（浙江专用）2013高考数学二轮复习 专题限时集训（十三） 理（解析版）

1 专题限时集训专题限时集训 十三十三 第第 1313 讲讲 空间向量与立体几何空间向量与立体几何 时间 45 分钟 1 若两点的坐标是A 3cos 3sin 1 B 2cos 2sin 1 则 的取值范 AB 围是 A 0 5 B 1 5 C 1 5 D 1 25 2 对于空间任意一点O和不共线的三点A B C 且有 x y z x y z R R OP OA OB OC 则x 2 y 3 z 2 是P A B C四点共面的 A 必要不充分条件 B 充分不必要条件 C 充要条件 D 既不充分又不必要条件 3 如图 13 1 三棱锥A BCD的棱长全相等 E为AD的中点 则直线CE与BD所成角 的余弦值为 图 13 1 A B 3 6 3 2 C D 33 6 1 2 4 设A B C D是空间不共面的四点 且满足 0 则 BCD AB AC AC AD AB AD 是 A 钝角三角形 B 直角三角形 C 锐角三角形 D 等腰直角三角形 5 a a b b是两个非零向量 是两个平面 下列命题正确的是 A a a b b的必要条件是a a b b是共面向量 B a a b b是共面向量 则a a b b C a a b b 则 D a a b b 则a a b b不是共面向量 6 若a a b b a a c c l l b b c c R R m m a a 则m m与l l一定 A 共线 B 相交 C 垂直 D 不共面 7 已知平面ABC 点M是空间任意一点 点M满足条件 则直线 OM 3 4OA 1 8OB 1 8OC 2 AM A 与平面ABC平行 B 是平面ABC的斜线 C 是平面ABC的垂线 D 在平面ABC内 8 已知四边形ABCD满足 0 0 0 0 则该四边形 AB BC BC CD CD DA DA AB ABCD为 A 平行四边形 B 空间四边形 C 平面四边形 D 梯形 9 设a a1 2i i j j k k a a2 i i 3j j 2k k a a3 2i i j j 3k k a a4 3i i 2j j 5k k 其中 i i j j k k是两两垂直的单位向量 若a a4 a a1 a a2 a a3 则实数组 10 已知O点为空间直角坐标系的原点 向量 1 2 3 2 1 2 1 1 2 OA OB OP 且点Q在直线OP上运动 当 取得最小值时 QA QB OQ 11 如图 13 2 在空间直角坐标系中有棱长为a的正方体ABCD A1B1C1D1 点M是线段 DC1上的动点 则点M到直线AD1距离的最小值是 图 13 2 12 如图 13 3 四棱锥S ABCD的底面是正方形 SD 平面ABCD SD AD a 点E 是SD上的点 且DE a 00 故B为锐角 同理其余两个角 BC BD AC AB AD AB AB 也是锐角 提升训练 5 A 解析 选项 B 中 a a b b共面不一定平行 选项 C 中更不可能 选项 D a a b b可 能共面 6 C 解析 m m a a 故m m a a m m l l a a b b c c a a b b a a c c 0 故m m l l 7 D 解析 根据共面向量定理的推论 点M在平面ABC内 故直线AM在平面ABC 内 8 B 解析 假设四边形ABCD为平面四边形 根据已知条件四个内角都是钝角 其和 大于 360 矛盾 9 2 1 3 解析 a a4 a a1 a a2 a a3成立 a a1 2 1 1 a a2 1 3 2 a a3 2 1 3 a a4 3 2 5 2 2 3 2 3 3 2 5 Error 解得这样的 存在 且Error 10 解析 设Q点坐标为 2 其中 为实参数 则 4 3 4 3 8 3 1 2 3 2 2 1 2 2 1 2 QA QB QA QB 2 1 3 2 2 2 6 2 16 10 6 2 即当且仅当 时 取得最小值 此时 4 3 2 3 4 3 QA QB 2 3 5 OQ 4 3 4 3 8 3 11 a 解析 设M 0 m m 0 m a a 0 a 直线AD1的一个单位方 3 3 AD1 向向量s s0 由 0 m a m 故点M到直线AD1的距离 2 2 0 2 2 MD1 d 根式内的 MD1 2 MD1 s s0 2 m2 a m 2 1 2 a m 2 3 2m2 am 1 2a2 二次函数当m 时取最小值 2 a a2 a2 故d的最小值为a a 2 3 2 a 3 3 2 a 3 a 3 1 2 1 3 3 3 12 解 1 证明 如图建立空间直角坐标系D xyz 则 A a 0 0 B a a 0 C 0 a 0 D 0 0 0 E 0 0 a a a 0 a a a AC BE 0 对任意 0 1 都成立 AC BE 即AC BE恒成立 2 显然n n1 0 1 0 是平面ADE的一个法向量 设平面ACE的一个法向量n n2 x y z a a 0 a 0 a AC AE Error Error 取z 1 则x y n n2 2 1 二面角C AE D的大小为 60 cos n n1 1 n n2 2 0 1 n n1 1 n n2 2 n n1 1 n n2 2 1 2 2 1 2 2 2 为所求 2 2 6 13 解 因为BB1 平面ABCD 且ABCD是边长为 2 的正方形 所以以B为原点建立如图 所示的空间直角坐标系B xyz 则有 A 2 0 0 B 0 0 0 C 0 2 0 D 2 2 0 A1 1 0 2 B1 0 0 2 C1 0 1 2 1 证明 0 0 2 2 2 0 0 BB1 AC 2 2 0 2 2 0 0 BD AC BB1 AC BD AC BB1与DB是平面BB1D内的两条相交直线 AC 平面BB1D 又AC 平面AA1C1C 平面AA1C1C 平面BB1D 2 1 0 2 0 2 0 1 1 0 AA1 AD A1C1 1 2 2 A1D 设n n x1 y1 z1 为平面A1AD的一个法向量 则Error 于是y1 0 取z1 1 则x1 2 n n 2 0 1 设m m x2 y2 z2 为平面A1C1D的一个法向量 则Error 可得 3y2 2z2 取z2 3 则x2 y2 2 m m 2 2 3 cos m m n n 由图知二面角A A1D C1为钝角 所以其 m m n n m m n n 7 5 17 7 85 85 余弦值为 7 85 85 14 解 1 证明 因为DB 2 DC 1 BC 满足 DB2 DC2 BC2 所以BD DC 5 如图 以D为原点 DB为x轴 DC为y轴 建立空间直角坐标系 7 则由条件可知D 0 0 0 B 2 0 0 C 0 1 0 E1 0 A a b c 由图知 1 2 a 0 b 0 c 0 由AB AD 2 得a2 b2 c2 a 2 2 b2 c2 2 a 1 b2 c2 1 2 平面BCD的法向量可取n n1 1 0 0 1 因为 1 b c 2 0 0 所以平面ABD的一个法向量为n n1 1 0 c b DA DB 则锐二面角A BD C的余弦值 cos n n1 1 n n2 2 cos60 n n1 1 n n2 2 n n1 1 n n2 2 b b2 c2 从而有b c 故A1 0 0 1 2 3 2 1 2 3 2 EA 3 2 0 1 0 DC 0 0 EA DC EA DB EA DC EA DB 又DC BD D 所以AE 平面BDC 2 由 1 得A1 D 0 0 0 B 2 0 0 C 0 1 0 1 2 3 2 1 0 1 0 AB 1 2 3 2 CD 设异面直线AB与CD所成角为 则 cos AB CD AB CD 1 2 2