【步步高】2013-2014学年高中数学 第二章 2.2.2（一）双曲线的简单几何性质(一)基础过关训练 新人教A版选修1-1

1 2 2 22 2 2 双曲线的简单几何性质双曲线的简单几何性质 一一 一 基础过关 1 双曲线 2x2 y2 8 的实轴长是 A 2B 2C 4D 4 22 2 双曲线 3x2 y2 3 的渐近线方程是 A y 3xB y x 1 3 C y xD y x 3 3 3 3 双曲线 1 的焦点到渐近线的距离为 x2 4 y2 12 A 2B 2C D 1 33 4 双曲线mx2 y2 1 的虚轴长是实轴长的 2 倍 则m等于 A B 4C 4D 1 4 1 4 5 双曲线 1 a 0 b 0 的左 右焦点分别是F1 F2 过F1作倾斜角为 30 的直线 x2 a2 y2 b2 交双曲线右支于M点 若MF2垂直于x轴 则双曲线的离心率为 A B C D 632 3 3 6 已知双曲线 1 a 0 b 0 的两条渐近线均和圆C x2 y2 6x 5 0 相切 且双 x2 a2 y2 b2 曲线的右焦点为圆C的圆心 则该双曲线的方程为 A 1B 1 x2 5 y2 4 x2 4 y2 5 C 1D 1 x2 3 y2 6 x2 6 y2 3 二 能力提升 7 已知双曲线C 1 的开口比等轴双曲线的开口更开阔 则实数m的取值范围是 x2 4 y2 m 8 已知圆C过双曲线 1 的一个顶点和一个焦点 且圆心在此双曲线上 则圆心到 x2 9 y2 16 双曲线中心的距离是 9 如图所示 ABCDEF为正六边形 则以F C为焦点 且经过A E D B四点的双曲线的离心率为 10 根据下列条件 求双曲线的标准方程 1 与双曲线 1 有共同的渐近线 且过点 3 2 x2 9 y2 163 2 与双曲线 1 有公共焦点 且过点 3 2 x2 16 y2 42 11 已知双曲线的一条渐近线为x y 0 且与椭圆x2 4y2 64 有相同的焦距 求双曲 3 2 线的标准方程 12 求证 双曲线 1 a 0 b 0 上任意一点到两条渐近线的距离之积为定值 x2 a2 y2 b2 三 探究与拓展 13 已知双曲线 1 a 0 b 0 的左 右焦点分别为F1 c 0 F2 c 0 若双曲线 x2 a2 y2 b2 上存在点P 使 求该双曲线的离心率的取值范围 sin PF1F2 sin PF2F1 a c 3 答案 1 C 2 C 3 A 4 A 5 B 6 A 7 4 8 9 1 16 33 10 解 1 设所求双曲线方程为 0 x2 9 y2 16 将点 3 2 代入得 3 1 4 所以双曲线方程为 x2 9 y2 16 1 4 即 1 4x2 9 y2 4 2 设双曲线方程为 1 a 0 b 0 x2 a2 y2 b2 由题意易求c 2 5 又双曲线过点 3 2 2 1 3 2 2 a2 4 b2 又 a2 b2 2 2 a2 12 b2 8 5 故所求双曲线的方程为 1 x2 12 y2 8 11 解 椭圆方程为 1 可知椭圆的焦距为 8 x2 64 y2 163 当双曲线的焦点在x轴上时 设双曲线方程为 1 a 0 b 0 x2 a2 y2 b2 Error 解得Error 双曲线的标准方程为 1 x2 36 y2 12 当双曲线的焦点在y轴上时 设双曲线方程为 1 a 0 b 0 y2 a2 x2 b2 Error 解得Error 双曲线的标准方程为 1 y2 12 x2 36 由 可知 双曲线的标准方程为 1 或 1 x2 36 y2 12 y2 12 x2 36 12 证明 设P x0 y0 是双曲线上任意一点 由双曲线的两渐近线方程为bx ay 0 和 bx ay 0 可得P到bx ay 0 的距离d1 bx0 ay0 a2 b2 P到bx ay 0 的距离d2 bx0 ay0 a2 b2 d1d2 bx0 ay0 a2 b2 bx0 ay0 a2 b2 b2x2 0 a2y2 0 a2 b2 4 又P在双曲线上 1 x2 0 a2 y2 0 b2 即b2x a2y a2b2 d1d2 2 02 0 a2b2 a2 b2 故P到两条渐近线的距离之积为定值 13 解 如图 设 PF1 m PF2 n 由题意及正弦定理得 n m a c n m a c 又m