高考数学 函数压轴题突破训练

1 高考数学压轴题突破训练 函数高考数学压轴题突破训练 函数 1 甲乙两公司生产同一种新产品 经测算 对于函数 8 xxf 12 xxg 及任意的0 x 当甲公司投入x万元作宣传时 乙公司投入的宣传费 若小于 xf万元 则乙公司有失败的危险 否则无失败的危险 当乙公司投入x万元作宣 传时 甲公司投入的宣传费若小于 xg万元 则甲公司有失败的危险 否则无失败的危险 设甲公司投入宣传费 x 万元 乙公司投入宣传费 y 万元 建立如图直角坐标系 试回答以 下问题 1 请解释 0 0gf w w w k s 5 u c o m 2 甲 乙两公司在均无失败危险的情况下尽可能少地投入宣传费用 问此时各应投入多少 宣传费 3 若甲 乙分别在上述策略下 为确保无失败的危险 根据对方所投入的宣传费 按最少 投入费用原则 投入自己的宣传费 若甲先投入12 1 a万元 乙在上述策略下 投入 最少费用 1 b 而甲根据乙的情况 调整宣传费为 2 a 同样 乙再根据甲的情况 调整宣 传费为 2 b 如此得当甲调整宣传费为 n a时 乙调整宣传费为 n b 试问是否存在 lim n n a n n b lim的值 若存在写出此极限值 不必证明 若不存在 说明理由 2 已知三次函数cbxaxxxf 23 在 y 轴上的截距是 2 且在 2 1 上单调递增 在 1 2 上单调递减 求函数 f x 的解析式 若函数 ln 1 2 3 mxm x xf xh 求 xh的单调区间 3 已知函数155 2 xxx Rx 函数 xfy 的图象与 x 的图象关于点 2 1 0 中心对称 1 求函数 xfy 的解析式 2 2 如果 1 xfxg 2 1 nNnxgfxg nn 试求出使 0 2 xg成立的x取值范围 3 是否存在区间E 使 0 xfxE对于区间内的任意实数x 只要 Nn 且2 n时 都有0 xgn恒成立 4 已知函数 1 axRa xa ax xf 且 证明 f x 2 f 2a x 0 对定义域内的所有 x 都成立 当 f x 的定义域为 a 2 1 a 1 时 求证 f x 的值域为 3 2 设函数 g x x2 x a f x 求 g x 的最小值 5 设 f x是定义在 1 0 上的函数 若存在 x 1 0 使得 f x在 0 x上单调递增 在 1 x上单调递减 则称 f x为 1 0 上的单峰函数 x为峰点 包含峰点的区间为含峰区 间 对任意的 1 0 上的单峰函数 f x 下面研究缩短其含峰区间长度的方法 1 证明 对任意的 21 x x 1 0 21 xx 若 21 xfxf 则 0 2 x为含峰区间 若 21 xfxf 则 1 1 x为含峰区间 2 对给定的 5 00 rr 证明 存在 21 x x 1 0 满足rxx2 12 使得由 1 所确定的含峰区间的长度不大于r 5 0 6 设关于x的方程022 2 axx的两根分别为 函数 1 4 2 x ax xf 1 证明 xf在区间 上是增函数 2 当a为何值时 xf在区间 上的最大值与最小值之差最小 7 已知函数 3 1 3 f xxaxb a bR 在2x 处取得的极小值是 4 3 1 求 f x的单调递增区间 3 2 若 4 3 x 时 有 2 10 3 f xmm 恒成立 求实数m的取值范围 8 已知二次函数 0 1 2 Rbabxaxxf 设方程 f x x 有两个实数根 x1 x2 如果42 21 xx 设函数 f x 的对称轴为 x x0 求证 x0 1 如果20 1 x 且 f x x 的两实根相差为 2 求实数 b 的取值范围 9 函数 xf的定义域为 R 并满足以下条件 对任意Rx 有0 xf 对任意x Ry 有 y xfxyf 1 3 1 f 则 1 求 0 f的值 4 分 2 求证 xf在 R 上是单调增函数 5 分 3 若acbcba 2 0 且 求证 2 bfcfaf 10 已知函数14 234 axxxxf在区间 0 1 上单调递增 在区间 1 2 上单调 递减 1 求 a 的值 2 求证 x 1 是该函数的一条对称轴 3 是否存在实数 b 使函数1 2 bxxg的图象与函数 f x 的图象恰好有两个交点 若存在 求出 b 的值 若不存在 请说明理由 11 定义在区间 0 上的函 f x 满足 1 f x 不恒为零 2 对任何实数 x q 都 有 xqfxf q 1 求证 方程 f x 0 有且只有一个实根 2 若 a b c 1 且 a b c 成等差数列 求证 2 bfcfaf 3 本小题只理科做 若 f x 单调递增 且 m n 0 时 有 2 2 nm fnfmf 求证 322m 4 12 某造船公司年最高造船量是 20 艘 已知造船 x 艘的产值函数 R x 3700 x 45x2 10 x3 单位 万元 成本函数为 C x 460 x 5000 单位 万元 又在经济学中 函 数 f x 的边际函数 Mf x 定义为 Mf x f x 1 f x 求 提示 利润 产 值 成本 1 利润函数 P x 及边际利润函数 MP x 2 年造船量安排多少艘时 可使公司造船的年利润最大 3 边际利润函数 MP x 的单调递减区间 并说明单调递减在本题中的实际意义是什 么 13 已知函数 33 1 xa f x ax 0a 且1a 1 试就实数a的不同取值 写出该函数的单调递增区间 2 已知当0 x 时 函数在 0 6 上单调递减 在 6 上单调递增 求a的值 并写出函数的解析式 3 理 记 2 中的函数的图像为曲线C 试问是否存在经过原点的直线l 使得 l为曲线C的对称轴 若存在 求出l的方程 若不存在 请说明理由 文 记 2 中的函数的图像为曲线C 试问曲线C是否为中心对称图形 若是 请求出对称中心的坐标并加以证明 若不是 请说明理由 14 已知函数 logaf xx 和 2log 22 0 1 a g xxtaatR 的图象在 2x 处的切线互相平行 求t的值 设 xfxgxF 当 1 4x 时 2F x 恒成立 求a的取值范围 15 设函数 f x定义在R 上 对任意的 m nR 恒有 f m nf mf n 且当 1x 时 0f x 试解决以下问题 1 求 1 f的值 并判断 f x的单调性 2 设集合 0 2 0 Ax yf xyf xyBx yf axyaR 若AB 求实数a的取值范围 3 若0ab 满足 2 2 ab f af bf 求证 322b 5 16 理科 二次函数 f x 2 Rbabaxx I 若方程 f x 0 无实数根 求证 b 0 II 若方程 f x 0 有两实数根 且两实根是相邻的两个整数 求证 f a 1 4 1 2 a III 若方程 f x 0 有两个非整数实根 且这两实数根在相邻两整数之间 试证明存在 整数 k 使得 4 1 kf 文科 已知函数 f x cbxax 2 其中 ZcNbNa I 若 b 2a 且 f sinx x R 的最大值为 2 最小值为 4 试求函数 f x 的最小值 II 若对任意实数 x 不等式 1 2 4 2 xxfx恒成立 且存在 1 2 0 2 00 xxfx 使得成立 求 c 的值 17 定义在 1 1 上的函数 f x 满足 对任意 x y 1 1 都有 I 求证 函数 f x 是奇函数 II 如果当 时 有 f x 0 判断 f x 在 1 1 上的单调性 并加以证明 III 设 1 a2a 且 f sinx x R 的最大值为 2 最小值为 4 试求函数 f x 的最小 值 2 若对任意实数 x 不等式 4x f x 2 x2 1 恒成立 且存在 x0 使得 f x0 2 x02 1 成立 求 c 的值 20 理 已知 0 1 2 aaxxInxf 1 讨论 xf的单调性 2 证明 2 1 1 3 1 1 2 1 1 444 nNne n 其中无理数 71828 2 e 文 设函数 3 1 23 cbacxbxaxxf 其图象在点 1 1 mfmBfA处的切线的斜率分别为ao 1 求证 10 a b 2 若函数 xf的递增区间为 ts 求 ts的取值范围 21 设函数 10 32 3 1 223 abxaaxxxf 1 求函数 f x 的单调区间 并求函数 f x 的极大值和极小值 2 当 x a 1 a 2 时 不等axf 求 a 的取值范围 22 已知函数 1x x716 x x f 函数mxln6 x g 1 当1x 时 求函数 f x 的最小值 2 设函数 h x 1 x f x 16 试根据 m 的取值分析函数 h x 的图象与函数 g x 的图象交点的个数 23 已知二次函数ttttylcbxaxxf 2 0 8 2 1 2 其中直线为常数 2 2 xl 若直线 l1 l2与函数 f x 的图象以及 l1 y 轴与函数 f x 的图象所围成的 封闭图形如阴影所示 求 a b c 的值 求阴影面积 S 关于 t 的函数 S t 的解析式 若 ln6 mxxg 问是否存在实数 m 使得 y f x 的图象与 y g x 的图 象有且只有两个不同的交点 若存在 求出 m 的值 若不存在 说明理由 7 24 已知 f xx xa xb 点 A s f s B t f t I 若1ab 求函数 f x的单调递增区间 II 若函数 f x的导函数 fx 满足 当 x 1 时 有 fx 2 3 恒成立 求函数 f x的解析表达式 III 若 0 a 1 时 m 1 由0 x h得 x 1 时 在 1 2 2 上单增 在 m 1 单减 12 分 9 3 解 1 2 55 xxxf 6 分 2 由0 5 5 2 112 xgxgxg解得1 0 11 xgxg或 即155055 22 xxxx或 解得 10 55 10 55 10 xxx或或 12 分 1 由 100 xxxxfx或 又 10 10 55 10 55 xxx或 当 10 55 10 55 x时 0 2 xg 0 5 5 2 223 xgxgxg 对于3 2 n时 10 55 10 55 E 命题成立 14 分 以下用数学归纳法证明 10 55 10 55 E对Nn 且2 n时 都有0 xgn成 立 假设 2 Nkkkn 时命题成立 即0 xgk 那么0 5 5 2 1 xgxgxgfxg kkkk 即1 kn时 命题也成立 存在满足条件的区间 10 55 10 55 E 4 解 证明 xaa axa xa ax xafxf 2 12 2 1 2 2 0 12211 2 1 xa xaxaax ax xa xa ax 结论成立 4 分 证明 xaxa xa xf 1 1 1 10 当1 1 2 2 1 1 2 1 11 2 1 xa xaaxaaxa时 2 1 13 xa 即 2 3 值域为xf 9 分 解 1 2 axaxxxg 1 当axaxxxgaxax 4 3 2 1 1 1 22 时且 如果 2 1 1 a 即 2 1 a时 则函数在 1 aaa和上单调递增 2 min 1 1 aagxg 如果 agxgaaa 4 3 2 1 2 1 2 1 2 1 1 min 时且即当 当 2 1 a时 xg最小值不存在 11 分 2 当 4 5 2 1 1 1 22 axaxxxgax时 如果 4 5 2 1 2 3 2 1 1 min agxgaa时即 如果 2 min 1 1 1 2 3 2 1 1 aagxgaxgaa上为减函数在时即 13 分 当 0 2 1 4 3 1 2 1 0 2 3 4 5 1 2 3 2222 aaaaaaaa时当时 综合得 当 2 1 2 1 aa且时 g x 最小值是a 4 3 当 2 3 2 1 a时 g x 最小值是 2 1 a 当 2 3 a时 g x 最小值为 4 5 a 当 2 1 a时 g x 最小值不存在 5 解 1 证明 设 x为 f x的峰点 则由单峰函数定义可知 f x在 0 x上单调递增 在 1 x上单调递减 当 21 xfxf 时 假设 x 0 2 x 则 21 xx x 从而 12 xfxfxf 这与 21 xfxf 矛盾 所以 x 0 2 x 即 0 2 x为含峰区间 当 21 xfxf 时 假设 x 1 1 x 则 x 21 xx 从而 21 xfxfxf 这与 21 xfxf 矛盾 所以 x 1 1 x 即 1 1 x为含峰区间 7 分 2 证明 由 1 的结论可知 当 21 xfxf 时 含峰区间的长度为 21 xl 当 21 xfxf 时 含峰区间的长度为 12 1xl 11 对于上述两种情况 由题意得 rx rx 5 01 5 0 1 2 由 得 211 12 rxx 即rxx2 12 又因为rxx2 12 所以rxx2 12 将 代入 得或或或rxrx 5 05 0 21 由 和 解得或或或或或rxrx 5 05 0 21 所以这时含峰区间的长度rll 5 0 21 即存在 21 x x使得所确定的含峰区间的长度不大于r 5 0 6 解 1 证明 22 2 1 22 2 x axx xf 由方程022 2 axx的两根分别为 知 x时 022 2 axx 所以此时0 xf 所以 xf在区间 上是增函数 2 解 由 知在 上 xf最小值为 f 最大值为 f 1 2 44 1 4 1 4 222 22 a aa ff 2 a 1 可求得4 4 2 a 16 12 4 1 44 2 4 4 2 2 22 a a aa ff 所以当0 a时 xf在区间 上的最大值与最小值之差最小 最小值为 12 7 解 1 2 fxxa 由题意 2 40 4 84 4 2 2 33 fa a bfab 令 2 40fxx 得 f x的单调递增区间为 2 和 2 2 3 1 44 3 f xxx 当x变化时 fx 与 f x的变化情况如下表 x 4 4 2 2 2 2 2 2 3 3 fx A 0 A 0 A f x 4 3 单 调递增 28 3 单调递 减 4 3 单调 递增 1 所以 4 3 x 时 max 28 3 f x 于是 2 10 3 f xmm 在 4 3 x 上恒成立等 价于 2 1028 33 mm 求得 3 2 m 8 解 设 0 1 1 2 axbaxxxfxg且 由条件0 4 0 2 42 21 ggxx且得 2 分 即 2 2 1 4 4 3 03416 0124 aba ba ba 4 分 8 1 2 2 1 4 4 3 aaa得 5 分 对 可得aba2 2 1 4 4 3 8 3 2 24 1 1 aa b a 1 8 1 4 1 1 4 1 1 2 0 aa b x 8 分 由 0 1 01 1 2121 2 同号与即可知xx a xxxbaxxg 2 42 20 12211 xxxxx 11 分 1 1 124 4 1 4 2 2 2 12 2 12 2 12 ba aa b xxxxxx 由01240 2 bag即代入有 4 1 231 1 2 2 bbb 9 解 解法一 1 令2 0 yx 得 2 0 0 ff 1 分 1 0 0 0 ff 4 分 13 2 任取 1 x 2 x 且 21 xx 设 3 1 3 1 2211 pxpx 则 21 pp 21 3 1 3 1 3 1 3 1 2121 pp ffpfpfxfxf 8 分 1 3 1 2121 xfxfxfppf 在 R 上是单调增函数 9 分 3 由 1 2 知 1 0 fbf 1 bf b a bf b c bfaf b c bf b c bfcf 11 分 b ca b c b a bfbfbfcfaf 2 而 2 2 2222 2 2 bfbfbfbbacca b b b ca 2 bfcfaf 15 分 解法二 1 对任意 x y R 有 y xfxyf x fxfxf 1 1 1 分 当0 x时 0 1 0 ff 2 分 任意 x R 0 xf 3 分 1 0 f 4 分 2 1 3 1 3 1 3 1 1 3 1 3 ffff 6 分 x fxf 1 是 R 上单调增函数 即 xf是 R 上单调增函数 9 分 3 caca fffcfaf 1 2 1 1 11 分 而 2 1 2 1 2222 22 bfffbbacca bca 2 bfcfaf 10 解 1 取得极大值 时 当上单调递减 上单调递增 在 在 12110 xfxxf 0 2124 0 1 23 x axxxxf即 4 a 2 设点 A x 21 0000 xfxBxxfxf 的对称点的坐标为上的任一点 它关于是 的图象的一条对称轴 是 1 2 00 xfyxxfxf 由个不同的的图象恰有与2144 1 2342 xxxxfbxxg交点对应于方程 个不同的实根 恰有21441 2342 xxxbx即 14 00400044 2234 bxbxxbxxxx时方程有等根得 当时是一个根 当 b 4 或 b 0 为所求 11 解 1 取 x 1 q 2 有 的一个根 是即0 10 1 2 1 2 xffff若存在另一个实根1 0 x 使得 0 0 0 0 0101111 xqfxfqxxxxxf q 有成立 且对任意的 10 0 0 10 xxfxfxf有且只有一个实根与条件矛盾 恒成立 2 21 1 qq bcbacba 不妨设 则q 1 0 2 0q 2 21 21 bfqqbfbfcfaf qq 又 a c 2b ac b 2 2 0 4 ac 即 ac b 2 12 2 2 12 1221 02 1 2 qq qq bbqqq q 2 bfcfaf 3 0 1 0 1 0 0 0 1 xfxxfxxff时 当时单调递增 当在 又 0 nfmfnmnfmfnfmfnfmf 令 m b 1 q n 2 q b b 1 且 q0 21 q 则 f m f n q 21 q f b f mn 0 2 2 10 1 2 nm fmfmnmn 且 2 2 2 2 1 2 1 nm fmf nm fmfmn nm m 2 2 nm m 即 4m 22 2nmnm 22 24nmm 由 0 n 1 得 1240 2 mm1 m 223 m 12 解 1 P x R x C x 10 x3 45x2 3240 x 5000 x N 且 x 1 20 2 分 MP x P x 1 P x 30 x2 60 x 3275 x N 且 x 1 20 4 分 2 P x 30 x2 90 x 3240 30 x 9 x 12 x N 且 x 1 20 7 分 当 1 x 0 P x 单调递增 15 当 12 x 20 时 P x 0 P x 单调递减 x 12 时 P x 取最大值 10 分 即 年建造 12 艘船时 公司造船的年利润最大 11 分 3 由 MP x 30 x 1 2 3305 x N 且 x 1 20 当 1x2 1 21 21 21 xx bxx axx 4 1 14 2 2 a b ba 1 4 1 2 abaf 5 分 III 设 m x1 x22a 0 2 1 ca 2 3 2 xxxf 4 17 min xf 7 分 2 1 4 1 4 11 2 1 4 1 2 4 2 分 ffxxfx 1 4 4分即cabcba 0 4 4 2 恒成立即又 cxbaxxxf 04 04 4 2 accaacb即 1 21 2 024 2 0 2 分或又 分 aaNaaab caca 2 2 0 2 2 2 xxfbca时当 不存在 2 2 2 000 xxfx 使 当 a 1 时 c 1 1 2 2 2 xxxfb 19 此时存在 x0 使 2 1 1 2 2 00 分故 cxxf 17 解 I 证 令 x y 0 则 f 0 f 0 f 0 故 f 0 0 令 y x 则 f x f x f x f x 函数 f x 的奇函数 4 II 设 1 x1 x2 1 则 因此 函数 f x 在 1 1 上是减函数 8 III 是 1 1 上的减函数 由 得 x2 9 当 a 0 时 原不等式的解集为 x x 2 10 当 1 a2 中原不等式的解 若 x1 x 1 故原不等式的解集为 12 当 0 a 1 时 x2 则 a x 1 1 x 1 故原不等式的解集为 x 18 解 1 奇函数 xf的图像上任意两点连线的斜率均为负 对于任意 11 21 xx且 21 xx 有 20 0 xx x f x f 21 21 3 分 从而 21 xx 与 21 xfxf 异号 xf在 11 上是减函数 5 分 2 cxf 的定义域为 11 cc 2 cxf 的定义域为 11 22 cc 7 分 上述两个定义域的交集为空集 则有 11 2 cc 或11 2 cc 9 分 解得 2 c或1 c 故 c 的取值范围为2 c或1 c 10 分 3 11 2 cc恒成立 由 2 知 当2c1 时 11 2 cc 当2c1 或0c1 时 11 2 cc且 11 2 cc 此时的交集为 1 1 2 cc 12 分 当10 c 11 2 cc 且 11 2 cc 此时的交集为 1 1 2 cc 故2c1 时 存在公共定义域 且 当0c1 或2c1 时 公共定义域为 1 1 2 cc 当10 c时 公共定义域为 1 1 2 cc 19 解 1 由函数 f x 的图像开口向上 对称轴 x b 2a2a 故 a 1 c 2 f x x2 3x 2 最小值为 17 4 2 令 x 1 代入不等式 4x f x 2 x2 1 得 f 1 4 即 a b c 4 从而 b 4 a c 又 4x f x 恒成立 得 ax2 b 4 x c 0 恒成立 故 b 4 2 4ac 0 a c 又 b 0 a c 4 c 1 或 c 2 当 c 2 时 f x 2x2 2 此时不存在满足题意的 x0 当 c 1 时满足条件 故 c 1 20 解 理 1 x1 ax2ax a x1 x2 x f 2 2 2 若0 a时 00 00 1 2 2 xxfx x x xf x f在 0单调递增 在 0 单调递减 1 若 1a 0 0 a 时 0 xf对Rx 恒成立 x f在R上单调递减 6 若0a1 由 a 211 x a a11 x0ax2ax0 x f 22 2 由0 x f 可得 a a11 x 2 或 a a11 2 x f在 a a11 a a11 22 单调递减 在 a a11 2 a a11 2 上单调递减 综上所述 若1a 时 x f在 上单调递减 当0a1 时 x f在 a a11 a a11 22 单调递减 在 a a11 2 和 a a11 2 单调递减 22 当0a 时 x f在 0单调递增 在0 单调递减 21 解 1 f x x2 4ax 3a2 x 3a x a 由 f x 0 得 a x 3a 由 f x 0 得 x3a 则函数 f x 的单调递增区间为 a 3a 单调递减区间为 a 和 3a 列表如下 x a a a 3a 3a 3a f x 0 0 f x 3 4 a3 b b 函数 f x 的极大值为 b 极小值为 3 4 a3 b 7 分 2 2 1 2 34 2222 aaxfaaxaaxxxf在 上单调递 减 因此44 2 12 1 minmax aafxfaafxf 不等式 f x a 恒成立 1 5 4 44 12 a aa aa 解得 即 a 的取值范围是1 5 4 a 22 解 1 方法一 x 1 0 1x 4x 1x 16x8x x f 22 当且仅当 x 4 时 取等号 故函数 f x 的最小值为 0 方法二 x 1 06 1x 9 1x 26 1x 9 1x x f 当且仅当 1x 9 1x 即 x 4 时 取等号 故函数 f x 的最小值为 0 方法三 求导 略 4 分 2 由于 h x 1 x f x 16 2 xx8 设 F x g x h x mx8xxln6 2 0 x 且1x 则 x 3x 1x 2 8x2 x 6 x F 6 分 23 令0 x F 得 x 3 或 x 1 舍 又 x Flim 0 x x Flim x 7m x Flim 1x F 3 6ln3 15 m 根据导数的符号及函数的单调情况 取极值的情况作出的草图如 下 11 分 由此可得 当7m 或3ln615m 时 h x 的图象与 g x 的图象恰有 1 个交点 当3ln615m 时 h x 的图象与 g x 的图象恰有 2 个交点 当3ln615m7 时 h x 的图象与 g x 的图象恰有 3 个交点 23 解 I 由图形 知 0 8 1 16 4 4 088 0 2 2 c b a a bac cba c 解之得 函数 f x 的解析式为xxxf8 2 4 分 由 xxy tty 8 8 2 2 得 8 0 8 8 21 2 txtxttxx 0 t 2 直线 l1与 f x 的图象的交点坐标为 8 2 ttt 6 分 由定积分的几何意义知 1 0 2 222 8 8 8 8 t dxttxxdxxxtttS 2 2 23 1 0 22 2 8 2 8 3 20 8 3 8 t xtt xxxx xtt 3 40 1610 3 4 23 ttt 9 分 令 ln68 2 mxxxxfxgx 因为 x 0 要使函数 f x 与函数 g x 有且仅有 2 个不同的交点 则函数 x y 3 6ln3 15 m 1 m 7 O 3 1 24 mxxxx ln68 2 的图象与 x 轴的正半轴有且只有两个不同的交点 0 3 1 26826 82 2 x x xx x xx x xx 当 x 0 1 时 0 xx 是增函数 当 x 1 3 时 0 xx 是减函数 当 x 3 时 0 xx 是增函数