（江苏专用）2013高考数学总复习 （基础达标演练+综合创新备选）第八篇《第49讲　空间向量及其坐标运算》理（含解析） 苏教版

1 20132013 高考总复习江苏专用 理科 第八篇高考总复习江苏专用 理科 第八篇 第第 4949 讲讲 空间向量空间向量 及其坐标运算及其坐标运算 基础达标演练 基础达标演练 综合创新备选 含解析 综合创新备选 含解析 A 级 基础达标演练 时间 45 分钟 满分 80 分 一 填空题 每小题 5 分 共 35 分 1 已知向量a a b b x 1 2 其中x 0 若a a b b 则实数x等于 8 x 2 x 解析 a a b b且x 0 存在 0 使a a b b x 2 Error Error 8 x 2 x 答案 x 4 2 以下四个命题中正确的是 填序号 空间的任何一个向量都可用其他三个向量表示 若 a a b b c c 为空间向量的一组基底 则 a a b b b b c c c c a a 构成空间向量的另一组基底 ABC为直角三角形的充要条件是 0 AB AC 任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一组基底 解析 若a a b b b b c c c c a a为共面向量 则a a b b b b c c c c a a 1 a a 1 b b c c 不可能同时为 1 设 1 则a a b b c c 则a a b b c c为共面向量 此 1 1 1 与 a a b b c c 为空间向量基底矛盾 答案 3 给出下列四个命题 若p p xa a yb b 则p p与a a b b共面 若p p与a a b b共面 则p p xa a yb b 若 x y 则P M A B共面 MP MA MB 若P M A B共面 则 x y MP MA MB 其中真命题的序号是 解析 其中 为正确命题 答案 4 已知a a 2 1 3 b b 1 4 2 c c 7 5 若a a b b c c三向量共面 则 实数 等于 解析 由题意得c c ta a b b 2t t 4 3t 2 2 Error t 33 7 17 7 65 7 答案 65 7 5 如图 已知空间四边形OABC OB OC 且 AOB AOC 则 cos 的值为 3 OA BC 解析 设 a a b b c c OA OB OC 由已知条件 a a b b a a c c 且 b b c c 3 a a c c b b a ca c a ba b OA BC a ca c a b a b 0 cos 0 1 2 1 2 OA BC 答案 0 6 如图所示 已知空间四边形OABC 其对角线为OB AC M N分别为OA BC的中点 点G在线段MN上 且 2 若 x y z 则x y z的值分别 MG GN OG OA OB OC 为 解析 OG OM MG 1 2OA 2 3MN 1 2OA 2 3 ON OM 1 2OA 2 3ON 2 3OM 1 2OA 2 3 1 2 OB OC 2 3 1 2OA 1 6OA 1 3OB 1 3OC x y z的值分别为 1 6 1 3 1 3 答案 1 6 1 3 1 3 3 7 在空间四边形ABCD中 AB CD AC DB AD BC 解析 如图 设 a a b b c c AB AC AD AB CD AC DB AD BC a a c c b b b b a a c c c c b b a a 0 答案 0 二 解答题 每小题 15 分 共 45 分 8 证明三个向量a a e e1 1 3e e2 2 2e e3 3 b b 4e e1 1 6e e2 2 2e e3 3 c c 3e e1 1 12e e2 2 11e e3 3共面 证明 设a a xb b yc c 由已知条件Error 解得x y 1 10 1 5 即a a b b c c 1 10 1 5 故a a b b c c三个向量共面 9 如图 在棱长为a的正方体ABCD A1B1C1D1中 G为 BC1D的重心 1 试证A1 G C三点共线 2 试证A1C 平面BC1D 3 求点C到平面BC1D的距离 1 证明 因为G是 BC1D的重心 所以 C C C G 1 3 B D CC1 所以 C B C C 3 CA1 B A AA1 B D CC1 CG 即A1 G C三点共线 CG CA1 2 证明 设 a a b b c c 则 a a b b c c a CB CD CC1 且a ba b b cb c c ac a 0 4 a a b b c c c c a a a a b b c c CA1 BC1 CA1 BC1 c c a a c c2 2 a a2 2 0 即CA1 BC1 同理可证 CA1 BD 因此A1C 平面BC1D CA1 BC1 3 解 a a b b c c 2 a a2 2 b b2 2 c c2 2 3a a2 2 即 a CA1 CA1 CA1 3 因此 a 即C到平面BC1D的距离为a CG 3 3 3 3 10 如图 已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a 点M N分别是AB CD的 中点 1 求证 MN AB MN CD 2 求MN的长 解 1 设A p p A q q A r r B C D 由题意可知 p p q q r r a 且p p q q r r三向量两两夹角均为 60 M A A A A A N N M 1 2 C D 1 2 B q q r r p p 1 2 M A q q r r p p p p N B 1 2 q q p p r r p p p p2 1 2 a2 cos 60 a2 cos 60 a2 0 1 2 MN AB 同理可证MN CD 2 由 1 可知 MN q q r r p p 1 2 M 2 q q r r p p 2 N MN2 1 4 q q2 r r2 p p2 2 q q r r p p q q r r p p 1 4 5 1 4 a2 a2 a2 2 a2 2 a2 2 a2 2 2a2 1 4 a2 2 M a N 2 2 MN的长为a 2 2 B 级 综合创新备选 时间 30 分钟 满分 60 分 一 填空题 每小题 5 分 共 30 分 1 正四面体ABCD的棱长为 1 G是 ABC的中心 M在线段DG上 且 AMB 90 则GM 的长为 解析 设 a a b b c c DA DB DC AM AD DG a a a a b b c c 3 a a b b c c 3 1 3 3 a a b b a a b b c c BM BA AM 3 1 3 3 a a b b c c 3 3 1 3 由 0 可解得 AM BM 1 2 MG 1 2 DG 6 6 答案 6 6 2 给出下列命题 若a a b b b b c c 则a a c c 不等式 a a b b a a b b 的充要条件是a a与b b不共线 若非零向量c c垂直于不共线的向量a a和b b d d a a b b R R 且 0 则 c c d d 6 正确命题的序号是 解析 只有命题 是正确命题 答案 3 在下列条件中 使M与A B C一定共面的是 2 OM OA OB OC OM 1 5OA 1 3OB 1 2OC 0 0 MA MB MC OM OA OB OC 解析 0 则 为共面向量 即M A B C四点 MA MB MC MA MB MC MA MB MC 共面 答案 4 在空间四边形OABC中 OA 8 AB 6 AC 4 BC 5 OAC 45 OAB 60 则OA与BC所成角的余弦值等于 解析 设O a a O b b O c c A B C 设OA与BC所成的角为 则O B a a c c b b a a c c a a b b a a a a A A C C a a a a A a a2 a a A a a2 a a A 24 16 B C B 2 cos O A B C O A B C 24 16 2 8 5 3 2 2 5 答案 3 2 2 5 5 已知在一个 60 的二面角的棱上 如图有两个点A B AC BD分别是在这个二面角的 两个半平面内垂直于AB的线段 且AB 4 cm AC 6 cm BD 8 cm 则CD的长为 解析 设 a a b b c c BD AB AC 7 由已知条件 a a 8 b b 4 c c 6 a a b b 90 b b c c 90 a a c c 60 2 2 c c b b a a 2 CD CA AB BD a a2 2 b b2 2 c c2 2 2a ba b 2a ca c 2b cb c 68 则 2 CD 17 答案 2 cm 17 6 已知ABCD A1B1C1D1为正方体 给出下列四个命题 2 3A1B12 0 向量与向量的夹角是 A1A A1D1 A1B1 A1C A1B1 A1A AD1 A1B 60 正方体ABCD A1B1C1D1的体积为 A A 其中正确命题的序号是 B AA1 D 解析 设正方体的棱长为 1 中 2 32 3 故 正确 中 A1A A1D1 A1B1 A1B1 由于AB1 A1C 故 正确 中A1B与AD1两异面直线所成角为 60 A1B1 A1A AB1 但与的夹角为 120 故 不正确 中 A A 0 故 也不正确 AD1 A1B B AA1 D 答案 二 解答题 每小题 15 分 共 30 分 7 如图 在空间四边形SABC中 AC BS为其对角线 O为 ABC的重心 试证 1 0 OA OB OC 2 SO 1 3 SA SB SC 证明 1 OA 1 3 AB AC OB 1 3 BA BC OC 1 3 CA CB 8 得 0 OA OB OC 2 SO SA AO SO SB BO SO SC CO 由 1 得 0 AO BO CO 得 3 SO SA SB SC 即 SO 1 3 SA SB SC 8 如图所示 已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于 1 点E F G分别是 AB AD CD的中点 计算 1 2 EF BA EF DC 3 EG的长 4 异面直线AG与CE所成角的余弦值 解 设 a a b b c c AB AC AD 则 a a b b c c 1 a a b b b b c c c c a a 60 c c a a EF 1 2BD 1 2 1 2 a a b b c c BA DC 1 a a EF BA 1 2c c 1 2a a a a2 2 a ca c 1 2 1 2 1 4 9 2 c c a a b b c c EF DC 1 2 b cb c a ba b c c2 2 a ca c 1 2 1 4 3 a a b b a a c c b b EG EB