（新课标）2013高考数学 三轮必考热点集中营（11）（教师版）

1 新课标 新课标 20132013 高考数学高考数学 三轮必考热点集中营 三轮必考热点集中营 1111 教师版 教师版 三年真题重温三年真题重温 1 2011 新课标全国理 10 已知a 与b 均为单位向量 其夹角为 有下列四个命题 1 p 2 1 0 3 ab 2 p 2 1 3 ab 3 p 1 0 3 ab 4 p 1 3 ab 其中的真命题是 A 1 p 4 p B 1 p 3 p C 2 p 3 p D 2 p 4 p 2 2011A 新课标全国文 13 已知a 与b 为两个不共线的单位向量 k为实数 若向量 ab 与向量kab 垂直 则k 答案 1 解析 本题考查向量的基本运算和性质 ab 0kab 展开易得1k 3 2010A 新课标全国文 2 a b 为平面向量 已知a a 4 3 4 3 2 2a a b b 3 18 3 18 则 a b 夹角的余弦值等于 A B C D 8 65 8 65 16 65 16 65 答案 C 解析 本题考查向量的坐标运算和向量的夹角公式 因a a 4 3 4 3 b b x y x y 2 2a a b b 3 18 8 x 6 y 3 18 8 x 6 y 解得 x 5 y 12 cos b 2222 4 5 3 121616 5 1365 4 35 12 4 2012A 新课标全国 已知向量夹角为 且 则 a b 45 1 210aab 2 b 答案 3 2 解析 依题意 可知 22222 24444cos4542 210abaa bba bbbb 2 2 232 2 260 3 2 2 bbb 命题意图猜想命题意图猜想 1 2011 年新课标高考理对向量的考查体现在求向量的夹角和模的运算 难度中等 文科 则表现在向量的垂直关系的应用 较为简单 2010 年理科没有涉及向量问题 而文科考查 以向量的坐标运算为依托 考查了向量的夹角问题 也为简单题 2012 年文理为同一道题 目 求向量的模 考查向量的数量积公式和模的运算技巧 难度较低 中规中矩 综上可知 近三年对本热点的考查整体较为简单 均未涉及向量的几何运算 故猜想 2013 年高考题可 能给出向量等式 然后借助其几何含义 利用数形结合思想或可借助坐标系将向量问题坐 标化 探求一些最值问题 试题难度会加大 2 从近几年的高考试题来看 向量的坐标运算及向量共线的坐标表示是高考的热点 题型 既有选择题 填空题 又有解答题 属于中 低档题目 常与向量的数量积运算等交汇命 题 主要考查向量的坐标运算及向量共线条件的应用 同时又注重对函数与方程 转化 化归等思想方法的考查 预测 2013 年高考仍将以向量的坐标运算 向量共线的坐标表示为 主要考点 重点考查运算能力与应用能力 3 通过对近几年高考试题的分析 向量的数量积及运算律一直是高考数学的热点内容之一 对向量的数量积及运算律的考查多为一个小题 另外作为工具在考查三角函数 立体几何 平面解析几何等内容时经常用到 整个命题过程紧扣课本 重点突出 有时考查单一知识 点 有时通过知识的交汇与链接 全面考查向量的数量积及运算律等内容 预测 2013 年高 考仍将以向量的数量积的运算 向量的平行 垂直为主要考点 以与三角 解析几何知识 交汇命题为考向 最新考纲解读最新考纲解读 1 向量的线性运算 1 掌握向量加法 减法的运算及其几何意义 2 掌握向量数乘的运算及其意义 理解两个向量共线的含义 3 了解向量线性运算的性质及其几何意义 2 平面向量的基本定理及坐标表示 1 了解平面向量的基本定理及其意义 2 掌握平面向量的正交分解及其坐标表示 3 会用坐标表示平面向量的加法 减法与数乘运算 4 理解用坐标表示的平面向量共线的条件 3 平面向量的数量积 1 理解平面向量数量积的含义及其物理意义 2 了解平面向量的数量积与向量投影的关系 3 掌握数量积的坐标表达式 会进行平面向量数量积的运算 4 能运用数量积表示两个向量的夹角 会用数量积判断两个平面向量的垂直关系 3 回归课本整合回归课本整合 1 1 平面向量的数量积 平面向量的数量积 1 两个向量的夹角两个向量的夹角 对于非零向量 作 ab OAa OBb AOB 称为向量 的夹角 当 0 时 同向 当 时 反向 0 ab ab ab 当 时 垂直 2 ab 2 平面向量的数量积平面向量的数量积 如果两个非零向量 它们的夹角为 我们把数量ab 叫做与的数量积 或内积或点积 记作 即 规 cosa b aba ba bcosa b 定 零向量与任一向量的数量积是 0 注意数量积是一个实数 不再是一个向量注意数量积是一个实数 不再是一个向量 3 在在上的投影上的投影为 它是一个实数 但不一定大于 0 ba cosb 4 的几何意义的几何意义 数量积等于的模与在上的投影的积 a ba ba a ba 5 向量数量积的性质向量数量积的性质 设两个非零向量 其夹角为 则 ab 0aba b 当 同向时 特别地 当与反向aba ba b 2 22 aa aaaa ab 时 当为锐角时 0 且不同向 是是为锐角的为锐角的a ba b a b a b 0a b 必要非充分条件必要非充分条件 当为钝角时 0 且不反向 是是为钝角的必要为钝角的必要 a b a b 0a b 非充分条件非充分条件 非零向量 夹角的计算公式 ab cos a b a b a ba b 2 2 向量的运算 向量的运算 1 几何运算几何运算 向量加法 利用 平行四边形法则 进行 但 平行四边形法则 只适用于不共线的向 量 如此之外 向量加法还可利用 三角形法则 设 那么向量叫 ABa BCb AC 做与的和 即 a b abABBCAC 向量的减法 用 三角形法则 设 由 ABa ACbabABACCA 那么 减向量的终点指向被减向量的终点 注意 此处减向量与被减向量的起点相同 2 坐标运算坐标运算 设 则 1122 ax ybxy 向量的加减法运算向量的加减法运算 12 abxx 12 yy 实数与向量的积实数与向量的积 1111 ax yxy 若 则 即一个向量的坐标等于表示这个向 1122 A x yB xy 2121 ABxx yy 量的有向线段的终点坐标减去起点坐标 平面向量数量积平面向量数量积 1212 a bx xy y 向量的模向量的模 2 22222 axyaaxy 3 3 向量的运算律 向量的运算律 1 交换律 2 结abba aa a bb a 合律 3 分 abcabc abcabc aba bab 配律 提醒 提醒 1 1 aaaabab abca cb c 4 向量运算和实数运算有类似的地方也有区别 对于一个向量等式 可以移项 两边平方 两边同乘以一个实数 两边同时取模 两边同乘以一个向量 但不能两边同除以一个向量 即两边不能约去一个向量 切记两向量不能相除切记两向量不能相除 相约相约 2 2 向量的 向量的 乘法乘法 不满足结合不满足结合 律律 即 为什么 cbacba 4 4 向量平行 向量平行 共线共线 的充要条件的充要条件 0 abab 22 a ba b 1212 x yy x 5 5 向量垂直的充要条件 向量垂直的充要条件 特别地0 aba babab 1212 0 x xy y ABACABAC ABACABAC 方法技巧提炼方法技巧提炼 1 如何利用向量的几何表示三角形的各种心 向量的几何表示是高考的热点问题 特别是用三角形的各种心的向量表示经常是命题 的素材 常见的结论如下 为的重心 特别地为 1 3 PGPAPBPC GABC 0PAPBPCP 的重心 是 BC 边上的中线 AD 上的任意向量 过重心 ABC 0 ABAC 等于已知 AD 是中 BC 边的中线 1 2 ADABAC ABC 为的垂心 PA PBPB PCPC PAP ABC cos cos ABAC ABBACC 是 ABC 的边 BC 的高 AD 上的任意向量 过垂心 0 的内心 向量 0AB PCBC PACA PBP ABC 所在直线过的内心 是的角平分线所在直线 0 ACAB ABAC ABC BAC 0OAOBABOBOCBCOCOA CA 为 222 OAOBOCOAOBOC O 的外心 ABC 2 向量与平行四边形相关的结论 向量的加法的几何意义是通过平行四边形法则得到 其应用非常广泛 在平行四边形 中 设 则有以下的结论 ABCD ABa ACb 通过这个公式可以把共同起点的两个向量进行合并 若 ABACabAD 可判断四边形为平行四边形 CABD 若对角线相等或邻边垂直 则平行四 abAD abCB 0ababa b 边形为矩形 对角线垂直 则平行四边形为菱形 0ababab 说明平行四边形的四边的平方和等于对角线的平方和 2222 22ababab 特别地 当同向或有 ababab a b 0 abab 当反向或有 当不 abab a b 0 abab abab a b 共线 这些和实数比较类似 ababab 3 向量平行和垂直的重要应用 5 向量平行和垂直的重要应用 是高考的热点 命题方向有两点 一是利用已知条件去判断 垂直或平行 二是利用平行或垂直的条件去确定参数的值 需牢固掌握判断的充要条件 1 向量平行 共线 的充要条件 0 abab 22 a ba b 1212 x yy x 2 向量垂直的充要条件 0 aba babab 1212 0 x xy y 4 向量运算问题的两大处理思路 向量运算包括几何运算和坐标运算 利用几何运算就是充分利用加法和减法的几何含 义 以及一些具有几何含义的式子 进行化简 转化向量的计算 利用坐标运算 实际上就 是转化为代数问题 即向量问题坐标化 树立数形转化和结合的观点 以数代形 以形观数 用代数的运算处理几何问题 特 别是处理向量的相关位置关系时 要正确运用共线向量和平面向量的基本定理 去计算向 量的模 两点的距离等 由于向量作为工具 它往往会与三角函数 数列 不等式 解析几 何等结合起来进行综合考查 是知识的交汇点 5 如何恰当的选择向量的数量积的公式 求向量的数量积的公式有两个 一是定义式 二是坐标式a bcosa b a b 定义式的特点是具有强烈的几何含义 需要明确两个向量的模及夹角 夹角的 1212 x xy y 求解方法灵活多样 一般通过具体的图形可确定 因此采用数形结合思想是利用定义法求 数量积的一个重要途径 坐标式的特点具有明显的代数特征 解题时需要引入直角坐标系 明确向量的坐标进行求解 即向量问题 坐标化 使得问题操作起来容易 方便 6 如何判断三角形形状 给出三角形边相关的向量关系式 判断三角形的形状是一个热点题型 此类题的关键是 对给定的关系式恰当的去化简 变形 整理 最终能够说明三角形的形状 常用的技巧有 1 利用向量加减法的运算可以合并或分解 2 利用拆 添 减项等技巧 对式子进行变形化简 3 利用一些常见的结论进行判断 考场经验分考场经验分享享 1 求向量的夹角时要注意 1 向量的数量积不满足结合律 2 数量积大于 0 说明不共 线的两向量的夹角为锐角 数量积等于 0 说明两向量的夹角为直角 数量积小于 0 且两向 量不共线时两向量的夹角关系是钝角 2 如果高考单独考查向量运算 如代数或几何运算 一般试题难度较低 位置较为靠前 此时为得全分的题目 如果向量和其他知识相结合 考查最值问题 一般以后几道选择题 出现 难度较大 此时应充分考虑向量的几何意义或坐标法进行解决 在利用坐标法解决问 题时 可考虑一般问题特殊化 即恰当的建立坐标系 将问题转化代数运算 如果探求一些 范围问题 适当的代值检验是一个良策 新题预测演练新题预测演练 1 北京市顺义区 2013 届高三第一次统练 已知向量 且 kba 2 1 2 则实数 2 aab k A B C 6D 1414 6 6 答案 D 因为 所以 即 所以 2 aab 2 0aab 2 20aa b 2 5 4 0k 解得 选 D 14k 2 山东省烟台市 2012 2013 学年度第一学期模块检测 若向量 则下列结论中错误的是 6 12 2 4 6 3 wvu A B vu wv C D 对任一向量 存在实数 使vuw3 ABba vbuaAB 3 天津市新华中学 2011 2012 学年度第一学期第二次月考 若向量 则 2 1 1 1 1 1 cba c A B C D ba 2 3 2 1 ba 2 3 2 1 ba 2 1 2 3 ba 2 1 2 3 答案 D 解析 设 则 所以cxayb 1 2 1 1 1 1 xyxy xy 解得 即 选 D 1 2 xy xy 3 2 1 2 x y 31 22 cab 4 湖北省黄冈中学 孝感高中 2013 届高三三月联合考试 已知两不共线向量 则下列说法不正确不正确的是 cos sin cos sin ab A B 1 ab abab C 与的夹角等于D 与在方向上的投影相等ab ab ab 7 5 安徽省 2013 届高三开年第一考 已知向量 且 则的取 a b 1a 2b 2 ba 值范围是 A B C D 1 3 2 4 3 5 4 6 答案 C 解析 选 C 22 2 4 4 178cos baba baa b 3 5 6 山东省泰安市 2013 届高三上学期期末考试 设向量 cos 1 2 sinab 若 则等于ab tan 4 A B C D 3 1 3 1 3 3 答案 B 解析 因为 所以 即 所以ab 2cossin0a b Atan2 选 B tan12 11 tan 41tan123 7 广东省华南师大附中 2012 2013 学年度高三第三次月考 定义 其中为向量与的夹角 若 则 sina ba b a b 2a 5b 6a b 等于 a b A B C 或 D 8 88 86 答案 B 解析 由 可得 又 2a 5b 6a b 3 2 5 cos6cos 5 所以 从而 故选 B 0 4 sin 5 4 2 58 5 a b 8 8 河南省三门峡市 2013 届高三第一次大练习 在平面直角坐标系中 若定点 A 1 2 与 动点 P 满足向量在向量上的投影为 则点 P 的轨迹方程是xyOP OA 5 A B C D 250 xy 250 xy 250 xy 250 xy 答案 B 解析 由题意知 点 P 的轨迹方程是 故5 OP OA OA 2 5 xy 250 xy 选 C 9 2013 年山东省日照高三一模模拟考试 如图 四边形 ABCD 是正方形 延长 CD 至 E 使得 DE CD 若动点 P 从点 A 出发 沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到 A 点 其中 下列判断正确的是APABAE A 满足的点 P 必为 BC 的中点2 B 满足的点 P 有且只有一个1 C 的最大值为 3 D 的最小值不存在 10 2012 年秋湖北省部分重点中学期中联考 已知 1 OP OQ 3 OP 点R在 POQ内 且 POR 30 m n m n R 则 等于 OQ OR OP OQ m n A B 3 C D 1 33 答案 B 解析 设 m n ORr OR OP OQ OP OQ 2 OR OPm OP 0 cos30mr 又 故 2 OR OQn OQ 0 33 cos60nr 3 m n 11 广西百所高中 2013 届高三年级第三届联考 已知是两个互相垂直的单位向量 a b 9 且 则对任意的正实数 t 的最小值是 1c a 1c b 2c 1 cmb t A 2B 2 2C 4D 4 2 12 2013 年乌鲁木齐地区高三年级第一次诊断性测验试卷 中 若 则 则的值为 A 2A 2 B 4B 4 C C D D 答案 B 解析解析 设中 分别是所对的边 由ABC a b c ABC 得 2 3 5 CACBABAB 2 3 5 CA ABCB ABAB 即 2 3 coscos 5 bcAacBc 3 coscos 5 aBbAc 即 222222 3 225 acbbca abc acbc 222 3 5 abc 222 22 222 222222 22 3 tansincos 25 4 3 tansincos 5 2 acb cc AABaacb ac bcaBBAbbca cc bc 13 四川省成都市 2013 届高中毕业班第一次诊断性检测 如图 已知在 ABC 中 BC 2 以 BC 为直径的圆分别交 AB AC 于点 M N MC 与 NB 交于点 G 若 则 的度数为 A A 135 135 B B 120 120 C 150 C 150 D D 105 105 10 答案 D 解析解析 本题考查线段向量的处理能力 可以以本题考查线段向量的处理能力 可以以 BCBC 为为 x x 轴建立坐标系 圆心为轴建立坐标系 圆心为 O O 点 由点 由 题数量积知道题数量积知道分别分别 90 90 60 60 由平面几何知道 由平面几何知道 且 且 MOCNOC ABGC 得角得角 A A 为为 75 75 从而 从而为为 105 105 6 MCN 14 2012 年秋湖北省部分重点中学期中联考 在平面内 点A B C分别在直线 l1 l2 l3上 l1 l2 l3 l2在l1与l3之间 l1与l2之间距离为 1 l2与l3之间距离为 2 且 则 ABC的面积最小值为 2 AB AB AC A 4 B C 2 D 15 2013 年浙江省高考测试卷 如图 在四边形 ABCD 中 若 ABBC ADDC 则 ABa ADb ACBD A B C D 22 ba 22 ab 22 ab ab 答案 A 解析 利用特例法是解决本题的好手段 将图改成右图所示 ABa ADb ACBM 22 ACBMBDab 2DMa 222 cos 2 BDBMDM DBM BDBM 222222222 22 2222 2 2 abababa ab abab 11 则 22 cosACBDACBMDBMba 16 上海市闸北 2013 届高三一模 已知向量 满足 且ab1 ba 则向量与向量的夹角的最大值为 3 bkabak 0 kab A B C D 6 3 6 5 3 2 18 2013 河北省名校名师俱乐部高三 3 月模拟考试 已知向量夹角为 若 a