42[1].综合复习（函数及其图象）

综合复习 函数及其图象 综合复习 函数及其图象 例题精选例题精选 例 1 已知点的坐标满足方程 则点 p 在 p x y xy 120 A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四 象限 分析 这道题首先考察了平面内点的坐标 在各象限内的横纵坐标的特点 其 次是绝对值 算术平方根 互为相反数的性质与概念的理解 由 可知 所以点 在第二象限 应选xy 120 xy 12 p x y B 例 2 已知点关于原点对称的点在第一象限 那么 m 的取值范围是 Mm 1 2 3 分析 这道题考查对称点的特点 关于原点对称的点 它们的横纵坐标互为相 反数 与点关于原点对称的点在第一象限 说明点 M 在第三象限 则M 即30m m 0 例 3 求函数自变量的取值范围 1 函数自变量 x 的取值范围是 y x x 5 32 2 函数自变量 x 的取值范围是 yxx 25 分析 由解析式给出的函数表达式 自变量 x 的取值范围应使解析式有意义 即二次根式的被开方式要大于等于零 分式的分母不能等于零 等 解 1 50 320 2 3 5 x x x 2 x x x 20 50 25 例 4 平行四边形相邻的两边长是 它的周长是 30 则 y 关于 x 的函数关x y 系式是 解 平行四边形对边相等 所以周长为 得到 则 y 关2230 xy xy 15 于 x 的函数关系式为 yxx 15 015 例 5 已知 如图 正方形 ABCD 中 E 是 BC 边上的点 F 是 CD 边上的点 且 AE AF AB 4 设三角形 ABC 的面积为 y EC 为 x 求 y 与 x 之间的函数关系式 并在直角坐标系中画出这个函数的图象 简解 ABCDABADBD是正方形 Rt 且AEAFABFADF BEDFBCCDECFCx BEDFx 4 则 正方形 SSSS AEFABECEF 2 即 yxx 162 1 2 44 1 2 2 整理合并为 因为 E 点在 BC 上 F 是 CD 上的点 当yxx 1 2 4 2 E 与 C 点重合时三角形 AEF 不存在 所以 x 的取值范围是 图象略 04 x 例 6 已知 y 1 与 x 成正比例 当 x 2 时 y 9 那么 y 与 x 之间的函数关系是 分析 该题考查了正比例函数的概念及反待定系数法 因为 y 1 与 x 成正比例 所以 当时 所以可求出 y 与 x 之间的函数关系是ykx 1x 2y 9k 4 yx 41 例 7 函数与的图象在同一坐标系内 如图 其中正yxk 1 y k x k 2 0 确的是 解 当时时 的图象应在第一 三象限 直线和 y 轴的k 0y k x 2 yxk 1 交点在 x 轴的下方 直线从右上方到左下方 图 A 是正确的 应选 A 其余均 不对 例 8 下面是一组考查二次函数性质的题目 1 二次函数 的图象如图所yaxbxc 2 示 则下面结论正确的是 A abc 00 B abc 00 C abc 00 D abc 00 2 若二次函数的图象与 x 轴无交点则图象可为yxax 2 1 3 二次函数的图象如图所示 yaxbxc 2 则点在 p a c b A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 解 这一组考查二次函数图象及其性质包括顶点坐标和对称轴的题目 要求考 生要熟练掌握 1 图象开口方向向下 所以 图象交 y 轴的正半轴的所以 又对a 0c 0 称轴在 y 轴的左侧 应小于零 或顶点坐标在第二象限 x b a2 根据分析可知 应选 B bbc00 abc 00 2 由二次函数 可知抛物线开口方向向上 与 x 轴交点 yxax 2 1 01 所以应选 B 3 要判断 P的位置 可根据抛物线开口方向向下 得 对称轴在a c b a 0 y 轴的右侧 说明x b a 2 0 即 b 0 时 抛物线成 y 轴交点在 x 轴的上方 所以 c 0 则 点 P说明点 P 在第二象限 应选 c b 0a c b 00 说明 说明 要求考生一定要熟练地掌握一次函数 正比例函数 反比例函数及二次 函数的概念 如系数不等于零及 x 的次数的要求 都应十分清楚 熟练 准确 利用方程 方程组 不等式组等知识没有错误 以及对图象的认识 直线的方 向 与 y 轴交点位置及特点 二次函数的内容较多 如用配方法去求顶点坐标 对称轴方程 对抛物线的位置的认识 对称轴位置 a 与的符号的相关性 a b c 顶点的位置与的关系等 都是重要的考点 应引起足够重视 a b c 例 9 已知 抛物线与 x 轴交于 A B 两点 且点 A 在点 B 的yxx 1 4 3 2 5 4 2 右侧 顶点为 C 求 1 点 A B 和 C 的坐标 2 直线 AC 的解析式 解 1 yxbxxxx 1 4 5 1 4 6995 1 4 31 22 2 Cxxx点坐标为令解得3 1 1 4 31015 2 12 因为点 A 在点 B 的右侧 所以 A B 两点坐标分别为 1 0 B 5 0 2 设直线 AC 的解析式为 ykxb 点在直线上AC 103 1 kb kb k b 0 31 1 2 1 2 解得 直线的解析式是ACyx 1 2 1 2 例 10 在直角坐标系 XOY 中 已知直线 l 经过点 4 0 且与 x 轴 y 轴围成的 直角三角形的面积等于 8 如果一个二次函数的图象经过直线 L 与两条坐标轴 的交点 以 x 3 为对称轴 且开口向下 求这个二次函数的解析式 并求出它 的最大值 分析 这道题属于考查待定系数法确定二次函数的解析式 但是求二次函数的 三个条件就不够清晰 只有对称轴 x 3 还需寻求另两个点 即直线 l 与两坐标 轴的交点 这样又需求出直线的解析式 而直线只需两个条件 确定ykxb 经过点 4 0 以及和 x 轴 y 轴围成的直角三角形的面积等于 8 k b 解 设直线 l 的解析式为 与 x 轴交点为 A 4 0 与 y 轴交点ykxb B 0 m 依题意得 1 2 4844 mmm 设二次函数的解析式为 当图象过 A 4 0 B 0 4 yaxbxc 2 且以 x 3 为对称轴时有 b a abc c 2 3 1640 4 解这个方程组得 所求二次函数的解析式为 abc 1 2 34 yxx 1 2 34 2 因为 抛物线开口方向向上 不符合题意舍去 a 1 2 0 当图象经过 A 4 0 B 0 4 且以 x 3 为对称轴时有 b a abc c 2 3 1640 4 解这个方程组得 所以二次函数解析式为abc 1 2 34 抛物线开口向下 符合题意 所以所求二次函数解yxxa 1 2 34 1 2 2 析式为 yxxy 1 2 34 1 2 2 最大值 例 11 已知抛物线与 x 轴有两个不同的交点 yxxk 2 42 1 求 k 的取值范围 2 当两个交点的横坐标的平方和等于 10 求这个抛物线的解析式 3 在 2 的条件下 设抛物线的顶点为 M 它与 x 轴的两个交点从左至右 依次为 A B 与轴的交点为 P 求 三角形 PMB 的内切圆与外接圆半径之比 分析 这道题是代数几何的综合题 不但要求考生对二次函数的性质要熟练掌 握 而且还要求明确二次函数与二次方程的关系 同时对几何的三角形内切圆 与外接圆的有关概念及计算要熟练应用 解 1 抛物线与 x 轴有两个不同的交点 yxxk 2 42 164202kk 即 2 设两个交点的坐标分别为 xx 12 00 由已知得 xx xxk xx 12 12 1 2 2 2 41 22 103 由 3 得 xxxx 12 2 12 210 由 1 2 得 1622101 kk 当 k 1 时 抛物线为 yxxx 2 2 4321 3 抛物线顶点 M 坐标为 yx 21 2 21 抛物线与 y 轴交点 P 的坐标为 0 3 抛物线与 x 轴交点 A B 的坐标分别为 1 0 3 0 MBPB 22 21820 PM 2 20 为直角的直角三角形 MBPBPMPBMPMB 222 是以 的外接圆半径为 PM 2 5 PBM5 的内切圆半径 Rt PMB 3 222 5 2 2 25 内切圆半径与外接圆半径的比为 2 25 5 2 105 5 综合练习综合练习 一 填空题 1 函数中 自变量 x 的取值范围 yx 2 2 点关于原点对称的点的坐标是 p 21 3 已知 函数的值是 x 2y x x 2 1 4 一次函数的图象不经过 象限 yx 32 5 若点在抛物线上 则点 A 关于 y 轴对称的点的坐标是 Am2 yx 2 6 对于函数 当时 0 这部分的图象在第 象y x 2 x 0y 限 7 一次函数中 当时 则 ykx 2x 5y 4k 8 点 A 5 3 到 x 轴的距离为 到 y 轴的距离为 到原点的距离为 9 点的横纵坐标互为相反数 则 m N mmm 2 33 10 如果正比例函数的图象过点 1 3 那么 k 的值为 ykx 二 选择题 1 函数中自变量 x 的取值范围 y x x 2 21 2 A B x 2xx 23 且 C D x 2xx 23 且 2 在函数中 自变量 x 的取值范围y x x 1 A B 且C D 且x 0 x 0 x 1x 0 x 0 x 1 3 一次函数的图象经过点 A 1 2 和 B 0 3 那么这个函数的解析式 是 A B yx 53yx 53 C D yx 53yx 53 4 二次函数的顶点坐标 对称轴方程 yx 13 2 A 1 3 x 1B 1 3 x 1 C 1 3 x 1D 1 3 x 1 5 直线与的交点在yx 2yx 3 A 第一象限B 第二象限C 第三象限 D 第四象限 6 在直线上的一个点是yx 25 A 2 1 B 2 1 C 1 2 D 1 2 7 一次函数的图象不经过第三象限 那么取值范围是 ykxb k 0k b A B kb 00 kb 00 C D kb 00 kb 00 8 下列函数中 当时 y 随 x 的增大而减小的是x 0 A B yx 34y x 1 2 C D y x 4 yx 1 3 2 9 在同一直角坐标系中 表示函数 与的图象只能是yaxb y ab x ab 0 10 二次函数配方后 结果正确的是yxx 2 21 A B yx 12 2 yx 12 2 C D yx 12 2 yx 12 2 答案答案 一 1 2 2 1 3 4 第三5 x 2 2 2 4 6 7 8 3 5 9 2 5 34mm 31 10 3 二 1 D2 D3 D4 C5 B 6 B7 B8 B9 B10 A 综合练习二综合练习二 1 已知与成正比例 且比例系数是 k 其中 b 为常数 yb x 1k 0 1 证明 y 是 x 的一次函数 2 若这个一次函数的 y 随 x 的增大而增大 且点与点关于原 p b k Q k 1 1 点对称 求这个一次函数解析式 2 已知二次函数的图象 经过一次函数的图象上的点 且顶yx 8 Am7 点坐标为 3 1 求这个二次函数解析式 3 已知抛物线经过一直线与 x 轴 y 轴的交点 并经过 2 5 点 yx 33 求 1 抛物线的解析式 2 抛物线的顶点坐标及对称轴 3 当自变量 x 在什么范围内变化时 函数 y 随 x 的增大而增大 4 在坐标系内画出抛物线的图象 4 已知二次函数当自变量 x 3 时函数值取得最大值 2 如果图象与 x 轴交于 A B 两点 顶点为 M 且的面积为 4 AMB 1 求这个二次函数的解析式 2 若点 N 是其图象上的一个点 且的面积为 12 求直线 MN 对应的 ANB 函数解析式 5 已知二次函数 ymxmx 2 31 1 求证 不论 m 取何值时 二次函数的图象都与 x 轴交于两点 2 若抛物线与 x 轴交于 A B 两点 且 AB 1 求这条抛物线对应的函数解 析式 3 设 2 中抛物线的顶点为 P 求的面积 PAB 6 已知抛物线与 x 轴有两个不同的交点 A B 以 AB 为直径作yxxm 2 6 C 1 求圆心 C 的坐标 2 是否存在实数 m 使抛物线的顶点在 C 上 若存在 求出 m 的值 若不 存在 请说明理由 答案答案 1 简答 1 由题意 得 整理得 k b 与 k 均 ybk x 1 ykxkbk 0 为常数 所以 y 是 x 的一次函数 2 关于原点对称 可得一次函数 y 随 x 的 Pk Q k 01 1 bk 11 增大而增大 舍去 从而 一次函数解析式为 kk01 bk 11 yx 2 2 简答 利用顶点式 设所求二次函数为 由已知 ya x 31 2 点在二次函数上 代入顶点式 得到m 7815 A 715 a 73115 2 a 1 所求二次函数为 yxxx3168 2 2 yxx 2 68 3 提示 1 由直线 交 x 轴 y 轴分别出交点 1 0 和 0 3 又过yx 33 2 5 由方程组 解得得到抛物线的解析 c abc abc 3 1 425 abc 123 式为 2 由顶点分别求出 顶点坐标为 1 4 对称轴是 b a acb a2 4 4 2 x 1 3 当时 函数 y 随 x 的增大而增大 a 10 x 1 4 图象略 4 提示 1 由题意可知顶点坐标 3 2 所以设二次函数解析式为 又因为与 x 轴交 A B 两点 所以 y 0 通过的面积 ya x 32 2 AMB 可求 A B 两点的坐标为 1 0 5 0 二次函数解析式为 yxx 1 2 3 5 2 2 2 通过的面积 12 求出 N 点坐标 7 6 或 1 6 与 ANB M 3 2 分别代入所设解析中 得到 或ykxb yx 28yx 24 5 提示 1 若抛物线与 x 轴有两个交点 只需证明当时即可y 0 0 2 设抛物线与 x 轴交点 A 的坐标为 x 0 B 点坐标为 x20 通过根与系数的关系 及已知条件 AB 1 即 可求出 所xx 12 1 m 9 2 以抛物线的解析式为 yxx 9 2 3 2 1 2 3 若求的面积只要求出的顶点的 P 纵坐标即可 所 PAByxx 9 2 3 2 1 2 以S ABP 9 16 6 简答 1 抛物线与 x 轴交点 A B 又以 AB 为直径作 C 所以点yxxm 2 6 C 的坐标可根据 A B 两点的对称性求得 所以配方得yxxm 2 6 对称轴为 x 3 所以圆心 C 的坐标为 3 0 yxm 39 2 2 抛物线与 x 轴有两个不同交点 即 设两交点坐标 0m 9 xx 12 00 C 的半径 ABxxxxx xmm 1212 2 12 43642 9 又抛物线的顶点为 若顶点在 C 上 则rABm 1 2 9 39 m 解 即当 m 899 mm 99mm mmmm 12 8998 时 抛物线的顶点在 C 上 综合练习三综合练习三 一 选择题 每题 4 分 共 60 分 1 函数中自变量 x 的取值范围y x 5 3 A B C D x 3x 3x 3x 3 2 那么点在ab 00 p a b A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限 3 已知直线过点 0 1 和 2 0 则ykxb A B kb 1 2 1 kb 1 2 1 C D kb 1 2 1 kb 1 2 1 4 函数的图象不通过 yabxbc ca b 与不同号 A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限 5 已知正比例函数 反比例函数 在同一坐标系中该两个函数yax 1 y b x 2 的图象没有交点 则 a 与 b 的关系是 A 同号B 异号C 互为倒数D 互为相反数 6 已知 点在反比例函数的图象上 则直线不a b 0 p a b y a x yaxb 经过的象限为 A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限 7 已知 y 与成反比例 并且时 当时 y 的值x2x 3y 4x 3 2 A 1B 16C 81D 16 81 8 已知二直线和 则它们与 y 轴围成的三角形的面积为yx 3 5 6yx 2 A 6B 10C 20D 12 9 下列直线不经过第三象限的是 A B yx 1 2 2 3 yx 1 2 2 3 C D yx 1 2 2 3 yx 1 2 2 3 10 如果点在第三象限 则点在 A x y Bx y 1 A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限 11 二次函数 若则它的图象必经过的点是yxmxn 2 mn 0 A 1 1 B 1 1 C 1 1 D 1 1 12 已知函数与x 的图象交点是 2 5 是 则它们的另一个交y k x 1 yk 2 点是 A 2 5 B 5 2 C 2 5 D 2 5 13 若函数是反比例函数 则 m 值 ymxm m 1 2 31 A B C D m 2m 1mm 21或mm 21或 14 如果函数的图象在第一 二 三象限内 那么函数ykxb 的图象大致是ykxbx 2 1 15 二次函数的图象如图所示 那么yaxbxc 2 这四个代数式中值为正abc bac ab abc 2 4 数的有 A 4 个B 3 个C 2 个D 1 个 二 解答题 每题 8 分 共 40 分 1 一次函数的图象经过反比例函数的图象上的 A B 两点 且已知ykxb A 点的横坐标与点 B 的纵坐标都是 2 求这个一次函数的解析式 2 抛物线的顶点坐标为 2 3 且与 x 轴交于 且 xx 12 00 求此二次函数的解析式xx 12 6 3 中 AB AC 点 A C 在 x 轴正半轴上 点 B 在 y 轴正半轴上 若此 ABC 三角形腰长和腰上的高浅的长分别是关于 x 的方程的 xmxm 22 2150 两个实数根 且三角形 ABC 的面积等于 10 求经过 B C 两点的直线的解析式 4 如图 设 O 的半径为 8 过圆外一点 P 引切 线 PA 切点为 A PA 6 C 为圆周上一动点 PC 交圆于另一点 B 设 PC x PB y 且 x y 1 试求 y 关于 x 的函数解析式 并求出自变 量 x 的取值范围 2 若时 求 x 的值cos opc 4 5 5 已知二次函数的图象经过点 A 2 4 其顶点横坐标为 yaxbxc 2 1 2 它的图象与 x 轴交点为 B xC xxx 121 2 2 2 0013 且 1 求此函数的解析式 并画图象 2 在 x 轴的上方的抛物线上是否存在点 D 使得 如存在 SS ABCBDC 2 请求出所有满足条件的点 D 如不存在 说明理由 答案答案 一 1 B2 D3 C4 A5 B 6 C7 B8 C9 A10 D 11 A12 A13 A14 B15 B 二 1 2 3 yx 2yxx 1 3 4 3 5 3 2 yx 1 2 4 4 提示 1 由切割线定理得 延长 PO 交 O 于PAPB PCy x 2 36 E 则 解得 PD 2 PD 18 舍去 当 PAPD PEPD PD 22 166 PC 与 PE 重合时 x 取最大值 18 PC 与 PA 重合时 x 取最小值 6 但 否则 x y 6 xyx 6 y x x 36 618 2 过点 O 作 OQBC 连结 OC 交 BC 于 Q为锐角 cos OPQOPQ 4 5 sincosOPQOPQ11 4 5 3 5 2 2 QCPOOPQpoxPD sin 3 5 3 5 86 即OQ 862 7 22 PCPBQC2 xyQCx x 2 36 4 7 解得 不合题意舍去 xx 12 82 782 7 x82 7 5 提示 1 利用待定系数法求二次函数解析式 442 2 1 2 213 1 2 2 2 12 2 12 abc b a xxxxx x 解得 图略 abcyxx 1166 2 2 假设在 x 轴上方的抛物线上存在点 D 使