高考数学复习点拨 对导数概念的剖析及简单应用

用心 爱心 专心 对导数概念的剖析及简单应用对导数概念的剖析及简单应用 导数是近三年新增加的高考内容 与高等数学相衔接 但难度不大 学习导数 对于 我们过去接触过的函数 方程 不等式 解析等知识 是一次极好的复习 拓展和深 化 一 知识结构 二 学习要点 导数的方法涉及导数的定义 常用求导公式 四则运算求导法则求导方法 导数在函数研究上的应用主要涉及函数的单调性 极值 最值的判断与求解 应意识到求解一些实际问题需要转化成求最值的数学模型 三 点难点突破 1 导数的实质 导数的实质是函数值相对于自变量的变化率 由于实践的需要 对于与物 体运动速度问题相类似的一些问题长期探索的结果 而导数的概念就是变量的 变化速度在数学上的一种抽象 把比值 y x A A 叫做函数 y f x 从 0 x到 0 xx A 之间 的平均变化率 并把 0 0 lim x y fx x A A A 叫做 y f x 在 x 0 x处的导数 这样定义符 合实际 2 导数的运算法则 导数的四则运算法则需要牢固记忆 而复合函数的求导法则 xux yyu 需 导数实 际背景 导数 定义 导数几 何意义 际背景 函数四则运 算求导法则 导函数 基本导 数公式 复合函数 求导法则 求简单函数的导数 算求导法则 判断函数 的单调性 算求导法 则 判断函数的 极大 小 值 求函数的 极大 小 值 微分 算求 导法 则 函数的增量 算求导法则 函数的应用 用心 爱心 专心 要注意三点 用复合函数求导法则求导 要把中间变量换成自变量的函数 层层剥皮 分清每一步的求导是哪个变量求导 不能混淆 一直计算到最后 常 见 错误如下 cos2 sin2xx 实际上应是 2sin2x 求复合函数的导数 关键在于分清楚函数的复合关系 选好中间变量 如 教材例题 4 1 1 3 y x 选成 1 y u 4 uv 1v 3x 这样计算起来 复杂多了 3 导数的几何意义 设函数 y f x 在 0 x处可导 那么它在该点的导数等于函数所表示曲线在 相应点 M 00 xy处的切线斜率 设 s s t 是位移函数 则 0 s t 表示物体在 0 tt 时刻的瞬时速度 若 V V t 是速度函数 则 0 V t 表示物体在 0 tt 时刻的加速度 4 导数与连续的关系 若函数 y f x 在 0 x处可导 则此函数在点 0 x处连续 但逆命题不成立 也 就是说 连续性是函数具有可导性的必要不充分条件 通过以上对导数概念的梳理和剖析 对导数这部分应有所认识 为有更深 刻的理解 强化导数概念的应用意识例析如下 例 1 用定义求 2 4 10 5 1680 0 xx y xx 在点 x 10 处的导数 分析 分别求出 0 lim x y x A A A 在 x 10 处的左右极限 解析 222 000 444 10 1016 555 limlimlim16 xxx xxx y xxx AAA AAA A AAA 2 000 16 10 80 16 1080 16 limlimlim16 xxx x yx xxx AAA A AA AAA 用心 爱心 专心 0 lim x y x A A A 16 即 10 16 x y 评析 导数定义给出了求导的最基本的方法 如果用求导公式 法则都 无法求导时 就要考虑定义去求导 本题是分段函数在界点处的导数 就只能 用定义去求 这时要特别注意只有当0 x A 0 x A 左右导数均存在且相 等时函数在这点的导数才存在 例 2 若曲线 3 3yxax 与直线 y 3x 1 相切 求 a 的值 解析 设切点 P 00 xy 由 2 33yxa 故曲线在点 P 处的切线为 2 000 33 yyxa xx 又 3 000 3yxax 于是切线的方程为 32 0000 3 33 yxaxxa xx 整理得 23 00 33 2yxa xx 它与直线 y 3x 1 重合 所以有 2 0 3 0 333 21 xa x 于是 3 0 1 2 x 3 3 11 112 42 a 评析 对于曲线 y f x 若在 P 00 xy处的切线存在 且不与 x 轴垂直 则其方程被 0 x确定 000 yf xfxxx 所以要求具有某种性质的切线 只须求出对应的 0 x即可 例 3 已知 32 66f xaxax 1 2x 的最大值为 3 最小值为 29 求 a b 解析 0a 否则 f x 为常数 b 与题设矛盾 2 312fxaxax 令 fx 0 得 x 0 4 舍 1 当0a 时 有下表 x 1 0 0 0 2 fx 0 f x 极大值 因为 f x 连续 可见当 x 0 时 f x 有最大值 从而 f 0 3 b 又 f 1 7a 3 f 2 16a 3 得 a 2 2 当0a 时 用类似的办法可以判断当 x 0 时 f x 有最小值 用心 爱心 专心 于是 29 f 0 b 又 f 1 7a 29 f 2 16a 29 f 1 当 x 2 时 f x 有最大值 即 16a 29 3 a 2 b 29 评析 求可导函数在 a b 上的最大 最小值 先求出方程0y 在 a b 内的解 并计算出相应的函数值 再与区间端点处的函数值比较 即可 求出最大 最小值及对应的 x 值 例 4 设函数 2 1f xxax 其中0a 求 a 的取值范围 使函数 f x 在 区间 0 上是增函数 分析 求出 fx 然后看 当 x 0 时 fx 的变化范围 解析 2 1 x fxa x x 0 2 0 1 1 x x 故当 a 1 时 fx 0 恒成立 即 a 1 时 f x 在 0 上递减 又当 0 a 1 时 在区间 0 上存在两点 1 0 x 2 2 2 1 a x a 满足 12 1f xf x 所以函数 f x 在区间 0 上不是单调函数 评析 1 若此体用初等数学的方法来处理 需要较强的技巧 而采用 求导的方法显然很容易 2 当 a 1 时 f x 在 0 上递减 但要证明当 0 a 1 时 函数 f x 在区间 0 上不是单调函数 例 5 求 a 的范围 使不等式 43 42xxa 对任何实数 x 都成立 分析 这是一个恒成立的问题 只要 43 4xx 的最小值大于 2 a 问题 归结为求 43 4xx 在 上的最小值 解析 令 43 4f xxx 则 32 412fxxx 令 fx 0 得 x 0 或 x 3 当 x 0 时 fx 0 当 0 x 3 时 fx 0 当 3 x 时 fx 0 x 3 时 f x 取极小值为 f 3 27 用心 爱心 专心 由 x 时 f x x 时 f x f x 的最小值为 27 只要 27 2 a 故 a 29 评析 利用导数知识解决问题时 要善于运用等价转化的数学思想方法 例 6 如下图所示 一条和宽 1km 相距 4 km 直线距离 的两座城市 A B 分别位于河的两岸 城市 A B 与岸边的距离忽略不计 现需要铺设一条 电缆连通城市 A B 已知地下电缆的修建费为 2 万元 km 水下电缆的修建费 为 4 万元 km 假设两岸是平行直线 问 应如何铺设电缆可使总费用最省 分析 本题显然是实际问题中寻找 最值的题目类型 关键是将实际问题转换 成纯数学问题 然后求解 解析 过 B 作对岸所在直线的垂线 垂足记为 O 设到 O 的距离为 xkm 的点为 C 分别铺设 BC CA 之间的水下 地 下电缆 可使总费用最省 则 2 1BCx km AC AO OC15x km 总费用