46[1].专项复习（圆二）

专项复习 圆二 专项复习 圆二 例题精选例题精选 例例 1 已知 O1与 O2相交于 A B 两点 O1与 O2的半径分别为 2 和 公共弦长为 2 求的度数 2 O AO 12 分析 分析 此题要求的度数 但是没有给出图形 由条件我们首先应考 O AO 12 虑到应有两种情况 一种是 O1 O2分别在另一个圆的外部 另一种是 O2在 O1的内部 具体求角的度数时不难发现第一种情况 而分 O AOO ABO AB 1212 O ABO AB 12 与 别放在两个直角三角形中是可解的 第二种情况 而同 O AOO ABO AB 1212 O ABO AB 12 与 样是在两个直角三角形中 同样问题可以得到解决 解 解 连结 O1O2 交 AB 于 C 则 O1O2垂直平分 AB 于 C AB AC Rt O CAO AAC O ACO AC Rt O CAO AAC O ACO AC O AOO ACO AC 2 1 21 1 2 60 21 1 2 2 2 45 6045 105 11 11 22 22 1212 在中 在中 cos cos 同法可求 O AC 1 60 O AC O AO O AO O AO 2 12 12 12 45 604515 105 15 则 或 例例 2 如图 已知 O1和 O2相交于 A B 两点 过点 A 的直线交两圆于 C D 两点 G 为 CD 中点 BG 及其延长线交 O1 O2于 E F 点 连结 DF CE 求证 DF CE 分析 分析 要证 DF CE 由图形可知 DF 和 CE 分 别在两个三角形中 因此只要证明问题即可得证 由已知可 DFGCEG 得 DG CG 还缺少一个条件 通过连结公共弦 AB 可得 DGFCGE BCBD B 从而得到 得到 所以沟通了与的关系 CD CD DFGCEG DF CF 证明 证明 连结 AB BCBD CD GCD CGGD CGEDGF CGEDGF DFCE 为的中点 例例 3 如图 已知 O 与 O 外切于 A 过 A 的直线交 O O 于 B C BD 切 O 于 D 交 O 于 E 求证 1 AD 平分 EAC 2 ADAEAC 2 分析 分析 1 要证明 AD 平分 从图形观察 EAC 与其它角的关系不十分明显 此题 EADCAD 是两圆相外切 这时可以考虑添加辅助线 作两圆的 外公切线 把分成两个角 与 EAD EAN 可证则 DANEANB NADNDA EADBNDA 的外角 由此证得 又是 CADABD CADBADB CADEAD 即 AD 平分 EAC 2 要证明 可以构造出两个三角形即 ADAEAC 2 ADCAED和 证明这两个三角形相似 证明 证明 1 过 A 点作两圆公切线 MN 交 BD 于 N 连结 CD EANB BDODMNOA ANDN 切 于 切 于 NADADN CADBADN NADEANBADN DAECAD即 ADEAC平分 2 DACEAD EDAC AEDADC AD AC AE AD ADAEAC 2 例例 4 如图 已知 O 和 O 外切于 C 点 AB 是外公切线 延长 OO 交 AB 延长线于 P 点 若 求两圆的半径 PAB302 分析 分析 此题要求两圆的半径 已知外公切线 AB 的长 因此要把两圆半径与之联系起来 P30 添加辅助线 构造矩形 直角三角形沟通已知与未 知的关系 使问题得到解决 解 解 连结 OA O B 过 O 作于 E 点 O E OA 设 的半径为 的半径为 是 与 的公切线 四边形是矩形 OROr ABOO OA ABO B AB O E OA ABO E ABO EAPO E AB O E OERr OORr 2 2 O EABP OO EP 30 30 在中 Rt OEOOEO OO EO E OEOO Rr Rr 90 302 2 3 3 4 3 3 2 3 3 4 3 3 R r 3 1 3 3 例例 5 如图 已知 正方形 ABCD 边长为 a 以 A 为圆心 以 AD 为半径作 以 D 为圆心 以 DA 为半径作 O 与 及 AB 分别相切于 M N E 求 O 的面积 分析 分析 要求 O 的面积 题目给出的条件是两圆相切 圆和直线相切 与 半径的关系是考虑问题的关键 这就需要添加辅助线 连结 AON 为一条直线 连结 DO 必过 M 点 这样 OA 与 OD 就可用半径来表示 要求 O 的半径 再 把它放到直角三角形中 通过勾股定理列方程 从而找到等量关系 把已知与 未知联系起来 求得 O 的半径 解 解 连结 OD 必过 M 连结 AO 并延长必过 N 过 O 作 OE ABEOF ADF 于 于 设 O 的半径为 R 则 OE R AO a ROD a r 四边形为正方形 切 于 于 四边形是矩形 则与为直角三角形 在中 在中 ABCD BAD ABE OE ABE AFO AEOF AFOEr OF AD OAFOFD Rt AFO OFOAAF Rt DFO OFODDF 90 90 222 222 O OAAFODDF arrarar ara a 2222 2222 2 60 0 即 r a 6 Sr O 2 a 2 36 例例 6 如图 已知 AB 是 O 的直径 C 切 O 于 F 切 AB 于 D DC 交 O 于 E 点 求证 ED2 AB CD 分析 分析 要证明 ED2 AB CD 观察图形发现 AB CD 等于小圆半径与大圆直径的乘积 而 ED 与 AB 垂直 AB 是大圆的直径 可以考虑相交弦定 理 解决问题的关键是沟通两圆的半径关系 因为两圆相内切 而连心线或圆 心距往往可以起到沟通的作用 证明一 证明一 连结 OF 与 相切 在一条直线上 CO OCF ED AB EDADBD ADAOOD BDBOOD ADBDAOODBOOD AOBOOF 2 ADBDAOOD Rt CDO ODOCDC OFCFDC OFOFCFCFDC ADBDRRRrrrRr ABCDRr EDABCD 在中 设 的半径为 的半径为 则 22 222 22 222 2222 2 2 22 2 ORCr 证明二 证明二 连接 OF OE O 与 C 相切 O C F 在一条直线上 且 设 O 半径为 R C 半径为 r OCOFCF 在 Rt中 DCO ODOCCDRrrRRr 222 2 22 2 ED ABEDOEDO 90 在中Rt ODOEEDRDERRrRDE DERrABCD 22222222 2 2 2 例例 7 如图 已知四边形 BCDE 是 O 的内接四边形 又是 H 的外切四边 形 P N M G 为切点 BE CD 延长线交于 A 点 若 且 AP BC 的长为方程APBC 的两个根 求 DE 的长 xx 2 251500 分析 分析 此题是代数与几何的综合 由已知 AP BC 是方程的两根 可求得 AP BC 结xx 2 251500 合图形发现 题目中直线与圆相切的条件比较丰富 可以考虑切线长定理 要求 DE 的长 可通过 得到比例式 利用相似三角形的周长比 AEDACB 等于相似比 求得 DE 证明 证明 xx 2 251500 xx 10150 xx 12 1015 且 AP BC 是方程的两根 APBC xx 2 251500 APBC DEBC ADEB AA ADEABC DE BC ADE ABC DEBCH APAMEPEGDGDMCMCN BNBP AED 1510 30 四边形是 的内接四边形 的周长 的周长 四边形是 的外切四边形 的周长是 O ABC DE DE 的周长是50 10 30 50 6 例例 8 如图 已知 O1是它的外接圆 与 O1内切于 A 点的 O2 ABC 交 AB 于 F 交 AC 于 G 的高 交 FGFE BCEGH BCHADABC 于 于 是 于 M 且 AD 6 BC 8 1 求证 四边形 FEHG 是矩形 2 设 FE x 写出矩形 FEHG 的面积 y 与 x 之间的函数关系式 并指出 自变量 x 的取值范围 3 当矩形 FEHG 的面积是面积的一半时 两圆的半径有什么关系 ABC 并证明你的结论 分析 分析 1 要证明四边形 FEHG 是矩形 已知条件 有垂直 因此只要证明它是一个平行四边形 即证明 FG BC 也就是证明 这两个角分别为两 AGFC 个圆的圆周角 由于 O1与 O2相内切 所以只要添加 过 A 点的公切线出现弦切角就可起到沟通两个角的作用 从而使问题得证 2 要写出矩形 EFGH 的面积 y 与 EF x 之间的函数关系式 只需要用含 有 x 的代数式表示 FG 然后通过矩形的面积公式即可表示出来 3 当矩形 FEHG 的面积是面积的一半时 要探求两圆半径的关系 ABC 可以通过添加半径 连心线从中找到它们之间的联系 使问题得以证明 1 证明 证明 过 A 作两圆的外公切线 PQ PABAGF PABC AGFC FGBC FE BCGH BC 则 FECGHC90 FEGH 四边形是平行四边形EFGH FEC 90 四边形是矩形EFGH 2 解 解 FGBC AFGABC AD BCAMGADC EFMDAMADMDADEF FG BC AM AD EFxEFGHy ADBC FGx 矩形的面积为 90 68 8 6 6 4 6 3 244 3 244 3 4 3 806 2 x x yFGFE y x x yxxx 即 3 解 解 的面积为 24 ABC 4 3 8 1 2 24 4 3 812 690 30 3 2 2 2 2 12 xx xx xx x xx 即 当矩形 FEHG 的面积是面积的一半时 FE MD 3 ABC 则 AMAD 1 2 O1的半径 R 与 O2的半径 r 的关系是Rr 2 证明 证明 连结 O2F O1B O1A 则 O2必在 O1A 上 AOBOO ABO BA AOFOO ABO FA O FAO BA FOBO 1111 2222 21 21 O F O B AF AB AM AD 2 1 1 2 专项训练专项训练 一 选择题 一 选择题 1 已知 O1和 O2的半径分别为 若圆心距 O1O2等于 75cmcm与2 6cm 则 A 两圆有两条外公切线 有且只有一条内公切线 B 两圆既有两条外公切线 又有两条内公切线 C 两圆只有两条外公切线 没有内公切线 D 两圆既无外公切线 也无内公切线 2 两圆的半径分别为 12 和 4 外公切线长是 15 则两圆的位置关系是 A 外离B 外切C 相交D 不确 定 3 如图 O1与 O2外切于点 P 它们的外公切线与两圆分别相切于点 A 和 点 B 设 O1半径为 r1 O2的半径为 r2 为 l1 长 为 l2 若 则rr 12 3 A B ll 12 3 ll 12 2 C D ll 12 3 2 ll 12 4 如图 两个同心圆 点 A 在大圆上 ABC 为小圆的割线 若 AB AC 8 则 圆环的面积为 A 4B 8 C 12D 16 5 圆锥高为 3cm 母线长为 5cm 则它的表面积为 A 28cm2B 36cm2 C 16cm2D 20cm2 6 正多边形的一边所对的中心角与该正多边形一个内角的关系是 A 两角互余B 两角互补 C 两角互余或互补D 不能确定 7 一个圆的内接正三角形与内接正六边形的面积比为 A 1 B C 1 2D 1 3232 8 已知 把绕直线 AC 旋转一 ABCABAC中 34 A90Rt ABC 周得到一个圆锥 其表面积为 S1 把绕直线 AB 旋转一周得到另一个圆Rt ABC 锥 其表面积为 S2 则 S1 S2 A 2 3B 4 3C 4 9D 39 56 9 如图 矩形 ABCD 中 AB 5 AD 2 以直线 AB 为轴旋转一周 所得圆柱 的表面积为 A 20B 70C 50D 28 10 一个圆锥的侧面积是底面积的 2 倍 这个圆锥的侧面展开图的圆心角是 A B C D 60 90 120 180 二 二 如图 已知两圆外切于点 P AB 是两圆的外公切线 A B 为切点 AP 的 延长线交 O1于 C 点 BP 的延长线交 O2于 D 点 求证 1 AP AC BP BD 2 AB2 BC DA 3 线段 BC AD 分别是两圆直径 三 三 如图 已知 O1与 O2相交于 B C AB 是 O1的直径 AB AC 的延长 线分别交 O2于 D E 过 B 点作 O1的切线交 AE 于 F 1 求证 BF DE 2 若 BACACAD3012 求 SS ABFADE 四 四 如图 已知 O1和 O2相交于点 A 和点 B 且 O1在 O2上 过点 A 的直线 CD 分别与 O1和 O2交于点 C D 过点 B 的直线 EF 分别与 O1 和 O2交于点 E F O2的弦 O1D 交 AB 于 P 求证 1 CE DF 2 O1A2 O1P O1D