【优化方案】2012高中数学 第2章2.4（一）知能优化训练 苏教版必修4

1 1 设a b c为平面向量 有下面几个命题 a b c a b a c a b c a b c a b 2 a 2 2 a b b 2 若a b 0 则a 0 b 0 其中正确的有 个 解析 由向量的数量积的性质知 正确 由向量的数量积的运算不满足结合律知 不 正确 由 a b 2 a2 2a b b2 a 2 2 a b cos b 2知 不正确 对于 a b a b cos 0 a 0 或 b 0 或 cos 0 a 0 或b 0 或 a b 故 不正确 答案 1 2 已知a b满足 a 1 b 4 且a b 2 则a与b夹角为 解析 cos a b a b 2 1 4 1 2 3 答案 3 3 设a与b的模分别为 4 和 3 夹角为 60 则 a b 解析 a b a b 2a2 2a b b2 42 2 4 3 cos60 3237 答案 37 4 在边长为的等边三角形ABC中 设 c a b 则 2 AB BC CA a b b c c a 解析 a b b c c a cos120 3 3 22 答案 3 一 填空题 1 已知 a 3 b 4 a b的夹角为 120 则a b 解析 a b a b cos 120 3 4 cos120 6 答案 6 2 若 a 1 b 2 c a b 且c a 则向量a与b的夹角为 解析 设向量a与b的夹角为 由题意知 a b a 0 a2 a b 0 a 2 a b cos 0 1 2cos 0 cos 又 1 2 0 180 120 答案 120 3 设向量a b c满足a b c 0 且a b a 1 b 2 则 c 2 解析 a b c 0 c a b 又 a b a b 0 c 2 c2 a b 2 a2 2a b b2 5 答案 5 2 4 如图所示的是正六边形P1P2P3P4P5P6 则下列向量的数量积中最大的是 只填序号 P1P2 P1P3 P1P2 P1P4 P1P2 P1P5 P1P2 P1P6 解析 利用向量的数量积的定义逐项计算 根据正六边形的几何性质 得 0 0 cos 2 P1P2 P1P5 P1P2 P1P6 P1P2 P1P3 P1P2 3 P1P2 6 3 2 P1P2 2 cos P1P2 2 经比较可知 最大 P1P2 P1P4 P1P2 P1P2 3 P1P2 P1P3 答案 5 已知非零向量a b 若 a 2b a 2b 则 a b 解析 a 2b a 2b a 2b a 2b 0 a2 4b2 a 2 b 2 a b 答案 2 6 点O是 ABC所在平面上一点 且满足 则点O是 ABC OA OB OB OC OC OA 的 解析 0 0 OB AC 同理可 OA OB OB OC OC OA OB OC OA OB AC 得OA BC OC AB 故O为 ABC的垂心 答案 垂心 7 在 ABC中 若 0 则 ABC的形状为 CA CB CA CB 解析 2 2 0 CA CB CA CB CA CB ABC为等腰三角形 CA CB 答案 等腰三角形 8 已知a b c为单位向量 且满足 3a b 7c 0 a与b的夹角为 则实数 3 解析 由 3a b 7c 0 可得 7c 3a b 即 49c2 9a2 2b2 6 a b 而a b c为单位向量 则a2 b2 c2 1 则 49 9 2 6 cos 即 3 2 3 40 0 解得 8 或 5 答案 8 或 5 二 解答题 9 已知a b是两个非零向量 同时满足 a b a b 求a与a b的夹角 解 根据 a b 有 a 2 b 2 又 b a b 得 b 2 a 2 2a b b 2 a b a 2 1 2 而 a b 2 a 2 2a b b 2 3 a 2 a b a 3 设a与a b的夹角为 则 cos 0 180 a a b a a b a 2 1 2 a 2 a 3 a 3 2 30 3 10 若等边 ABC的边长为 2 平面内一点M满足 求 MB 3 CM 1 6CB 2 3CA MA 解 如图所示 MA MB CA CM CB CM CA 1 6CB 2 3CA CB 1 6CB 2 3CA 1 3CA 1 6CB 5 6CB 2 3CA 2 2 5 18CA CB 2 9CA 5 36CB 1 9CB CA 2 2 7 18CA CB 2 9CA 5 36CB 2 2 2 2 3 2 7 183 1 2 2 93 5 363 2 11 四边形ABCD中 a b c d 且a b b c c d d a AB BC CD DA 试问四边形ABCD是什么图形 解 四边形ABCD是矩形 这是因为 一方面 a b c d 0 a b c d a b 2 c d 2 即 a 2 2a b b 2 c 2 2c d d 2 由于a b c d a 2 b 2 c 2 d 2 同理有 a 2 d 2 c 2 b 2 由 可得 a c 且 b d 即四边形ABC