高考数学 一轮复习不等式问题的题型与方法(3课时）新人教版

用心 爱心 专心1 不等式问题的题型与方法不等式问题的题型与方法 b M 且对 M 中的其它元素 c d 总有 c a 则 a 分析 分析 读懂并能揭示问题中的数学实质 将是解决该问题的突破口 怎样理解 对 M 中的其它元素 c d 总有 c a M 中的元素 又有什么特点 解 解 依题可知 本题等价于求函数 x f y y 3 y 1 y 3 2 当 1 y 3 时 所以当 y 1 时 xmin 4 说明 说明 题设条件中出现集合的形式 因此要认清集合元素的本质属性 然后结合条件 揭示其数学实质 即求集合 M 中的元素满足关 系式 例例 2 2 解关于x的不等式 0 9 2 2 a a axx 分析 分析 本例主要复习含绝对值不等式的解法 分类讨论的思想 本题的关键不是对参数a进行讨论 而是去绝对值时必须对末知数进 行讨论 得到两个不等式组 最后对两个不等式组的解集求并集 得出原不等式的解集 解 解 当 029929 222 aaxx ax aaxx ax ax即时 不等式可转化为 a b xa 173 02992 222 aaxx ax axaax ax ax即时不等式可化为当 用心 爱心 专心2 a aa ax aa x 6 173 3 2 3 3 2 3 故不等式的解集为 或 例例 3 3 己知三个不等式 xx 542 1 23 2 2 xx x 012 2 mxx 1 若同时满足 的x值也满足 求 m 的取值范围 2 若满足的 x值至少满足 和 中的一个 求 m 的取值范围 分析 分析 本例主要综合复习整式 分式不等式和含绝对值不等的解法 以及数形结合思想 解本题的关键弄清同时满足 的x值的 满足 的充要条件是 对应的方程的两根分别在 0 和 3 内 不等式和与之对应的方程及函数图象有着密不可分的内在 联系 在解决问题的过程中 要适时地联系它们之间的内在关系 解 解 记 的解集为 A 的解集为 B 的解集为 C 解 得 A 1 3 解 得 B 3 2 1 0BA 4 2 1 0 1 因同时满足 的x值也满足 A B C 设12 2 mxxxf 由 xf的图象可知 方程的小根小于 0 大根大于或等于 3 时 即可满足 3 17 0173 01 0 3 0 0 m mf f BA即 2 因满足 的x值至少满足 和 中的一个 4 1 BABAC而因 此 0124 1 2 mxxC方程小根大于或等于 1 大根小于或等于 4 因而 4 4 1 1 4 31 0314 4 01 1 m mmf mf 解之得 说明 说明 同时满足 的 x 值满足 的充要条件是 对应的方程 2x 2 mx 1 0 的两根分别在 0 和 3 内 因此有 f 0 0 且 f 3 0 否则不能对 A B 中的所有 x 值满足条件 不等式和与之对应的方程及图象是有着密不可分的内在联系的 在解决问题的 过程中 要适时地联系它们之间的内在关系 例例 4 4 已知对于自然数 a 存在一个以 a 为首项系数的整系数二次三项式 它有两个小于 1 的正根 求证 a 5 分析 分析 回忆二次函数的几种特殊形式 设 f x ax 2 bx c a 0 顶点式 f x a x x0 2 f x0 a 0 这里 x0 f x0 是二次函数的顶点 x0 x2 f x2 x3 f x3 是二次函数图象上的不同三点 则系数 a b c 可由 证明 证明 设二次三项式为 f x a x x1 x x2 a N N 依题意知 0 x1 1 0 x2 1 且 x1 x2 于是有 f 0 0 f 1 0 又 f x ax 2 a x1 x2 x ax1x2为整系数二次三项式 用心 爱心 专心3 所以 f 0 ax1x2 f 1 a 1 x1 1 x2 为正整数 故 f 0 1 f 1 1 从而 f 0 f 1 1 另一方面 且由 x1 x2知等号不同时成立 所以 由 得 a2 16 又 a N N 所以 a 5 说明 说明 二次函数是一类被广泛应用的函数 用它构造的不等式证明问题 往往比较灵活 根据题设条件恰当选择二次函数的表达形式 是解决这类问题的关键 例例 5 5 设等差数列 an 的首项 a1 0 且 Sm Sn m n 问 它的前多少项的和最大 分析分析 要求前 n 项和的最大值 首先要分析此数列是递增数列还是递减数列 解解 设等差数列 an 的公差为 d 由 Sm Sn 得 ak 0 且 ak 1 0 k N N 说明 说明 诸多数学问题可归结为解某一不等式 组 正确列出不等式 组 并分析其解在具体问题的意义 是得到合理结论的关键 用心 爱心 专心4 例例 6 6 若二次函数 y f x 的图象经过原点 且 1 f 1 2 3 f 1 4 求 f 2 的范围 分析 分析 要求 f 2 的取值范围 只需找到含人 f 2 的不等式 组 由于 y f x 是二次函数 所以应先将 f x 的表达形式写出来 即 可求得 f 2 的表达式 然后依题设条件列出含有 f 2 的不等式 组 即可求解 解 解 因为 y f x 的图象经过原点 所以可设 y f x ax2 bx 于是 解法一解法一 利用基本不等式的性质 不等式组 变形得 所以 f 2 的取值范围是 6 10 解法二解法二 数形结合 建立直角坐标系 aob 作出不等式组 所表示的区域 如图 6 中的阴影部分 因为 f 2 4a 2b 所以 4a 2b f 2 0 表示斜 率为 2 的直线系 如图 6 当直线 4a 2b f 2 0 过点 A 2 1 B 3 1 时 分别取得 f 2 的最小值 6 最大值 10 即 f 2 的取 值范围是 6 f 2 10 解法三解法三 利用方程的思想 又 f 2 4a 2b 3f 1 f 1 而 1 f 1 2 3 f 1 4 所以 3 3f 1 6 得 4 3f 1 f 1 10 即 6 f 2 10 说明 说明 1 1 在解不等式时 要求作同解变形 要避免出现以下一种错解 2b 8 4a 12 3 2b 1 所以 5 f 2 11 2 2 对这类问题的求解关键一步是 找到 f 2 的数学结构 然后依其数学结构特征 揭示其代数的 几何的本质 利用不等式的 基本性质 数形结合 方程等数学思想方法 从不同角度去解决同一问题 若长期这样思考问题 数学的素养一定会迅速提高 用心 爱心 专心5 例例 7 7 2002 江苏 己知 2 0bxaxxfa 函数 1 2 10baxfRxb 证明 都有时 若对任意当 2 时当1 b 证明 对任意 1 0 x 1 xf的充要条件是bab21 3 时 当10 b讨论 对任意 1 0 x 1 xf的充要条件 证明 证明 1 依题意 对任意Rx 都有 b a b a xbxfxf 4 2 1 2 2 20 0 1 4 2 2 baba b a b a f 2 充分性 xxxbbxaxxbab 1 0 1 1 22 可推出对任意 可知对任意又即 1 0 2 1 1 1 2 xbabbxaxx 1 1 1 1 2 2 2 22 max 222 bxax b b b bbxxbbxxbbxax即1 1 xf 必要性 对任意 1 1 1 1 1 0 fxfxfx babba b a 21 2 11 故即 babxfx211 1 0 的充要条件是对任意综上 3 1 1 0 10 0 2 bbxaxxfxba对任意时 即1 1 1 1 1 1 babafxfxf即即知又由 而当 b b b b xbbxxbbxaxxfba 4 1 2 1 1 1 2 222 时 1 2 1 10 b b b 1 11 1 1 0 2 xfxbxxby时取得最大值故在是增函数上在 11 1 0 10 0 baxfxba的充要条件是对任意时当 例例 8 8 若 a 0 b 0 a3 b3 2 求证 a b 2 ab 1 分析 分析 由条件 a3 b3 2 及待证的结论 a b 2 的结构入手 联想它们之间的内在联系 不妨用作差比较法或均值不等式或构造方程等 等方法 架起沟通二者的 桥梁 证法一证法一 作差比较法 因为 a 0 b 0 a3 b3 2 所以 a b 3 23 a3 b3 3a2b 3ab2 8 3a2b 3ab2 6 3 ab a b 2 3 ab a b a3 b3 3 a b a b 2 0 即 a b 3 23 证法二证法二 平均值不等式 综合法 因为 a 0 b 0 a3 b3 2 所以 所以 a b 2 ab 1 说明 说明 充分发挥 1 的作用 使其证明路径显得格外简捷 漂亮 证法三证法三 构造方程 设 a b 为方程 x2 mx n 0 的两根 则 1 1 1 1 1 01 11 b fxf b bbaba知由又即 用心 爱心 专心6 因为 a 0 b 0 所以 m 0 n 0 且 m2 4n 0 因此 2 a3 b3 a b a2 ab b2 a b a b 2 3ab m m2 3n 所以 所以 a b 2 由 2 m 得 4 m2 又 m2 4n 所以 4 4n 即 n 1 所以 ab 1 说明 说明 认真观察不等式的结构 从中发现与已学知识的内在联系 就能较顺利地找到解决问题的切入点 证法四证法四 恰当的配凑 因为 a 0 b 0 a3 b3 2 所以 2 a3 b3 a b a2 b2 ab a b 2ab ab ab a b 于是有 6 3ab a b 从而 8 3ab a b 2 3a2b 3ab2 a3 b3 a b 3 所以 a b 2 以下略 即 a b 2 以下略 证法六证法六 反证法 假设 a b 2 则 a3 b3 a b a2 ab b2 a b a b 2 3ab 2 22 3ab 因为 a3 b3 2 所以 2 2 4 3ab 因此 ab 1 另一方面 2 a3 b3 a b a2 b2 ab a b 2ab ab a b ab 2ab 所以 ab 1 于是 与 矛盾 故 a b 2 以下略 说明 说明 此题用了六种不同的方法证明 这几种证法都是证明不等式的常用方法 例例 9 9 设函数 f x ax2 bx c 的图象与两直线 y x y x 均不相 分析 分析 因为 x R R 故 f x 的最小值若存在 则最小值由顶点确定 故设 f x a x x0 2 f x0 证明 证明 由题意知 a 0 设 f x a x x0 2 f x0 则 又二次方程 ax2 bx c x 无实根 故 1 b 1 2 4ac 0 2 b 1 2 4ac 0 所以 b 1 2 b 1 2 8ac 0 即 2b2 2 8ac 0 即 b2 4ac 1 所以 b2 4ac 1 说明 说明 从上述几个例子可以看出 在证明与二次函数有关的不等式问题时 如果针对题设条件 合理采取二次函数的不同形式 那么 用心 爱心 专心7 我们就找到了一种有效的证明途径 例例 1010 2002 理 某城市 2001 年末汽车保有量为 30 万辆 预计此后每年报废上一年末汽车保有量的 6 并且每年新增汽车数量相同 为了保护城市环境 要求该城市汽车保有量不超过 60 万辆 那么每年新增汽车数量不应超过多少辆 解 解 设 2001 年末的汽车保有量为 1 a 以后每年末的汽车保有量依次为 32 aa 每年新增汽车x万辆 由题意得 06 0 94 0 06 0 94 0 11 x a x axaa nnnn 即 万辆过即每年新增汽车不应超应有满足故要对一切自然数 上式趋于时且当的减函数上式右端是关于 解得令 6 3 6 3 60 6 3 06 0 94 0 1 30 30 60 06 0 94 0 06 0 30 1 1 xan nn xa xx a n n n n n 例例 1111 已知奇函数 上是增函数 上有定义 在 在 000 xf 又 0 1 f知函数集合 2 0 2cossin 2 mmg NMgfmNgmM 求恒有恒有 0 0 分析 分析 这是一道比较综合的问题 考查很多函数知识 通过恰当换元 使问题转化为二次函数在闭区间上的最值问题 022cos 12cossin 2 01 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 2 2 mmcor mmg g g fgf g fff xfxf 也即 即 即 的条件是满足得又由 上也是增函数 在 上是增函数 在 奇数函数解 令10 22 1 0 cos 2 tmmttttt 又设则 要使内的最大值小于零 在必须使 10 0 tt 10 当 m m m mtm m 知解不等式组时 即 022 0 22 0 00 2 max 22240 4 88 20 4 88 201 2 02 2 2 max 0 m mm m mm tm m 得解不等式组 时即当 30当 201 2 1 21 2 max mm m mtm m 得 解不等式组时 即 综上 224 mmNM 例例 1212 如图 某隧道设计为双向四车道 车道总宽 22 米 要求通行车辆限高 4 5 米 隧道全长 2 5 千米 隧道的拱线近似地看成半 个椭圆形状 1 若最大拱高 h 为 6 米 则隧道设计的拱宽l是多少 2 若最大拱高 h 不小于 6 米 则应如何设计拱高 h 和拱宽l 才能使半个椭圆形隧道的土 方工程最小 半个椭圆的面积公式为 s 4 lh 柱体体积为 底面积乘以高 414 1 2 646 2 7 本题结果均精确到 0 1 米 分析 分析 本题为 2003 年上海高考题 考查运用几何 不等式等解决应用题的能力及运算能力 用心 爱心 专心8 解 解 1 建立如图所示直角坐标系 则 P 11 4 5 椭圆方程为 1 2 2 2 2 b y a x 将 b h 6 与点 P 坐标代入椭圆方程得 3 33 7 788 2 7 744 ala此时故隧道拱宽约为 33 3 米 2 由椭圆方程1 5 411 1 2 2 2 2 2 2 2 2 bab y a x 得 4 6 1 312 2 29 211 2 15 411 2 99 24 99 5 41125 411 2 2 2 2 2 2 2 2 bhalba ba s ab lhs ab abba 此时 最小时有当 故当拱高约为 6 4 米 拱宽约为 31 1 米时 土方工程量最小 例例 1313 已知 n N n 1 求证 分析分析 虽然待证不等式是关于自然数的命题 但不一定选用数学归纳法 观其 形 它具有较好规律 因此不妨采用构造数列的方法 进行解 则 说明 说明 因为数列是特殊的函数 所以可以因问题的数学结构 利用函数的思想解决 例例 1414 已知函数 1 22 2 x xx xf 2 211 2 nn n xfxfx是正实数 求证 设 1 10 10 1 txfxtxttx求证 设 用心 爱心 专心9 分析 分析 本例主要复习函数 不等式的基础知识 绝对值不等式及函数不等式的证明技巧 基本思路先将函数不等式转化为代数不等式 利用绝对值不等式的性质及函数的性质 证明 1 再利用二项展开式及基本不等式的证明 2 证明 证明 1 tx txtxf x x xf 1 1 1 1 1 2 2 1 2 11 1 tx tx tx tx tx txtxf当且仅当1 tx时 上式取等号 2 1 110 10 txftxtx 222222222 2 2 2 2 2 xtxtxtxtxtxtxtxts 44 44 22 xsxttsxt时当时当 1 1 2 txfxtxttxfxtxt即 2 1 n时 结论显然成立 当2 n时 11 1 1 1 1 2 2 2 1 1 x xC x xC x x x xxfxf n n n n n nnn n 2 1 4 2 4 2 2 1 1 1 2 2 211 11 n n n n n n n n n n n n n n n n x C x CxCxC x xC x xC 1 1 1 2 1 2 2 1 4 4 2 2 2 1 n n n n n n n n n n x xC x xC x xC 22 2 2 11 21121 n n nnn n nnn CCCCCC 例例 1515 2001 年全国理 己知nminmi 1 是正整数 且 1 i n i i m i AmAn 证明 2 m nm n 11证明 证明 证明 1 m im m m m m m m m A immmAmi i i m i m 1 21 1 1 1 有对于 同理有对整数由于 1 2 1 1 21 iknm n in n n n n n n n A i i n i m i i n i i i m i i n AnAm m A n A m km n kn 即 2 由二项式定理有 i m i i n i m i i m im n i i n in AnAmCnnCmm 知由 1 1 1 00 1 1 nmiCncm i A C i A Cnmi i m i i n i i m i m i n i n 而 因此0 1 11 22 i n i mn m i m i o m o o n o i m i i n i CmmnnCmCCnCmCnCm又 m i mn i m i n i i n i nmCnCmnim 00 1 1 即 七 强化训练七 强化训练 1 已知非负实数x y满足2380 xy 且3270 xy 则xy 的最大值是 A 7 3 B 8 3 C 2 D 3 2 已知命题 p 函数 2 log 2 5 0 axxy 的值域为 R 命题 q 函数 x ay 25 是减函数 若 p 或 q 为真命题 p 且 q 为假命题 则实数a的取值范围是 用心 爱心 专心10 A a 1B a 2C 1 a 2D a 1 或a 2 3 解关于x的不等式 32 2 xx xa 0 4 求 a b 的值 使得关于 x 的不等式 ax2 bx a2 1 0 的解集分别是 1 1 2 2 1 2 3 2 4 1 5 解关于x的不等式 10 1 2 aaaaa xx 且 6 2002 北京文 数列 n x由下列条件确定 Nn x a xxax n nn 2 1 0 11 1 证明 对于axn n 总有 2 2 证明 对于 1 2 nn xxn总有 7 7 设 P log2x 2 t 2 log2x t 1 若 t 在区间 2 2 上变动时 P 恒为正值 试求 x 的变化范围 8 已知数列 nnnnnn bsasnaa的等差中项 数列与是且项和为前的通项为2 中 b1 1 点 P bn bn 1 在直线 x y 2 0 上 求数列 nnnn baba 的通项公式 设 n b的前 n 项和为 Bn 试比较的大小与2 1 11 21n BBB 设 Tn 的最小值求恒成立若对一切正整数cZccTn a b a b a b n n n 2 2 1 1 八 参考答案八 参考答案 1 1 解 解 画出图象 由线性规划知识可得 选 D 2 2 解 解 命题 p 为真时 即真数部分能够取到大于零的所有实数 故二次函数 2 2xxa 的判别式440a 从而1a 命题 q 为真时 5212aa 若 p 或 q 为真命题 p 且 q 为假命题 故 p 和 q 中只有一个是真命题 一个是假命题 若 p 为真 q 为假时 无解 若 p 为假 q 为真时 结果为 1 a 2 故选 C 3 3 分析 分析 本题主要复习分式不等式的解法 分类讨论的思想及利用序轴标根法解不等式的基本步骤 本题的关键是对分母分解因式 将原不等式等价转化为 013 xxax 和比较a与1 及 3 的大小 定出分类方法 解 原不等式化为 013 xxax 1 当1 a时 由图 1 知不等式的解集为 31 xaxx或 2 当 31231 xaxxa或知不等式的解集为时 由图 3 当 axxxa 3133或知不等式的解集为时 由图 4 分析 分析 方程的根 函数的性质和图象都与不等式的解密切相关 要善于把它们有机地联系起来 相互转化和相互交通 用心 爱心 专心11 解解 1 1 由题意可知 a 0 且 1 2 是方程 ax2 bx a2 1 0 的根 所以 3 由题意知 2 是方程 ax2 bx a2 1 0 的根 所以 4a 2b a2 1 0 又 2 是不等式 ax2 bx a2 1 0 的解集 所以 4 由题意知 a 0 b 0 且 1 是方程 bx a2 1 0 的根 即 b a2 1 0 所以 a 0 b 1 说明 二次函数与一元二次方程 一元二次不等式之间存在着密切的联系 在解决具体的数学问题时 要注意三者之间相互联系 相互渗透 并在一定条件下相互转换 5 5 分析 分析 在不等式的求解中 换元法和图解法是常用的技巧 通过换元 可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式 通过 构造函数 数形结合 则可将不等式的解化归为直观 形象的图象关系 对含参数的不等式 运用图解法 还可以使得分类标准更加 明晰 解 设 x at 原不等式化为tayttyttat 2 2 1 2 0 1 0 1设 在同一坐标系中作出两函数图象 21 yy 故 1 当 010 10 10 xata x 即时 2 2 2 log 2 22 log 2 2 2 2 2 2 1 21 2222 2 2 1 2 aaa x aa t