2014届高三理科数学一轮复习课时训练：九第5课《抛物线》（北师大版）

抛物线 A 级 基础演练 时间 30 分钟 满分 55 分 一 选择题 每小题 5 分 共 20 分 1 2011 辽宁 已知 F 是抛物线 y2 x 的焦点 A B 是该抛物线上的两点 AF BF 3 则线段 AB 的中点到 y 轴的距离为 A B 1 C D 3 4 5 4 7 4 解析 设 A x1 y1 B x2 y2 由抛物线的定义 知 AF BF x1 x2 p 2 3 p x1 x2 线段 AB 的中点的横坐标为 p 2 1 2 5 2 x1 x2 2 5 4 答案 C 2 2013 东北三校联考 若抛物线 y2 2px p 0 上一点 P 到焦点和抛物线的对称 轴的距离分别为 10 和 6 则 p 的值为 A 2 B 18 C 2 或 18 D 4 或 16 解析 设 P x0 y0 则Error 36 2p 即 p2 20p 36 0 解得 p 2 或 18 10 p 2 答案 C 3 2011 全国 已知抛物线 C y2 4x 的焦点为 F 直线 y 2x 4 与 C 交于 A B 两点 则 cos AFB A B C D 4 5 3 5 3 5 4 5 解析 由Error 得 x2 5x 4 0 x 1 或 x 4 不妨设 A 4 4 B 1 2 则 5 2 3 4 0 2 8 cos AFB FA FB FA FB FA FB FA FB 故选 D 8 5 2 4 5 答案 D 4 2012 山东 已知双曲线 C1 1 a 0 b 0 的离心率为 2 若抛物线 x2 a2 y2 b2 C2 x2 2py p 0 的焦点到双曲线 C1的渐近线的距离为 2 则抛物线 C2的方 程为 A x2 y B x2 y 8 3 3 16 3 3 C x2 8y D x2 16y 解析 1 的离心率为 2 2 即 x2 a2 y2 b2 c a 4 x2 2py 的焦点坐标为 1 的渐近线 c2 a2 a2 b2 a2 b a3 0 p 2 x2 a2 y2 b2 方程为 y x 即 y x 由题意 得 2 p 8 故 b a3 p 2 1 3 2 C2 x2 16y 选 D 答案 D 二 填空题 每小题 5 分 共 10 分 5 2013 郑州模拟 设斜率为 1 的直线 l 过抛物线 y2 ax a 0 的焦点 F 且和 y 轴交于点 A 若 OAF O 为坐标原点 的面积为 8 则 a 的值为 解析 依题意 有 F 直线 l 为 y x 所以 A OAF 的面 a 4 0 a 4 0 a 4 积为 8 解得 a 16 依题意 只能取 a 16 1 2 a 4 a 4 答案 16 6 2012 陕西 如图是抛物线形拱桥 当水面在 l 时 拱顶离水面 2 米 水面宽 4 米 水位下降 1 米后 水面宽 米 解析 如图建立平面直角坐标系 设抛物线 方程为 x2 2py 由题意 A 2 2 代入 x2 2py 得 p 1 故 x2 2y 设 B x 3 代入 x2 2y 中 得 x 故 6 水面宽为 2米 6 答案 2 6 三 解答题 共 25 分 7 12 分 已知抛物线 C y2 2px p 0 过点 A 1 2 1 求抛物线 C 的方程 并求其准线方程 2 是否存在平行于 OA O 为坐标原点 的直线 l 使得直线 l 与抛物线 C 有公 共点 且直线 OA 与 l 的距离等于 若存在 求出直线 l 的方程 若不存在 5 5 说明理由 解 1 将 1 2 代入 y2 2px 得 2 2 2p 1 所以 p 2 故所求的抛物线 C 的方程为 y2 4x 其准线方程为 x 1 2 假设存在符合题意的直线 l 其方程为 y 2x t 由Error 得 y2 2y 2t 0 因为直线 l 与抛物线 C 有公共点 所以 4 8t 0 解得 t 1 2 另一方面 由直线 OA 与 l 的距离 d 5 5 可得 解得 t 1 t 5 1 5 因为 1 1 1 2 1 2 所以符合题意的直线 l 存在 其方程为 2x y 1 0 8 13 分 2012 温州十校联考 已知椭圆 1 a b 0 的离心率为 以原 x2 a2 y2 b2 3 3 点为圆心 椭圆短半轴长为半径的圆与直线 y x 2 相切 1 求 a 与 b 2 设该椭圆的左 右焦点分别为 F1 F2 直线 l1过 F2且与 x 轴垂直 动直线 l2与 y 轴垂直 l2交 l1于点 P 求线段 PF1的垂直平分线与 l2的交点 M 的轨迹 方程 并指明曲线类型 解 1 由 e 得 c a 1 b2 a2 3 3 b a 6 3 又由原点到直线 y x 2 的距离等于椭圆短半轴的长 得 b 则 a 23 2 法一 由 c 1 得 F1 1 0 F2 1 0 a2 b2 设 M x y 则 P 1 y 由 MF1 MP 得 x 1 2 y2 x 1 2 即 y2 4x 所以所求的 M 的轨迹 方程为 y2 4x 该曲线为抛物线 法二 因为点 M 在线段 PF1的垂直平分线上 所以 MF1 MP 即 M 到 F1 的距离等于 M 到 l1的距离 此轨迹是以 F1 1 0 为焦点 l1 x 1 为准线的 抛物线 轨迹方程为 y2 4x B 级 能力突破 时间 30 分钟 满分 45 分 一 选择题 每小题 5 分 共 10 分 1 设 F 为抛物线 y2 4x 的焦点 A B C 为该抛物线上三点 若 0 则 FA FB FC FA FB FC A 9 B 6 C 4 D 3 解析 设 A x1 y1 B x2 y2 C x3 y3 由于抛物线 y2 4x 的焦点 F 的坐 标为 1 0 由 0 可得 x1 x2 x3 3 又由抛物线的定义可得 FA FB FC x1 x2 x3 3 6 FA FB FC 答案 B 2 2013 洛阳统考 已知 P 是抛物线 y2 4x 上一动点 则点 P 到直线 l 2x y 3 0 和 y 轴的距离之和的最小值是 A B C 2 D 1 355 解析 由题意知 抛物线的焦点为 F 1 0 设点 P 到直线 l 的距离为 d 由抛 物线的定义可知 点 P 到 y 轴的距离为 PF 1 所以点 P 到直线 l 的距离与 到 y 轴的距离之和为 d PF 1 易知 d PF 的最小值为点 F 到直线 l 的距离 故 d PF 的最小值为 所以 d PF 1 的最小值为 1 2 3 22 1 255 答案 D 二 填空题 每小题 5 分 共 10 分 3 2012 北京 在直角坐标系 xOy 中 直线 l 过抛物线 y2 4x 的焦点 F 且与该 抛物线相交于 A B 两点 其中点 A 在 x 轴上方 若直线 l 的倾斜角为 60 则 OAF 的面积为 解析 直线 l 的方程为 y x 1 即 x y 1 代入抛物线方程得 y2 3 3 3 y 4 0 解得 yA 2 yB 0 舍去 故 OAF 的面积 4 3 3 4 3 3 16 3 16 23 为 1 2 1 233 答案 3 4 2012 重庆 过抛物线 y2 2x 的焦点 F 作直线交抛物线于 A B 两点 若 AB AF BF 则 AF 25 12 解析 设过抛物线焦点的直线为 y k 联立得 Error 整理得 x 1 2 k2x2 k2 2 x k2 0 x1 x2 x1x2 AB x1 x2 1 1 1 4 k2 2 k2 1 4 k2 2 k2 得 k2 24 代入 k2x2 k2 2 x k2 0 得 12x2 13x 3 0 解之得 25 12 1 4 x1 x2 又 AF 0 y1y2 4 则 PQ 2 x1 x2 2 y1 y2 2 x x y y 2 x1x2 y1y2 2 12 22 12 2 2 4 12 1 1 2 16 1 2 1 3 1 2 1 5 2 10 3 当 即 时 PQ 2有最大值 PQ 的最大值为 1 10 3 1 3 112 9 4 7 3 探究提高 圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种 一是几何法 特别 是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值 二是代数法 常将圆 锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题 然后利用基本不 等式 函数的单调性或三角函数的有界性等求最值 6 13 分 2012 新课标全国 设抛物线 C x2 2py p 0 的焦点为 F 准线为 l A 为 C 上一点 已知以 F 为圆心 FA 为半径的圆 F 交 l 于 B D 两点 1 若 BFD 90 ABD 的面积为 4 求 p 的值及圆 F 的方程 2 2 若 A B F 三点在同一直线 m 上 直线 n 与 m 平行 且 n 与 C 只有一个 公共点 求坐标原点到 m n 距离的比值 解 1 由已知可得 BFD 为等腰直角三角形 BD 2p 圆 F 的半径 FA p 2 由抛物线定义可知 A 到 l 的距离 d FA p 2 因为 ABD 的面积为 4 所以 BD d 4 2 1 22 即 2p p 4 解得 p 2 舍去 或 p 2 1 222 所以 F 0 1 圆 F 的方程为 x2 y 1 2 8 2 因为 A B F 三点在同一直线 m 上 所以 AB 为圆 F 的直径 ADB 90 由抛物线定义知 AD FA AB 1 2 所以 ABD 30 m 的斜率为或 3 3 3 3 当 m 的斜率