人教2011 初二下 变量与函数

1 变量与函数变量与函数 育才中学育才中学 司徒卓铿司徒卓铿 教材分析教材分析 函数是数学中最重要的基本概念之一 它揭示了现实世界中数量关系之间相互依存 和变化的实质 是刻画和研究现实世界变化规律的重要模型 通过变量之间的关系 能使 学生进一步审视已有的代数式 方程 不等式 平面直角坐标系等知识及其联系 增强 综合应用知识的意识 提高分析问题和解决问题的能力 学情解析学情解析 变量与函数的概念把学生由常量数学引入变量数学 是学生数学认识上的又一大飞跃 变量与函数 对学生在认知上和思维上都有较高要求 入门会有一定困难 创设丰富的 现实情景 使学生在丰富的现实情景中感知变量和函数的存在和意义 体会变量之间的 互相依存关系和变化规律 目标和目标解析目标和目标解析 1 学生通过直观感知 能分清实例中的常量与变量 领悟函数概念的意义 能列举函 数的实例 并能写出简单的函数关系式 2 学生通过对实际问题中数量之间相互依存关系的探索 学会用函数思想去描述 研究 其变化规律 初步理解对应的思想 逐步学会运用函数的观点观察 分析问题 在本节教学时 教师应根据学生的认知基础 创设丰富的现实情境 使学生在丰富的现 实情境中感知变量和函数的存在和意义 体会变量之间的相互依存关系和变化规律 真 正起好组织者 引导者和合作者的作用 在教学过程中 学生的学法应以自主探究与合 作交流为主 教学过程教学过程 一 情景屋 引出课题 一 情景屋 引出课题 师 同学们 大千世界是处在不停的运动变化之中的 请看屏幕一组镜头 电脑演示 一组画面 1 学生欣赏运动变化的画面 1 红旗飘扬过程 2 2 花开过程 3 波涛汹涌过程 2 思考 师 如何来研究这些运动变化并寻找规律呢 你还能举出类似的例子吗 这些运动变化都有一定规律 数学上常用变量与函数来刻画各种运动变化 通过实 际问题初步认识函数及其图象 第一节 变量与函数 二 实例库 形成概念 二 实例库 形成概念 1 票房收入问题 每张电影票的售价为 10 元 1 若一场售出 150 张电影票 则该场的票房收入是 元 2 若一场售出 205 张电影票 则该场的票房收入是 元 3 若一场售出 310 张电影票 则该场的票房收入是 元 4 若一场售出张电影票 则该场的票房收入元 则 xy y 小结反思 1 票房收入随售出的电影票变化而变化 即票房收入随售出的电影票变化而变化 即随随 的变化而变化的变化而变化 y 2 当售出票数取定一个确定的值时 票房收入的取值是否唯一确定 xy 例如 当 150 时 的取值是唯一 还是有多个值 答 xy 2 圆周长问题 如果用表示圆的半径 圆的周长用表示 rC 1 C 2 当时 3 当时 3 rC5 rC 小结反思 1 圆周长随圆周长随 变化而变化 即变化而变化 即随随 的变化而变化的变化而变化 C 2 当半径取定一个确定的值时 圆周长的取值是否唯一确定 rC 例如 当 5 时 的取值是唯一 还是有多个值 答 rC 3 行程问题 汽车以 60 千米 秒的速度匀速行驶 行驶里程为千米 行驶时间为 小时 st 请根据题意填表 t 时 12345 10 千米 s 小结反思 1 行驶路程随行驶路程随 的变化而变化 即的变化而变化 即随随 的变化而变化的变化而变化 s 2 当行驶时间 取定一个确定的值时 行驶路程的取值是否唯一确定 ts 例如 当 3 时 的取值是唯一 还是有多个值 答 ts 4 温度变化问题 如图一 是北京春季某一天的气温 随时间 t 变化的图象 看图回答 图一 3 1 这天的 8 时的气温是 14 时的气温是 22 时的气温是 2 这一天中 最高气温是 最低气温是 3 这一天中 在 4 时 12 时 气温 在 12 时 14 时气温 在 16 时 24 时 气温 A 持续升高 B 持续降低 C 持续不变 小结反思 1 天气温度随天气温度随 的变化而变化 即的变化而变化 即随随 的变化而变化的变化而变化 T 2 当时间 取定一个确定的值时 温度的取值是否唯一确定 tT 例如 当 12 时 的取值是唯一 还是有多个值 答 tT 三 问题苑 认识概念 三 问题苑 认识概念 在一个变化过程中 在一个变化过程中 1 1 发生变化的量叫做 发生变化的量叫做 2 2 不变的量叫做 不变的量叫做 3 3 如果有两个变量 如果有两个变量和和 对于 对于的每一个值 的每一个值 都有都有 的值与之对应 的值与之对应 xyxy 称称是是 是是的的 xyx 4 4 如果当 如果当时 时 叫做当叫做当时的函数值时的函数值 ax by bax 四 快乐套餐 巩固练习 四 快乐套餐 巩固练习 练习一练习一 指出前面四个问题中的常量 变量 自变量与函数 1 票房收入问题 中 是常量 是变量 是自变量 是的函数 yx 2 圆周长问题 中 是常量 是变量 是自变量 是 的函数 C 3 行程问题 中 是常量 是变量 是自变量 是 的函数 4 气温变化问题 是常量 是变量 是自变量 是 的函数 注意 常量与变量必须依存于一个变化过程中 判断一个量是常量还是变量 关键 看它在这个变化过程中是否发生变化 设计意图 巩固常量 变量 自变量 函数的概念 例 一个三角形的底边为 5 高可以任意伸缩 三角形的面积也随之发生了变化 hs 解 1 面积随变化的关系式 其中常量是 变量是 sh s 是自变量 是 的函数 2 当3 时 面积 h s 3 当10 时 面积 h s 4 当高由 1 变化到 5 时 面积从 变化到 图二 4 变式 1 一个三角形的高为 6 底边可以任意伸缩 三角形的面积 s 也随之发生了变化 1 面积 s 随 a 变化的关系式 s 其中常量是 变量是 是自变量 是 的函数 2 当底边 a 由 1 变化到 5 时 函数值 s 从 变化到 6 变式 2 蛋糕师傅现要做一个底面为三角形且面积为 200 平方厘米规格的蛋糕 你能帮他 设计一下蛋糕底面三角形形状吗 1 底边 a 随高 h 变化的关系式 a 变量是 自变量是 是 的函数 2 填表帮蛋糕师傅完成设计 高 h cm 102040 底 a cm 8 h a 变式 3 一个等腰直角三角形的腰长 a 可以任意伸缩 三角形的面积 s 也随之发生了变化 1 面积 s 随 a 变化的关系式 s 其中常量是 变量是 是自变量 是 的函数 2 当函数值 s 50 时 对应腰长 a 5 a 变式 4 如图所示 等腰直角三角形 ABC 的直角边长与正方形 MNPQ 的边长均为 10cm AC 与 MN 在同一直线上 开始时 A 点与 M 点重合 让 ABC 向右运动 最后 A 点与 N 点重合 1 试写出重叠部分面积 y 随 MA 长度 x 变化关系式 2 当 MA 2cm 时 求重叠部分的面积 10 AC QP N M 五 沉思阁 概念拓展 五 沉思阁 概念拓展 练习三练习三 1 填表并回答问题 x 14916 xy2 与具有函数关系吗 为什么 yx 变式 若 则与具有函数关系吗 为什么 xy yx 2 下列各图中 表示是的函数的有 可以多选 yx 六 点金帚 归纳小结 六 点金帚 归纳小结 1 函数的概念 B 6 自变量 确定 函数值 确定 设计意图 通过小结 让学生抓住理解函数概念的 实质 2 回顾 票房收入问题 圆周长问题 行程问题 气温变化问题 表示两个变 量的对应关系有哪些方法 1 2 3 七 作业七 作业 1 写出下列问题中的函数解析式 1 正方形的面积与边长关系式 sx 2 秀水村的耕地面积是m2 这个村人的占有耕地面积随这个村人数的变化而 6 10yn 变化 解 1 函数解析式 是自变量 是 的函数 2 函数解析式 是自变量 是 的函数 2 一年期的存款利率是 4 填表 本金 元 x1002005001000 一年到期后所得的 利息 元 y 本金元与一年到期后所得的利息元之间的关系式是 xy 常量是 变量是 其中 是自变量 是 的函 数 3 小明 爸爸和爷爷同时从家中出发到同一目的地又立即返回 小明去时骑自行车 返 回时步行 爷爷去时步行 返回时骑自行车 爸爸往返都步行 三人的步行速度不等 小明与爷爷骑自行车