38. 四边形专项训练（五）

第四章第四章 四边形专项训练 五 四边形专项训练 五 例题精选例题精选 例例 1 已知 如图 17 梯形 ABCD 中 AD BC AD 5 BC 8 BC5570 求 DC 的长 分析 分析 过梯形的顶点作一腰的平行线 得平 行四边形和三角形 同时把放到了一个 BC 三角形中 看似毫无联系的已知条件找到了联系 证明 证明 过 D 作 DE AB 交 BC 于 E 得 ABED ADBE ECBCAD BDEC EDCDECC DECEDC DCEC 平行四边形对边相等 两直线平行 同位角相等 三角形内角和等于 等角对等边 3 18055180 55 3 例例 2 已知 如图 18 梯形 ABCD 中 AD BC AB AD BC E 是 CD 的中点 求证 1 AE BE 2 AE BE 分别平分和 BAD ABC 分析 分析 连结一顶点与一腰的中点 并延 长 即可得到两个全等的三角形 将 AD 移 至 BC 延长线上 由已知条件为等腰三 ABF 角形 问题从而得证 证明 证明 1 延长 AE 交 BC 延长线于 F DEECDECFAEDFEC ADEFCD ASA ADCFAEEF ABADBC ABCFBCBF ABFABBF AEEF BE AE ABFABBF AEEF BEABC AEBAD 即在中 三线合一 在中 平分 三线合一 同理可证 平分 2 例例 3 已知 如图 19 矩形 ABCD 中 对 角线 AC BD 相交于 O M N 分别为 OA OD 的中点 求证 四边形 MBCN 是等腰梯形 证明 证明 M N 分别为 OA OD 的中点 MNOAD是的中位线 三角形的中位线平行于第三边 并且等于第三边的 MNAD MNAD 1 2 一半 又 矩形的对边平行且相等 且 ADBC MNBCMNBC 四边形 MBCN 是梯形 一组对边平行 另一组对边不平行的四边形是梯 形 四边形 ABCD 是矩形 OA OB OC OD 矩形的对角线相等且互相平分 MC NB 梯形 MBCN 是等腰梯形 对角线相等的梯形是等腰梯形 小结 小结 在证明四边形是梯形时 根据定义 不但要说明有一组对边平行 而且要说明另一组对边不平行 证明中的 说明四边形 MBCN 的MNBC 另一组对边 MB 和 CN 不平行 事实上 若 MB CN 则四边形 MBCN 是平行 四边形 从而有 MN BC 与矛盾 MNBC 例例 4 已知 如图 20 梯形 ABCD 中 AD BC M N 分别为 AB DC 的 中点 对角线 AC BD 分别交 MN 于 E F 求证 EFBCAD 1 2 证明 证明 M N 分别为 AB DC 的中点 MN AD BC 梯形的中位线平行 于两底 BE ED 经过三角形一边中点与另一边平行的直线必平分第三边 同理可证 AF FC 三角形中位线等于第三边的一半 MEAD MFBC 1 2 1 2 EF MF ME 1 2 1 2 1 2 BCAD BCAD 例例 5 已知 如图 21 ABCD 中 M N 分别为 AD BC 的中点 BM DN 分 别交 AC 于 E F 求证 AE EF FC 分析 分析 不妨先证 AE EF 已知 AM MD 若 EM FD 则由平行线等分线段 定理的推论 2 得 AE EF 关键是证明 BM DN 证明 证明 ABCD ADBC 又 MDAD BNBC 1 2 1 2 MDBN 四边形 MBND 是平行四边形 一组对边平行且相等的四边形是平行四边 形 BM DN AE EF 经过三角形一边中点与另一边平行的直线必平分第三边 同理可证 EF FC AE EF FC 例例 6 已知 如图 22 正方形 ABCD 中 对角 线 AC BD 交于 O AF 平分交 OB BC 于 BAC E F 求证 OEFC 1 2 分析 分析 在中 O 是 AC 的中点 如果能 AFC 够找到 AF 的中点 G 则 即问题转化OGFC 1 2 为证 OG OE 证明 证明 过 O 点作 OG BC 交 AF 于 G 正方形对角线互相平分 OAOC 过三角形一边中点与另一边平行的直线必平分第三边 AGGF 三角形中位线等于第三边的一半 OGFC 1 2 在中 ABFAOE和 BAFCAFABCAOB GFBOEG OGEGFB OEGOGE OGOE OEFC 90 1 2 又 两直线平行 内错角相等 等角对等边 专项训练专项训练 一 填空题 一 填空题 1 若梯形上底为 a 中位线长为 m 则下底 b 连结梯 形的两条对角线 则两条对角线中点的连线长为 2 等腰梯形的中位线长为 5cm 腰长为 4cm 则等腰梯形的周长为 3 梯形的上底与下底之差等于中位线的长 则 梯形的中位线把梯形分成两部分面积 p 与 q 的比是 4 三角形的中位线长为 m 则这个三角形与中位线和底边组成的梯形的面 积之比为 5 直角梯形中与底边垂直的腰与上底都是 a 它的下底是上底的两倍 则 另一腰长为 面积为 6 等腰梯形的上底与两腰相等 底角为 则下底为上底的60 周长为上底的 二 判断 二 判断 1 若直角梯形的上底和中位线的长确定 则下底唯一确定 2 两条对角线相等的四边形一定是等腰梯形 3 梯形可以分为直角梯形和等腰梯形 4 等腰梯形是轴对称图形 它的对称轴是连结两底中点的直线 5 若一个四边形的对角线互相垂直 则顺次连结 该四边形的四边中点所组成的四边形是矩形 三 三 已知 如图 23 直角梯形 ABCD 中 AD BC D 为直角 AB BC CA 8cm 求直角梯形的面积 四 四 已知 如图 24 梯形 ABCD 中 AD BC 高 h 5cm 两底之差为 6cm 它的面积为 50cm2 求 它的两底长 五 五 已知 如图 25 等腰梯形 ABCD 中 AB CD AD BC EF 为 中位线 于 H DH 10cm DH BC ACB45 求 EF 的长 六 六 已知 如图 26 梯形 ABCD 中 M N 分别 为两 腰的中点 过 M 作 AN 的平行线交 BC 于 E 求证 AM NE 答案答案