【高考秘籍】2013高考数学提分训练第3章3.3.3知能优化训练

1 有 有 5 辆辆 6 吨汽车 吨汽车 4 辆辆 4 吨的汽车 要运送最多的货物 完成这项运输任务的线性目标吨的汽车 要运送最多的货物 完成这项运输任务的线性目标 函数为函数为 解析 目标函数的关键是正确地设出相关的变元 设解析 目标函数的关键是正确地设出相关的变元 设 6 吨汽车吨汽车 x 辆 辆 4 吨汽车吨汽车 y 辆 则辆 则 z 6x 4y 答案 答案 z 6x 4y 2 设变量 设变量 x y 满足约束条件满足约束条件Error 则目标函数则目标函数 z 2x y 的最小值为的最小值为 解析 首先根据条件画出不等式组所表示的平面区域 然后画出一组与解析 首先根据条件画出不等式组所表示的平面区域 然后画出一组与 2x y 0 平行的直平行的直 线 经过平移即可得到对应的最优解 线 经过平移即可得到对应的最优解 因为变量因为变量 x y 满足约束条件满足约束条件Error 在坐标系中画出可行域在坐标系中画出可行域 ABC A 2 0 B 1 1 C 3 3 则使目标函数则使目标函数 z 2x y 取最小值的点是取最小值的点是 B 点 代入即可 点 代入即可 答案 答案 3 3 2011 年无锡高二检测年无锡高二检测 在在 ABC 中 三顶点中 三顶点 A 2 4 B 1 2 C 1 0 点 点 P x y 在在 ABC 内部及边界运动 则内部及边界运动 则 z x y 的最大值为的最大值为 解析 先作出解析 先作出 ABC 如图所示 对 如图所示 对 z x y 可看成 可看成 y x z 求 求 z 的最值 相当于找斜的最值 相当于找斜 率为率为 1 的直线经过的直线经过 ABC 区域时纵截距的有关最值 易知 直线经过区域时纵截距的有关最值 易知 直线经过 C B 点 纵截距点 纵截距 z 分别取最小值 分别取最小值 1 及最大值及最大值 3 从而 从而 z 分别得到最大值分别得到最大值 1 及最小值 及最小值 3 答案 答案 1 4 已知 已知 x y 满足约束条件满足约束条件Error 则 则 x 3 2 y2的最小值为的最小值为 解析 画出可行域解析 画出可行域 如图所示如图所示 x 3 2 y2即点即点 A 3 0 与可行域内点与可行域内点 x y 间距离的平间距离的平 方 显然方 显然 AC 长度最小 长度最小 AC2 0 3 2 1 0 2 10 答案 答案 10 一 填空题一 填空题 1 设 设 D 是不等式组是不等式组Error 表示的平面区域 则表示的平面区域 则 D 中点中点 P x y 到直线到直线 x y 10 距离的最距离的最 大值为大值为 解析 画出不等式组表示的平面区域 当解析 画出不等式组表示的平面区域 当 P 点为点为 1 1 时 时 P 到直线到直线 x y 10 的距离最大 的距离最大 即即 d 4 1 1 10 1 12 答案 答案 4 2 2 若实数 若实数 x y 满足满足Error 则 则 s y x 的最小值为的最小值为 解析 如图 当解析 如图 当 x 4 y 2 时 时 s y x 2 4 6 为最小值 为最小值 答案 答案 6 3 如果点 如果点 P 在平面区域在平面区域Error 上 点上 点 Q 在曲线在曲线 x2 y 2 2 1 上 那么上 那么 PQ 的最小值为的最小值为 解析 点解析 点 P 在平面区域在平面区域Error 上 画出可行域 上 画出可行域 点点 Q 在曲线在曲线 x2 y 2 2 1 上 那么上 那么 PQ 的最小值即为圆上的点到直线的最小值即为圆上的点到直线 y 的距离 即圆的距离 即圆 1 2 心心 0 2 到直线到直线 y 的距离减去半径的距离减去半径 1 得 得 1 2 3 2 答案 答案 3 2 4 若实数 若实数 x y 满足满足Error 则 则 z 3x 2y的最小值是 的最小值是 解析 由不等式组得可行域是以解析 由不等式组得可行域是以 A 0 0 B 0 1 C 0 5 0 5 为顶点的三角形 易知当为顶点的三角形 易知当 x 0 y 0 时 时 z x 2y 取最小值取最小值 0 所以所以 z 3x 2y的最小值是 的最小值是 1 答案 答案 1 5 某公司招收男职员 某公司招收男职员 x 名 女职员名 女职员 y 名 名 x 和和 y 需满足约束条件需满足约束条件Error 则 则 z 10 x 10y 的最大值是的最大值是 解析 解析 先画出满足约束条件的可行域 如图中阴影部分所示 先画出满足约束条件的可行域 如图中阴影部分所示 由由Error 解得解得Error 但但 x N y N 结合图知当 结合图知当 x 5 y 4 时 时 zmax 90 答案 答案 90 6 2010 年高考陕西卷年高考陕西卷 设变量设变量 x y 满足约束条件满足约束条件Error 则目标函数则目标函数 z 5x y 的最大值为的最大值为 解析 先画出可行域 如图解析 先画出可行域 如图 Error 最优解为最优解为 A 1 0 zmax 5 答案 答案 5 7 已知实数 已知实数 x y 满足满足Error 如果目标函数如果目标函数 z x y 的最小值为 的最小值为 1 则实数 则实数 m 等于等于 解析 可行域如图中阴影所示 由解析 可行域如图中阴影所示 由Error 可得 可得 A m 1 3 2m 1 3 又又 z x y y x z 当当 y x z 过点过点 A 时 时 z 最小 最小 1 m 5 m 1 3 2m 1 3 答案 答案 5 8 2010 年高考辽宁卷年高考辽宁卷 已知 已知 1 x y 4 且且 2 x y 3 则 则 z 2x 3y 的取值范围是的取值范围是 答案用区间表示答案用区间表示 解析 由解析 由Error 得平面区域如图中阴影部分所示 得平面区域如图中阴影部分所示 由由Error 得 得Error 由由Error 得 得Error 2 3 3 1 z 2x 3y 2 1 3 2 即即 3 z 8 故 故 z 2x 3y 的取值范围是的取值范围是 3 8 答案 答案 3 8 9 在如图所示的可行域内 在如图所示的可行域内 阴影部分含边界阴影部分含边界 若目标函数 若目标函数 z x ay 取得最小值的最优解有取得最小值的最优解有 无数个 则无数个 则的最大值是的最大值是 y x a 解析 目标函数解析 目标函数 z x ay 可化为可化为 y x z 1 a 1 a 由题意由题意 a 0 且当直线且当直线 y x z 与与 lAC重合时符合题意 此时重合时符合题意 此时 kAC 1 1 a 1 a 1 a a 1 的几何意义是区域内动点与的几何意义是区域内动点与 P 1 0 连线的斜率 显然连线的斜率 显然 kmax kOC y x a 2 5 答案 答案 2 5 二 解答题二 解答题 10 在约束条件 在约束条件Error 下 当下 当 3 s 5 时 求目标函数时 求目标函数 z 3x 2y 的最大值的变化范围 的最大值的变化范围 解 如图 由解 如图 由Error 得 得Error 交点为交点为 B 4 s 2s 4 其他各交点分别为 其他各交点分别为 A 2 0 C 0 s C 0 4 1 当当 3 s 4 时 可行域是四边形时 可行域是四边形 OABC 此时 此时 7 zmax 8 2 当当 4 s 5 时 可行域是时 可行域是 OAC 此时 此时 zmax 8 由由 1 2 可知目标函数可知目标函数 z 3x 2y 的最大值的变化范围是的最大值的变化范围是 7 8 11 已知 已知Error 求 求 1 z x2 y2 10y 25 的最小值 的最小值 2 z 的范围 的范围 2y 1 x 1 解 作出可行域 如图 解 作出可行域 如图 A 1 3 B 3 1 C 7 9 1 z x2 y 5 2表示可行域内任一点表示可行域内任一点 x y 到点到点 M 0 5 的距离的平方 过的距离的平方 过 M 作作 AC 的垂线 的垂线 易知垂足在易知垂足在 AC 上 故上 故 MN 0 5 2 1 1 2 3 2 3 2 2 MN2 所以 所以 z x2 y2 10y 25 的最小值为的最小值为 9 2 9 2 2 z 2 表示可行域内点表示可行域内点 x y 与定点与定点 y 1 2 x 1 Q 1 连线斜率的连线斜率的 2 倍 倍 1 2 kQA kQB 故 故 z 的范围是的范围是 7 4 3 8 3 4 7 2 12 已知甲 乙两煤矿每年的产量分别为 已知甲 乙两煤矿每年的产量分别为 200 万吨和万吨和 260 万吨 需经过东车站和西车站两万吨 需经过东车站和西车站两 个车站运往外地 东车站每年最多能运个车站运往外地 东车站每年最多能运 280 万吨煤 西车站每年最多能运万吨煤 西车站每年最多能运 360 万吨煤 甲万吨煤 甲 煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为 1 元元 吨和吨和 1 5 元元 吨 乙煤矿运往东车站和西车吨 乙煤矿运往东车站和西车 站的运费价格分别为站的运费价格分别为 0 8 元元 吨和吨和 1 6 元元 吨 煤矿应怎样编制调运方案 能使总运费最少 吨 煤矿应怎样编制调运方案 能使总运费最少 解 设甲煤矿向东车站运解 设甲煤矿向东车站运 x 万吨煤 乙煤矿向东车站运万吨煤 乙煤矿向东车站运 y 万吨煤 那么总运费万吨煤 那么总运费 z x 1 5 200 x 0 8y 1 6 260 y 即即 z 716 0 5x 0 8y x y 应满足应满足Error 即即Error 作出上面的不等式组所表示的平面区域 如图 作出上面的不等式组所表示的平面区域 如图 设直线设直线 x y 280 与与 y 260