【立体设计】2012届高考数学 第3章 第4节 导数的实际应用限时作业（福建版）

用心 爱心 专心1 立体设计立体设计 2012 2012 届高考数学届高考数学 第第 3 3 章章 第第 4 4 节节 导数的实际应用限导数的实际应用限 时作业 福建版 时作业 福建版 一 选择题 本大题共 6 小题 每小题 7 分 共 42 分 1 一质点沿直线运动 如果由始点起经过 t 秒后的位移为 s 2t 那么速度为零 32 13 32 tt 的时刻是 A 0 秒 B 1 秒末 C 2 秒末 D 1 秒末和 2 秒末 解析 令 s t2 3t 2 0 则 t 1 或 2 故选 D 答案 D 2 设底为等边三角形的直棱柱的体积为 V 那么其表面积最小时 底面边长为 A B C D 3 V 3 2V 3 4V 3 2 V 4 已知函数 f x 的定义域为 2 部分对应值如下表 f x 为 f x 的导函数 函数 y f x 的大致图象如下图所示 用心 爱心 专心2 x 204 F x 0 10 则函数 y f x 在区间 2 4 上的零点个数为 A 2 B 3 C 4 D 5 解析 由 f x 的导函数图象知 f x 在 2 1 上递增 在 1 0 上递减 在 0 2 上递增 在 2 4 上递减 又已知 f 2 0 f 0 1 f 4 0 画出函数 f x 的图象如图 所以由图易知 f x 在 2 4 上的零点个数有 4 个 答案 C 5 2011 届 漳州适应性考试 设 在 a b 上可导 且 则 f x g x fx g x 当 a x f x g x B f a f x g x D g b f b f x g x 解析 因为 所以 0 fx g x fx g x 所以函数 为增函数 又因为 a xf a g a 移项得 f x g x g a f a f x g x 答案 C 6 已知曲线 f x n 为正偶数 若 f 2a n 则以为半径的球的表面积为 n x a a A 16 B 8 C D 8 2 解析 由 f x f 2a n 所以有 n n 即 1 1n nx 1 2 na 1 2 na 所以 a 所以 r 8 1 2 a a 2 2 4Sr 表 答案 B 用心 爱心 专心3 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 6 分 共 24 分 7 圆柱的表面积为 S 当圆柱体积最大时 圆柱的高为 解析 设圆柱的底面半径为 r 高为 h 则 2 22 Srrh 则 223 222 SSrS hr Vr hrrr rr 令则代入可得 2 30 2 S Vr 6 S r 6 3 S h 答案 6 3 S 8 电动自行车的耗电量 y 与速度 x 满足的关系式为 x 0 为使 32 139 40 32 yxxx 耗电量最小 则速度应定为 解析 由得 x 1 或 40 2 39400yxx 当 0 x40 时 0y 0y 所以当 x 40 时 y 有最小值 答案 40 9 已知函数在 R 上为单调减函数 则实数 a 的取值范围是 32 1 1f xxaxax 解析 2 321 fxxaxa 由题设条件知在 R 上恒成立 2 3210 xaxa 即恒成立 2 3210 xaxa 所以 2 412 1 0aa 所以 321321 22 a 答案 321321 22 a 10 将周长为的等腰三角形 绕其底边旋转一周 则使这种旋转体体积最大的等腰三角2l 形的底边长是 解析 设底边为 2x 腰为 x l 则 V x x 2 x 2 3 2 ll 用心 爱心 专心4 令 V x 4 x 0 得 x 2 3 2 ll 4 l 由问题的实际意义知这就是最大值点 因此 当体积最大时 等腰三角形的底边长为 2x 即 2l 答案 2l 三 解答题 本大题共 2 小题 每小题 12 分 共 24 分 11 用总长为 14 8 m 的钢条制作一个长方体容器的框架 如果所制作容器的底面的一边比 另一边长0 5 m 那么高为多少时容器的容积最大 并求出它的最大容积 解 设容器的短边长为 x m 则另一边长为 x 0 5 m 高为 14 844 0 5 3 22 4 xx x 由 3 2 2x 0 和 x 0 得 0 x 1 6 设容器的容积为 y m3 则有 y x x 0 5 3 2 2x 0 x 1 6 整理得 32 22 21 6 yxx 所以 2 64 41 6 yxx 令 y 0 有即 2 64 41 60 xx 2 151140 xx 解得 不合题意 舍去 12 4 1 15 xx 所以高 3 2 2 1 2 容积1 1 5 1 21 8 V 高为 1 2 m 时容积最大 最大容积为 1 8 3 m 12 某造船公司年造船量是 20 艘 已知造船 x 艘的产值函数为 单位 万元 成本函数为 C x 460 x 5 000 单位 万元 23 37004510R xxxx 又在经济学中 函数 f x 的边际函数 Mf x 定义为 Mf x f x 1 f x 1 求利润函数 P x 及边际利润函数 MP x 提示 利润 产值 成本 2 问年造船量安排多少艘时 可使公司造船的年利润最大 3 求边际利润函数 MP x 的单调递减区间 并说明单调递减在本题中的实际意义是什 么 用心 爱心 专心5 所以单调递减区间为 1 19 且 x N MP x 是减函数的实际意义为随着产量的增加 每艘利润与前一艘利润比较 利润在减少 B B 级级 1 球的直径为 d 其内接正四棱柱 底面为正方形且侧棱垂直于底面的四棱柱 体积最大 时的高为 A B C D 2 2 d 3 2 d 3 3 d 2 3 d 解析 设正四棱柱的高为 h 底面边长为 x 如图是其组合体的轴截面图形 则 AB x BD d AD h 2 因为所以所以 222 ABADBD 222 2 xhd 22 2 2 dh x 又令 22 223 1 22 dh h Vxhd hh 22 13 22 V hdh 0 V h 得故应选 C 33 33 hdhd 或舍去 答案 C 2 用边长为 48 cm 的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时 在铁皮的四角各截去一个面积相等 的小正方形 然后把四边折起 就能焊成铁盒 所做铁盒的最大容积为 用心 爱心 专心6 A 6 968 B 8 192 3 cm 3 cm C 1 024 D 1 224 3 cm 3 cm 解析 设截去的小正方形的边长为 x cm 铁盒的容积为 V 3 cm 由题意 得 2 482 024 Vxxx 令 则在 0 24 内有 x 8 12 4 8 Vxx 0V 故当 x 8 时 V 有最大值 故应选 B 2 8 482 8 8192 答案 B 3 若函数 f x 2ln x x2 5x c 在区间 m m 1 上为不单调函数 则 m 的取值范围是 解析 f x 2x 5 2 x 2 225 21 2 xxxx xx 令 f x 0 得 x 或 x 2 列表如下 1 2 由表判定得 x 为极大值点 x 2 为极小值点 因为 f x 在区间 m m 1 上为不单调 1 2 函数 所以 m m 1 或 m 20 时 f x 在 0 上递增 在 上递减 所以 2 2 3 2 F f 2 f 3 f 3 2 答案 f 3 f 2 0 时 f x x2 2ax ex 所以 f x 2x 2a ex x2 2ax ex x2 2 1 a x 2a ex 由已知 f 0 2 所以 2 2 1 a 2a 0 2 2 e 所以 2 2 2a 2a 0 得 a 1 22 2 由 1 知 当 x 0 时 f x x2 2x ex 所以 f x 2x 2 ex x2 2x ex x2 2 ex 令 f x 0 得 x x 舍去 22 用心 爱心 专心8 当 x 时 f x 单调递增 f x 2 2 22 2 e 所以 x 0 时 f x 2 22 e2 要使方程 f x m 0 有两个不相等的实数根 即函数 y f x 的图象与直线 y m 有两个不同 的交点 当 b 0 时 m 0 或 m 2 2 2 2 e 当 b 0 时 m 2 2 0 2 2 e 当 b0 时 f x x2 2x 所以 f x x2 2x x e x e 所以 f 2 0 f 2 2 2 e 函数 f x 的图象在点 2 f 2 处的切线 l 的方程为 y 2 x 2 2 e 因为直线 l 与函数 g x 的图象相切于点 P x0 y0 x0 e 1 e 所以 y0 cln x0 b g x c x 所以切线 l 的斜率为 g x0 0 c x 所以切线 l 的方程为 y y0 x x0 0 c x 即 l 的方程为 y x c b cln x0 0 c x 得 得 b 2e2 x0 x0ln x0 2 其中 x0 e