 无穷级数的五大性质 2 级数收敛的必要条件 周世国 09 耶鲁专升本秋季班 4 3 正项级数的五大审敛法 4 交错级数及其莱布尼兹判别法 5 任意项级数的绝对收敛及条件收敛 必考 6 幂级数的收敛区间及收敛半径 7 简单幂级数的和函数 8 将函数展开成幂级数 第九章第九章 微分方程微分方程 1 微分方程的基本概念 解 通解 特解等 2 一阶微分方程 包括可分离的 齐次 一阶线性非齐次微分方程 重点 3 可降阶的二阶微分方程 了解即可 4 二阶线性微分方程的解的结构 5 二阶线性常系数齐次微分方程的通解 6 反解微分方程 给出其通解或特解 反求方程是什么 有点难 到时举个例 子就明白了 7 二阶线性常系数齐次微分方程的特解形式 往往不要求定出其中的系数 刚才我们把 高数 专升本考试的基本题型 各章节分数比例 及各章节 要求掌握的知识点都作了大致的总结 希望同学们在下面学习时应严格按照我 说的知识点去作题 这里我要特别强调一下 在 高数 专升本考生中有几个误 区需要澄清 第一个误区是 有些同学把 高数 专升本考试想象得过于困难 觉得只有大 量作题 大搞题海战术 拿出二次高考的劲头才能取得好成绩 其实 高数 专 升本考试的难度并不大 还达不到普通本科学期末的考试水平 况其题型题量相 对固定 规律性很强 只要路子对头 真学实干 有针对性的训练 一定可以 取得不错的成绩 我们郑州大学软件技术学院的专升本通过率甚至每年都达到了 95 我在这里说句大话 只要大家紧密团结在我的周围 严格贯彻我的要求 你们根本不用再看其他任何别的参考书 只把本书中的例题看完 课后的习题 做完 再演练书后的几套模拟题 真正作到心领神会 我保守地说 考个 120 分不成问题 就凭这一门成绩就能专升本 每年 高数 专升本的最高分都出自 咱们耶鲁的学员 有 140 多分 我对自己很有信心 你们对自己更要有信心 第二个误区是 有些同学对老师有不切实际的想法 完全把升本的希望放在这 次培训班上 放松个人努力 自己连课本中的基本概念 主要定理及常用公式都 没记住 就来听课 还指望听哪儿会哪儿 巴不得老师讲的每道题都是考试的原 题 最好把考试的原卷透露给大家 这里我强调一下 我们这个培训班只是一个 催化剂和推进剂 虽然参加后提升成绩的效果确实显著 但这也离不开大家自 己的努力 而且主要还得靠大家努力 因此 我希望来听课的同学能做到课前预 习 课后复习 切实按我的要求来 本培训班的计划学时只有 48 个 而正常进 度下学完 微积分 至少需 140 个学时 况且很多同学没学过后几章 因此 我 们授课时主要是针对考点训练作题 基本概念及定理如非特别复杂 堂上一般 不提 我讲课时各章节安排的顺序及所用记号与同济大学版 高数 相同 下面我们开始正式讲解 第一章第一章 函数函数 极限极限 连续连续 一 求函数的定义域一 求函数的定义域 周世国 09 耶鲁专升本秋季班 5 具体函数求定义域的例子就不举了 例 1 设求 1 ln2 3 f xx x 1 的定义域 f x 2 的定义域 lnfx 3 的定义域 0f xaf xaa 解 1 2 3 2 3 D 23 ee 1 2 3 0 2 aaa 练习 设的定义域为 求的定义域 f x 01 1 ln sinf xfxfx 要牢记函数的两个要素 定义域和对应法则 例 2 判断下列两组函数是否是同一函数 2 1 x x g x x f x 22 1 sincos g xxx 2 f x 二 求函数的表达式二 求函数的表达式 例 3 设求 2 4 1 1 x fx xx f x 解 此种题型的常规解法是设元法 设元法 即令反解得到再代入原 1 tx x xx t 式 得 再将 的记号全换为但此法只适用于简单函数 要学会直 f t t x 接凑成的方法 因为 所以 2 2 2 111 1 1 2 fx x x x x x 2 1 2 f x x 例 4 设求sincos 2 x fx cos 2 x f 解 要做此题 要求大家熟记几个三角恒等式 至少要记住两个倍角公式和三个 1 公式 因为 2 sincos12sin 22 xx fx 所以 2 1cos cos12cos12 cos 222 xxx fx 周世国 09 耶鲁专升本秋季班 6 例 5 设 求 2 2 0 0 2 0 0 x xxx g xf x x xx x gf x 解 首先把作整体看待 f x 2 2 0 2 0 2 0 2 0 f xf xx x gf x f xf xxx 三 关于函数的几种特性 重点是奇偶性的判别 三 关于函数的几种特性 重点是奇偶性的判别 例 6 设在上有定义 证明 f x l l 为偶 而为奇 2 f xfx g x 2 f xfx h x 要记清两个知识点 1 函数为奇或偶的必要条件是其定义域关于原点对称 如没有指明定义域 则默认为比如 就是非奇非 2 1 2f xxx 偶函数 2 奇偶函数的图形特征 结论 即一个定义在对称区间上的函数必表为奇 偶的形 f xg xh x 式 例 7 设时 且在内为奇函数 求 0 x 1 f xxx f x f x 解 由于在内为奇函数 f x 所以 fxf x x 又当时 0 x 11 f xfxxxxx 所以 1 0 1 0 xxx f x xxx 关于周期函数 请大家记住一个结论 下面以例题的形式给出 例 8 设是定义在内的以为最小正周期的周期函数 证明 yf x T 函数是以为最小正周期的周期函数 0yf axba T a 证明 一 首先证明是函数的周期 T a yf axb 事实上 设 1 F xf axb 因为 TT F xfa xbfaxbTf axbF x aa 周世国 09 耶鲁专升本秋季班 7 所以 是函数的周期 T a F xf axb 二 证明是函数的最小正周期 反证法 T a yf axb 假设存在使得对于定义域中的任意有0 T m a x 2 F xmF x 则对于任意的实数有 x 12 xbxbxbxb f xamfambFmFfabf x aaaa 这说明也是的周期 但 这与是的最小正周am yf x 0amT T yf x 期相矛盾 例 9 的最小正周期为 sin 32yx 2 3 T 由周期函数的定义 容易知道有下面的结论 设分别是以为周期的函数 且为有理数 则 f xg x 1212 T TTT 1 2 T T 是以的最小公倍数为周期的函数 f xg x 12 T T 例 9 证明非周期函数 sinf xxx 证明 反证 设是以为周期的函数 xxysin l0 则 xR f xlf x 即 xlxlxxlxlxsinsin sinsin 上式中 分别令 得 xx 0 得到矛盾 sin0 sin0 ll ll 0 l 四 反函数四 反函数 反函数也是个常常考察的知识点 一般是以填空题或单项选择题的形式命题 没 必要举例 只提醒大家注意两点 反函数的定义域是原函数的值域 反函数的 图形与原函数的图形关于直线对称 yx 五 复合函数五 复合函数 两种常见题型 一是将若干简单函数复合成一个复杂函数 这时要注意复合 的条件是后面函数的值域与前面函数的定义域的交集非空 二是将复杂函数分 解简单函数 大部分是基本初等函数 要求大家下去把书中第 4 6 页表中简单 周世国 09 耶鲁专升本秋季班 8 初等函数及其特性搞熟 例 10 下列函数是否可以复合 1 可以 ln 1 yu ux 2 不可以 2 arcsin 2 yu ux 例 11 将函数分解 21 sin x ye 六 函数的极限 包括数列的极限 六 函数的极限 包括数列的极限 数列的极限部分只要求 1 给出 能观察出是否存在 精确的数 n xlim n n x 学定义不作要求 2 数列极限的三个性质 经常出判断题 3 数列的四则运算 法则 4 夹逼准则 5 单调有界原理 记住几个常用的公式 1 lim0 1 lim10 lim1 lim00 nnn k nnnn qqaank n 例 11 求 12 lim 22 n nn n 解 从表面上看 是两数列差的极限 但不能直接用四则运算法则 为什么 请一块说说使用数列求极限的四则运算时应注意的三个事项 原式 11 limlim 22 22 2 1 nn n n n 例 12 求 1 1 2 1 2313 limlim 3 232 23 3 n nn nn n nn 例 13 求 22 lim11limlim1 11 11 11 nnn n nnn nn nn 例 14 111 lim 1 1 22 31 n n n 例 15 求 2 lim n n n 解 此题宜用夹逼准则 因为 且 22 2 222 0 2 1 2 3 n nn yz nnn limlim0 nn nn yz 周世国 09 耶鲁专升本秋季班 9 故 2 lim0 n n n 注意 夹逼准则的两大功能 夹 与 逼 要通过放大或缩小不等式来实 现 要拿捏适当很不容易 比如上题 如用 来夹逼就达不到目的了 22 2 22 0 2 1 2 3 n nn yz nn 例 16 求lim23 nnn n 解 因为 且3323333 2 nnnnnnnnn nn yz 故 limlim3 nn nn yz lim233 nnn n 注意 一般地 121 lim max 0 nnn n mmi n aaaaaa 下面举几个利用单调有界原理求极限的例子 例 17 证明数列有极限 1 1 n n 证明 记 1 1 n n x n 一 由均值不等式 对于任意的有 12 12 0 1 n n ni aaa a aaain n n 即 1 1 11 11 1 11 11 n n n n nnn 1 1 11 11 1 nn nn xx nn 故单增 1 1 n n x n 二 不妨设此时 有2 n 2 22 2 1 22 11 1111 2 1 1 1 1 22 211 1 nn n n nnn nnn nn n n 故 故有上界 因此数列有极限 1 14 n n 1 1 n n x n 1 1 n n 注意 今后记 1 lim 1 n n e n 周世国 09 耶鲁专升本秋季班 10 例 18 证明 数列收敛 其中 m x 10 1 12 2 0 2 nn n xxnx x 证明 一 即有下界 11 11 1212 2 2 22 nnn nn n xxx xx n x 二 由 2 2 n x 即单减 2 1 2 0 2 n nn n x n xx x m x 所以 由原理知 收敛 m x 三 设 则因为lim n n xa 1 1 12 2 2 nn n xxn x 所以 两边取极限 有 2 2 2 1 a a aa 又由收敛数列的保号性知 lim2 n n x 下面讲函数的极限 函数极限也有与数列极限完全类似的的四则运算法则 有极限的函数也有完类似于有极限数列的三个性质 这里不再赘述了 第一个经常考的考点是函数极限存在的条件 即定理 0 00 limlimlim xx xxxx f xAf xf xA 例 19 设求 1 0 0 0 1 0 xx f xx xx 0 lim x f x 解 因为所以 不存在 00 lim1 lim1 xxxx f xf x 0 lim x f x 如把此题稍加变形 则结论变为 1 0 0 0 1 0 x x f xx xx 0 lim2 x f x 注意 函数在点处有无极限 与其在点处有无定义无关 0 x 0 x 例 20 求 不存在 左极限 2 右极限 2 2 1 1 lim 1 x x x 周世国 09 耶鲁专升本秋季班 11 例 21 求 不存在 左极限 0 右极限 1 0 lim x x e 请大家记住一个结论 以例题形式给出 例 22 设为常数 也可以为 0 且则 0 lim xx f x C C g x 0 lim0 xx g x 0 lim0 xx f x 证明 0 lim xx f x 000 lim lim lim 00 xxxxxx f xf x g xg xC g xg x 例 23 设求的值 2 1 lim3 1 x xaxb x a b 解 由于所以 1 1 lim 10 x x 2 1 lim10 x xaxbab 故 2 11 11 1 3limlim2 11 xx xxa xaxa a xx 所以 5 4 ab 例 24 求 2 2 21 lim 345 x xx xx 例 25 求 2 21 lim 345 x x xx 书上有一个重要的结论要大家记住 也是一个考点 经常会以填空或选择的 形式出现 1 010 1 001 0 lim mm m mm x n mn a xa xaa mn bb xb xb mn 例 26 设 满足 32 2 2 axbxcxd f x xx 1 求的值 1 lim1 2 lim0 xx f xf x a b c d 下面举几个例子说明常见的函数求极限技巧 例 27 求 比喻 以毒攻毒法 2 1 1 lim 1 x x x 周世国 09 耶鲁专升本秋季班 12 例 28 求 11 lim 1 x x x 例 29 求 2 lim x xxx 例 30 求 22 33 1631 limlim 3996 xx x xxx 函数极限也有个夹逼准则 例 31 求 0 limcos1 x x 例 32 0 sin lim1 x x x 证明 因为为偶函数 故只须证明 x x xf sin 1 sin 0 lim x x x 事实上 不妨设 则 2 0 xxxxtansin 两边同除以得 xsin xx x cos 1 sin 1 又因为 1 cos 0 lim 1 cos 1 0 lim xx x x 所以 由由夹逼准则知 1 sin 0 lim x x x 所以 1 1 1 sin 0 lim 1 sin 1 0 lim sin 0 lim x x x x x x x xx 下面讲无穷小与无穷大 定义自己去看 注意 离开了具体的极限过程 就无 法定义无穷小 大 如 当时是无穷小 当时是无穷大 f xx 0 x x 经常考的知识点是两个无穷小的比较 三种结果 这个知识点每年必考 下去 自己看参考书 另一个需要掌握的知识点是无穷小与无穷大的关系定理 例 27 证明 2 lim 21 x x 还有一个重要的结论 有界变量乘以无穷小量还是无穷小 如 1 00 1sin1 lim sin lim lim lim 1 1 x xxxx x xx x xxxe e 这四个结论肯定都不能直接用商的极限法则来运算 在所有极限结果中 有两种极限特别重要 称它们为两种重要极限 需要单 独拿来讲 周世国 09 耶鲁专升本秋季班 13 第一种 0 sin lim1 x x x 特点 1 属于型 2 0 0 0 sin lim1 0 x u x u x u x 例 下列结论中哪些成立 1 2 3 0 1 sin lim1 1 x x x 1 sin lim1 1 x x x 1 sin1 lim1 1 x x x 4 0 sin2 lim1 2 x x x 例 28 0 sin2 lim x x x 例 29 x x x 5sin 3sin lim 0 例 30 x x x tan lim 0 例 31 x x x arcsin lim 0 例 32 x x x arctan lim 0 例 33 2 0 1 cos lim 2 x x x 第二种 或 1 lim 1 n n e n 1 lim 1 x x e x 特点 1 属于型 2 1 1 0 lim 1 0 u x x u xe u x 例 33 2 1 lim 1 x x x 例 34 2 lim 1 x x x x 例 35 设求常数 lim8 2 x x xk xk kln2k 例 36 2 cot 2 0 lim sec x x x 周世国 09 耶鲁专升本秋季班 14 例 37 1 0 lim sincos 22 x x xx 例 38 0 1 lim x x e x 大家注意到 刚才我们讨论两个重要极限时 大部分极限形式都是型 即求 0 0 两个无穷小商的极限 事实上 微积分中值得关注的极限形式只有两种 型或 0 0 型 其他类型都可一眼看出答案 而型可以转化为型 因此 大家要高度 0 0 重视这种型的求极限技巧 其中最重要的有两个 一个利用是等价无穷小的 0 0 替换 另一个是利用著名的洛必达法则 我们先讲等价无穷小的替换法 为此 先回顾以下结论 定理 定理 设是同一极限过程中 设为 的 11 xxxx 0 xx 四个无穷小 且有存在 11 xxxx 0 1 1 lim x x f x xx 或为 则也存在 或为 并且 0 lim x x f x xx 0 lim xx x f x x 0 1 1 lim x x f x xx 今后作题时请大家记住下面八对常用的等价小 0 x 1 2 sin sin xxmxmx tan tan xxmxmx 3 4 sin arcxxarctan xx 5 6 1 x ex xx 1ln 7 8 2 1 cos 2 x x n x x n 11 例 39 求 2 00 122 limlim sin333 x xx ex xx 例 40 求 6 1 2 3 lim 2arctan 11 lim 0 3 0 x x x x xx 周世国 09 耶鲁专升本秋季班 15 例 41 求 3 0 tansin lim x xx x 解法一 33 00 tansin limlim0 xx xxxx xx 解法二 2 333 000 sin1 costansin1 2 limlimlim cos cos2 xxx x x xxxx xxxxx 解法二是对的而解法一是错误的 为何 请大家自己思考 sin sin 0000 1 sin limlimlimlim1 sinsinsin xx x xx xx xxxx ee eexx ee xxxxxx 练习 1 求2 求 3 求 2 0 cos3cos5 lim x xx x x x x cosln cosln lim 0 x x x cos1 lim 0 4 求 2 22 55 000 1 2 121 11 2 5 limlimlim 5 xxx xx xx x xxx 七 函数的连续性七 函数的连续性 首先要记住两个重要结论 1 一切基本初等函数在其定义域内都是连续的 2 一切初等函数在其定义区间 即包含在定义域内的区间 内都是连 续的 一个最常见的考点是考察分段函数在其分段点处的连续性 这时要用到一个命 题 在点处连续在点处既左连续又 右连续 xf 0 x xf 0 x 例 42 设函数在内连续 求常数 2 2 0 01 1 xx f xxax bxx 解 分析 当时 为初等函数 则当时 0 x 2f xx 0 x 为连续函数 当时 为初等函数 则当 f x01x 2 f xxa 时 为连续函数 当时 为初等函数 01x f x1x f xbx 则当时 为连续函数 故要使得在内连续 只1x f x xf 须保证在及处也连续 xf0 x 1x 因为 00 limlim22 xx f xx 2 00 limlim xx f xxaa 故只有当 即时 在处也 00 limlim0 xx f xf xf 2a xf0 x 周世国 09 耶鲁专升本秋季班 16 连续 又因为 2 11 limlim1 xx f xxaa 11 limlim xx f xbxb 故只有当 即时 在处也连 11 limlim1 xx f xf xf 3b xf1x 续 关于复合函数的连续性 有下述命题 定理 定理 为复合函数 其中存在 且 yfx 0 lim xx uxxa 也存在 则 lim ua f uA 0 limlim xxua fxf uA 上述定理为求函数极限时做变量替换提供了理论依据 例如 01 sinsin limln 1limln 1ln2 xu xx uu xx 推论 推论 为复合函数 其中且在处 yfx 0 lim xx xa f uua 连续 则 即 0 lim xx fxf aA 00 limlim xxxx fxfxf a 例 43 求 0 sin limarctan x x x 解 令 因存在 且函数在处 sin x u x 00 sin limlim1 xx x u x arctanyu 1u 连续 故 00 sinsin limarctanarctan limarctan1 4 xx xx xx 当点非连续点时 往往是间断点 关于间断点的分类是必考的考点 0 x 先一块回顾一下间断点及其分类标准 例 44 求函数的间断点 并指出其类型 2 ln 32 x f x xx 解 函数的定义域是 而在上0 1 2x f x 0 0 1 1 2 2 是初等函数 所以连续 故函数的间断点是 第二类的无穷型间 1 0 x 断点 第一类的可去型间断点 第二类的无穷型间 2 1x 3 2x 断点 例 45 函数的连续性 tan x f x x 周世国 09 耶鲁专升本秋季班 17 在所有连续函数类中 闭区间上的连续函数是最重要的 因为它有 几个良好的性质 如 最值定理 有界性 介值定理 其推论是零点 定理或根值定理 考得最多是零点定理 例 46 证明方程至少有一个小于 1 的正根 21 x x 证明 设 在上连续 又 21 x f xx f x 01 由闭区间上连续函数的零点定理知 010 110 ff 至少存在一点 使从而方程至少有一个小于 01c 0 f c 21 x x 1 的正根 c 思考题 1 证明方程在 1 与 2 之间至少有一个实根 5 310 xx 2 证明方程恰好有三个实根 提示 令 3 910 xx 先证明在各区间内各有一 3 91f xxx f x 3 2 2 0 0 4 个实根 说明方程至少有三个实根 再证明方程 3 910 xx 最多有三个实根 理由是为三次代数方程 3 910 xx 3 910 xx 至多只能有三个实根 第二章第二章 一元函数微分学一元函数微分学 一 与导数的定义有关的考点一 与导数的定义有关的考点 先回顾导数的定义 设函数在内有定义 如果极限存在 则称 xfy 0 U x 0 0 0 lim x f xf x xxx 在处可导 称为函数的可导点 且称上述极限值为函数 xfy 0 x 0 x xf 在处的导数 记为 或 或简记为 xf 0 x 0 xdx dy x 0 xdx df x 0 fx 注意导数的本质是瞬时变化率 它还有另外两种常见的等价定义 1 0 fx 00 0 lim x f xxf x x 周世国 09 耶鲁专升本秋季班 18 2 0 00 0 lim x f xhf x fx hx 要特别关注处的导数有特殊形式 0 x 更特别地 0 0 0lim x f xf f x 0 0 0lim 00 x f xf ff x 如 要知道两个重要的结论 1 可导必连续 2 函数在处可导的充要 xfy 0 x 条件是对于分段函数在分段点处的可导性 一定从要考察其左 00 fxfx 右导出发 例 1 已知 A 试求下列极限的值 0 fx 1 00 0 lim x f xxf x A x 2 00 0 3 lim 4 x f xxf xx A x 例 2 研究函数在处的可导性 xxf 0 x 解 因为 0 0 0limlim1 0 00 xx f xf x f xx 同理 可求得 01f 由于 所以在处不可导 记住这个结论 00ff xxf 0 x 练习 设在处可导 求的值 2 0 1 0 ax ex f x bxx 0 x a b 解 一 因为在处可导 从而在处也连续 f x0 x f x0 x 所以 即 00 limlim xx f xf x 1 b 二 00 0 1 0limlim 0 ax xx f xf e fa xx 2 2 000 011 2 0limlimlim2 0 xxx f xfx xx f xxx 由得 00ff 2a 周世国 09 耶鲁专升本秋季班 19 例 3 已知 试求在处的导数 2 f xx xf2 x 解 因为 所以 2 22 4 limlim 2 4 2 xx x x x 24 f 由此例可见 在导数存在的情况下 求导问题就归结为求一个型的极限 故求 0 0 导就是求极限 不必多举例 今后很少针对具体函数计算在一点处的导数值 如把函数在一点处可导的概念推广到一个区间 则可得到导函数的概念 大家 0 x 要牢记基本导数表 共十五 六条 这里的每一条都是根据导数的定义推出来 的 请大家在下面自己试着也推推 如 求 xxfsin cosfxx 二 导数的几何意义二 导数的几何意义 关于导数的几何意义 主要考察的题型有两种 一种题型是选择题或判断题 比 如 若函数在处可导 则曲线在处必有切线 xf 0 x Cyf x 0 x 反之 若曲线在处有切线 则在处必可导 则 Cyf x 0 x xf 0 x 另一种题型是根据几何意义找切线 例 4 求曲线与直线垂直的切线 lnyx 1xy 解 设切点 000 lnMxx 切线斜率 由题意 即 00 0 11 x xx x ky xx 0 1 11 x 0 1 x 故切线方程为 01 yx 下面举一个复杂点的 把前面的知识点窜起来 例 5 设为连续函数 且求曲线在点处的 xf 0 lim2 x f x x yf x 0 0f 切线方程 08 年研究生考试题 解 由于 且 0 lim2 x f x x 0 lim0 x x 故 前面已讲过理由 0 0lim0 x ff x 而 00 0 0limlim2 0 xx f xff x f xx 所以 切线方程为 020 yx 周世国 09 耶鲁专升本秋季班 20 三 导数的四则运算三 导数的四则运算 四则求导法则非常简单 但不注意的话 容易犯错误 下面举几个小例子 例 6 求的导数 2 sinln72cos0yxxxx 注意 部分同学可能会犯下面的错误 1 ln7 7 例 7 设求 3 11 3 ln 11 xex x yxxe x xx y 此题应先化简再求导 3 2 3 1ln xex x yxxe xx 注意 个别同学容易把幂函数求导与指数函数求导的公式搞混 例 8 求的导数 xy2sin 解 sin22cos2sincossincosyxsinxxxxxx 22 2 cossin2cos2xxx 四 反函数求导法则四 反函数求导法则 若函数 其反函数为 若在的某邻域内连续 yx xfy yx 0 y 0 U y 严格单调且 则在点可导 且 0 0y xfy 00 xy 0 0 1 fx y 例 9 求的导数 xyarcsin 解 设原函数 则其反函数为 2 2 cos sin yoyyxxyarcsin 根据反函数求导法则 有 22 11111 cos 1 sin1 dy dx dxyy yx dy 五 复合求导法则五 复合求导法则 大家可能还有印象 复合函数的导数是xy2sin 与直接套用基本导数表相比 这个 2 从何而来 sin22cos2 dy xx dx 如 果记 则xu2 xuuy2 sin 周世国 09 耶鲁专升本秋季班 21 sincos 22 u dydu uux dudx 故此题恰好满足等式 dx du du dy dx dy 这是否是巧合的 我们说不是 事实上 式正揭示出了复合函数的求导法则 定理定理 若函数在可导 而函数在对应的处也可导 xu x ufy xu 则复合函数在处也可导 且 xfy x 或 或 dx du du dy dx dy xux yy u yfux 注意 复合函数的链式求导法则可推广至复合两次以上的情形 如 对函数 如记 xfy ufyvuxv 则各变量间的关系是 有 xvuy dydy du dv dxdu dv dx 上式可通过连续使用两次链式法则得到 大家不难将上式的结果再推广可得复合 四次以上的情形下的链式法则 不过 一般只会遇到复合三次以下的情形 例 10 求的导数xy2sin 解 记 则 由链式法则 有xu2 xuuy2 sin sin2cos 22cos2yfuxuxux 注意 1 上述解法的结果无疑是对的 因为它与前面我们用四则求导法则得 到的结果完全一致 但上述解法中有个别地方记号不对 谁能指出 来 2 正确写法是 sin2cos 22cos2 u yfuxuxux 3 大家注意到倒数第二步还有一个将中间变量的记号用 x 的函数进行回 代的过程 也就是说 最后的结果中不再含有中间变量的记号 u 请 大家作题时不要忘记回代 4 显然中间变量的记号可以任意 比如 例 1 中 将 u 的记号换记为 v 不会改变最后的结果 例 11 求的导数 2 sinyx 解 记 则 xusin 2 yu 2 sin2 cos2sin coscos2 u yuxuxxxx 例 12 求的导数 2 tanln x y 周世国 09 耶鲁专升本秋季班 22 解 先将分解为基本初等函数 即 2 tanln x y 2 tan ln x vvuuy 22 11111 lntansec sec csc 222 2sin tan 2 uvx uv x xx yy u vuvvx x ux 注意 既然最后的结果与中间变量的记号并无关系 聪明的同学肯定会提出一 个想法 能不能不明确地写出中间变量的记号 这样 可省去烦琐的中间变量 的回代过程 例 13 重做例 3 解 2 11 lntantansec 222 2 tantan 22 xxxx y xx 注意 1 这种写法的核心是 无论再复杂的函数 每次都将它视为只复合了 一 次 这样可去掉第一层 然后依次去掉第二层 只至去掉最后一层 打个形 象的比喻 就相当于一个人穿了好几件衣服 我既可以一次全脱下 也可以一 件 一件地脱 一次脱完就相当于原始写法 一件一件地脱则相当于新写法 2 这种写法还有一个好处 即不易犯记号错误 3 暂时我允许同学们在做作业时 两种写法任选一种 下周以后 只允 许用第二种写法 4 有一种比较难的题 复合与四则运算交错在一起 写的过程中易犯错误 例 14 求的导数 2 ln1yxx 解 对付这种题我有一句口诀 逢山修路 遇水搭桥 即每次只解决当前的问 题类型 1 2222 2 22 111 ln11111 2 11 yxxxxxx xxxx 2 22222 12111 1 12 1111 xxx xxxxxxx 例 15 求的导数 sin sin n yxnx 解 sin sinsinsinsinsin nnn yxnxxnxxnx 11 11 sinsinsinsinsin sin cossincos sin cos sinsincossincos sinsin cos nnnn nnn nxxnxxnxnxxxnx nx nxxnxnxnxnxxnxxnx 周世国 09 耶鲁专升本秋季班 23 1 sinsin1 n nxnx 练习 1 求的导数 xxxy 2 求 x yx 3 求的导数 x x yx 例 16 设在处可导 试确定常数的值 2 1 1 ax x f x xb x 1x a b 解 因为在处可导 从而在处也连续 但 f x1x f x1x 故 11 lim lim1 xx f xaf xb 1ab 再由于在处可导 则 f x1x 11 ff 又所以 1 12 fa f 2 1ab 例 17 设求 2 2 0 2 01 1 1 xx x f xxx x x fx 解 2 22 0 2 01 1 1 1 xx x fx x x x 不存在 例 18 设求 考研题 2 2 arctanln 1 x x x e ye e 1 y 解 由于 22 11 arctan2ln 1arctanln 1 22 xxxx yexeexe 所以 2 22 111 1 2 2111 xx x xxx ee ye eee 故 2 1 1 1 e y e 注意 关于反函数的几个求导公式 个别同学容易搞错 在复合函数求导中要特别注意抽象的复合函数求导 容易犯记号错误 例 19 设 其中可导 求 ln f x yfx e f x y 周世国 09 耶鲁专升本秋季班 24 解 lnln ln f xf x yfxxefxefx 1 lnln f xf x fxefx efx x 请注意 记号的区别 lnlnfxfx 例 20 设其中可导 求 22 yfxgx f xg x y 解 22 22 1 2 yfxgx fxgx 22 1 22 2 f x fxgx g x fxgx 有些同学最容易漏掉小尾巴 例 21 设求 2 32 arcsin 32 x yffxx x 0 x dy dx 解 2 22 323232123212 arcsin 32323232 3232 xxxx yff xxxx xx 所以 3 0 3 22 y 六 简单函数的高阶导数六 简单函数的高阶导数 由高阶导数的定义可知 计算具体函数的 n 阶导数就是按求导法则和导数公 式逐阶求下去 最后归纳出 n 阶导数的一般形式 没有捷径可走 例 22 求 n yx 1 0 nn yny 例 23 求 99 21 xxxxxf 100 0 0 ff 例 24 求 特别地 x ya ln nxn yaa n xx ee 例 25 求 xysin sin 2 n yxnnN 类似 求 xycos cos 2 n yxnnN 例 26 求 2x ye 2 2 nnx ye 周世国 09 耶鲁专升本秋季班 25 例 27 求 xxf 1ln 1 1 1 1 n n n n y x 例 28 1 求 2 1 56 f x xx 11 23 n n y xx 注意 做题的过程中不要整理 合并 以便于归纳出一般规律 练习 1 2 2 1713 1 5623 xx f x xxxx 求 713 1 23 n n y xx 2 21 32 21211 33 323233 32 x x f x xxx 解 11 1 13 32 nn nn ynx 注意 此法称拆项法 请同学们试做 66 sincosyxx 求下面再讲一个稍微 33 1 cos21 cos253 cos4 2288 n n n xx yx 再提高点的题 例 29 设其中在的某个邻域内具有一阶连续导 2 1 f xxg x g x1x 数 且求 1 1 2 g 1 f 解 一 估计大部分同学都能作出第一步 1 2 211fxxg xxg x 二 估计接下来有些同学会继续求导 得到然后代入求得 fx 1 f 但此法是错误的 因为题目未能保证在的某个邻域内也存在 正确 gx 1x 解法是 2 11 1211 1limlim 11 xx fxfxg xxgx f xx 1 1 lim 212121 2 x g xxgxg 当遇到两函数的积函数求高阶导时 有一个著名的莱布尼兹公式 莱布尼兹公式 0 n nkn k k n k u x v xu xv x c 周世国 09 耶鲁专升本秋季班 26 例 30 求 2x yx e 20 y 例 31 求 xxfarctan 0 n f 解 1 2 2 1 11 1 fxfxx x 由莱布尼兹公式 得 1 式两边同时求 n 1 阶导数 2 12 122 11 1220 nnn nn xfxxfxfx cc 将代入 2 式 得0 x 22 012000120 nnnn fnnffnnf 3 又 01 00ff 故由 3 式递推可得 221 00 012 m mm ffm 例 32 已知具有任意阶导数 且 求 xf 2 fxfx 2 n fxn 证明 因为 2 fxfx 所以 3 22fxf x fxfx 24 2 32 3fxfx fxfx 归纳可得 1 2 nn fxn fxn 我们说 最难求的还是抽象的复合函数的高阶导数 例 33 求 2 sinyfx y 解 222 sinsinsin2sinsinyfxxfxxx 22 2sinsin cossin2sinfxxxxfx 22 2222 22 sin2sinsin2sin sin2sin2cos2sinsin2sinsin 2cos2sinsin2sinsin2 yxfxxfx x fxxfxxfxx xfxxfxx 注意 请同学们注意记号与的区别 2 sinfx 2 sinfx 七 隐函数求导七 隐函数求导 隐函数其实利用的是复合函数的求导法则隐函数其实利用的是复合函数的求导法则 求导技巧就是一句话 方程两边求导技巧就是一句话 方程两边 周世国 09 耶鲁专升本秋季班 27 同时求导同时求导 例 34 设确定了一个隐函数 求 xy e yx xyy 2 2 d y dx 解 一 方程两边对自变量求导 有x 1 11 x y eyyxyxyyyxy 所以 2 yxy y xyx 由 1 式 有 3 1 1 yxyy y xyxy 3 式两边对再求导 得 x 4 222 222 1 1 y yyyxy yy xyy yx 将 2 式