《动态解析高考数学综合题》平面解析几何

第五章第五章 直线与圆直线与圆 直线与圆是几何中最基础和最重要的两种图形 是代数方法在几何研究中的应 用的开始 对于这部分内容 学生应该深刻领会并熟练应用数形结合的思想方法 既要注重代数运算的简洁 也要充分利用几何图形的性质 还要认真考虑代数式的 几何意义 在对参数的讨论过程中不要遗漏某些特殊值所表示的特殊情况 近年来 这一部分内容在高考试题中通常属于基础题 难度中等 但解答问题 使用的方法会直接影响到运算量的多少以及问题解答的正确率 第一节第一节 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系 1 直线直线的的 截距与截距与 截距之间的关系截距之间的关系xy 例例 1 09 华南师大附中 3 月 已知直线 在轴 轴上截距的绝对值相等 lxy 且到点 1 2 的距离为 求直线 的方程 2l 动感体验 要全面考虑可能成立的各种情况 已知直线 在轴 轴上截距的绝对值相等lxy 的条件应考虑截距可能为零或不为零两种情况 如图 5 1 1 所示 点在以 1 2 为圆心 半径为的圆上 直线 记PA2 为 经过点且与圆相切 则该 到点 1 2 的距离为恒为 lPAl2 打开文件 09 华南师大附中 3 月 zjz 拖动点 观察可能出现直线 在轴 Plx 轴上截距的绝对值相等的情况 y 图 5 1 1 思路点拨 对于满足条件的直线其截距为零和不为零两种情况分别讨论 动态解析 图 5 1 2 5 1 7 所示六种情况下 经过点的直线在轴 轴上截距的绝对值Pxy 均相等 图 5 1 2 图 5 1 3 图 5 1 4 图 5 1 5 图 5 1 6 图 5 1 7 可设满足条件的直线的方程为 bkxy 当时 由点到直线的距离公式得 解得或0 b2 1 2 2 k k 62 k 62 k 当时 则直线 的斜率为 1 或者 1 由点到直线的距离公式得 0 blk 当时 解得或 当时 解得或2 1 2 2 k bk 1 k1 b3 b1 k5 b 1 b 因此所求直线的方程为 或 或 xy 62 xy 62 1 xy 或 或 或 3 xy5 xy1 xy 简要评注 从本题的题设条件 很容易选择利用直线的截距式方程表示直线进行求解 但 要注意避免遗漏直线经过原点的情况 在这里我们首先考虑到直线到点的距离为A 再寻找满足要求的直线 就容易分类了 2 有时候利用直线的截距式在绘制直线时非常方便 但答案通常写成斜截式 2 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系 例例 2 06 湖南理 10 若圆上至少有三个不同的点01044 22 yxyx 到直线的距离为 则直线 的倾斜角的取值范围是 0 byaxl22l A B C D 412 12 5 12 36 2 0 方法一方法一 动感体验 方程可化为 该圆的圆心01044 22 yxyx18 2 2 22 yx 为 2 2 半径为 圆心在直线上 是一条过原点的直23xy 0 byaxl 线 系数决定其倾斜角 令 则 的方程为 考虑变化时与ba b a k lkxy k 直线平行并与之距离为的两条直线与圆交点的个数 打开文件 06 湖kxy 22 南理 10 zjz 实线表示直线 虚线是两条到直线的距离等于 kxy kxy 22 通过拖动点或者动画按钮可以改变的值 如图 5 1 8 5 1 12 所示为其中的几种Pk 情况 图 5 1 8 图 5 1 9 图 5 1 10 图 5 1 11 图 5 1 12 思路点拨 改变的值考虑当圆上恰好有三个点到直线 的距离为时 两条平行线与kl22 圆的位置关系 这时两平行线应该其一与圆相切另一与圆相交 而圆心到直线 的l 距离恰好为 由此不难确定直线 的倾斜角的取值范围 2l 动态解析 注意到 当圆心到直线 的距离恰好为时 如图 5 1 8 图22 OClCD2 5 1 11 所示 由此不难确定若圆上至少 6 COD01044 22 yxyx 有三个不同的点到直线 的距离为时 直线 的倾斜角的取值范围是 l22l 12 5 12 所以选择 B 方法二 方法二 动感体验 方程可化为 可知该圆的01044 22 yxyx18 2 2 22 yx 圆心为 2 2 半径为 进入文件 06 湖南理 10 zjz 第二页 点是方程23C 所在圆的圆心 点是圆上的动点 与 01044 22 yxyxPCOPCD D 因此可以用直线表示方程对应的直线 其中 拖动点 观察直OP0 byaxlP 线与圆的位置关系 判断当圆上至少有三个不同的点到直线的距离为OPCCOP 时直线所应满足的条件 如图 5 1 13 5 1 16 所示 为其中的几种情形 22OP 图 5 1 13 图 5 1 14 图 5 1 15 图 5 1 16 思路点拨 将圆上的点到直线的距离转化成为圆心到直线的距离 动态解析 令 则 的方程为 b a k lkxy 当直线在圆心左上方时 若圆上正好有 3 个点到 的距离为 如图OPCl22 5 1 13 所示 则此时 又因为 22223 CD22 OC 所以在 中 所以 4 xOCRtCDO 6 COD 12 5 CODxOCxOD 当直线在圆心的右下方时 若圆上正好有 3 个点到 的距离为 如OPCl22 图 5 1 14 所示 则此时 又因为 22223 CD22 OC 所以在 中 所以 4 xOCRtCDO 6 COD 12 CODxOCxOD 因此当时 如图 5 1 15 图 5 1 16 所示 圆上有四个不同的 12 5 12 xOD 点到 的距离为 l22 所以选择 B 简要评注 本题解答过程中要抓住两个关键 一 把圆上的点到直线的距离转化成为圆心 到直线的距离 二 直线的特征 经过原点 3 直线与动圆的位置关系直线与动圆的位置关系 例例 3 09 广东理 B19 已知曲线与直线交于两点 2 C yx 20l xy 和 且 记曲线在点和点之间那一段与线段 AA A xy BB B xy AB xx CABL 所围成的平面区域 含边界 为 设点 P s t 是 2 C yx 上一点 且点ABD 与点和点均不重合 PAB I 若点是线段的中点 试求线段的中点的轨迹方程 QABPQM II 若曲线与有公共点 试求的最 222 51 240 25 G xaxyya Da 小值 一 求点的轨迹方程 M 这里是定点 是曲线上的动点 是线段的中点 随点而QPCMPQMP 运动 既然曲线是抛物线 可以猜测的轨迹也是一条抛物线 至于它轨迹方程 CM 就是求点的坐标之间的关系 注意到点的坐标满足曲线的方程 而点的MPCM 坐标又可以通过和点坐标来表示 因此这个轨迹方程不难求出 PQ 事实上 由解得 因为 02 2 yx xy 1 A x2 B x1 A y4 B y 是线段的中点所以有 QAB 2 5 2 1 Q 又为的中点 所以有 反解得 yxMPQ 2 2 1 s x 2 2 5 t y 2 14 x s 因为点在曲线上 将上式代入得 2 54 y tPC 2 st 21 s 化简得 2 2 14 2 54 xy 4 5 14 8 1 2 xy 用表示点的坐标 则有 即 M 2 14 x s 2 54 y t 2 2 14 2 54 xy 化简得 由 得 4 5 14 8 1 2 xy21 s 4 5 4 1 x 所以点的轨迹方程为 它表示一个M 4 5 14 8 1 2 xy 4 5 4 1 x 抛物线弧段 如图 5 1 17 所示 图 5 1 17 二 求的最小值 a 动感体验 很明显是一个圆的方程 可化为 222 51 240 25 G xaxyya 它表示一个半径为常数而圆心为 2 的圆 随 222 5 7 2 yax 5 7 a 着的变化 这是一个可以左右平行移动的圆 a 进入文件 09 广东理 B19 zjz 第二页 如图 5 1 18 所示 圆表示方程T 对应的曲线 点可以被拖动 水平移动圆的0 25 51 42 222 ayyaxxTT 位置 观察区域与圆有公共点的情况下 点的横坐标应满足的条件 DTTa 图 5 1 18 思路点拨 求圆与有公共点时的最小值 就是求圆与线段相切且位于线段左侧时DaAB 的的值 a 动态解析 如图 5 1 19 所示 当圆经过点时 将 1 1 代入TAA 解得 或 舍去 222 5 7 2 yax 5 62 1 a 5 62 1 a 图 5 1 19 当圆与直线相切时 由点到直线的距离公式得 T 20l xy 解得 或 舍去 此时切点坐标为 5 7 2 22 a 5 27 a 5 27 a 因为 所以切点在线段内 由此可知的最 10 27 10 27 2 1 10 27 ABa 小值为 5 27 a 简要评注 本题中的动圆圆心在一条水平直线上移动 半径固定 因而比较容易了解圆与 区域 圆与直线的位置关系 而最值是取在线段的端点的状态下还是圆与直线相切 的条件下 这时本题重点要考察的内容 直观的演示可以帮助我们探索与发现问题 但只有从数学的角度进行推理和计算才能得到结论 4 求与圆有关的动态向量的数量积求与圆有关的动态向量的数量积 例例 4 08 山东临沂 直线与圆相交于两0 CByAx4 22 yxNM 点 若 则 为坐标原点 等于 222 BAC ONOM O A B C 0 D 12 1 动感体验 圆是圆心为坐标原点半径为 2 的圆 设和之间的夹角为4 22 yxOMON 根据向量的数量积的定义 cos4cos ONOMONOM 因此关键在于确定向量与之间的夹角的大小 OMON 由得到 这说明原点到直线 222 BAC 1 22 BA C O 的距离等于 1 因此可以将直线看作是经过单位0 CByAx0 CByAx 圆上一点并且与单位圆相切的动直线 打开文件 08 山东临沂 zjz 如图 5 1 20 所 示 拖动点 观察直线与圆两个交点的变P0 CByAx4 22 yxNM 化规律 图 5 1 20 思路点拨 分析条件的几何意义 研究与夹角有关的几何关系 222 BAC 动态解析 因为直线过点且与单位圆相切 所以垂直且平分 0 CByAxPOPMN 在中 所以 RtOPM1 OP2 OM 3 POM 3 2 MON 图 5 1 21 所以 2 3 2 cos4cos4cos ONOMONOM 因此选择 A 简要评注 解决本题的关键在于在熟练掌握向量的数量积概念的前提下挖掘条件 从而确定直线的特征以求出向量之间的夹角 222 BAC 0 CByAx 5 与直线截距有关的不等关系与直线截距有关的不等关系 例例 5 08 全国 I 理 10 若直线通过点 则 1 xy ab cossin M A B 22 1ab 22 1ab C D 22 11 1 ab 22 11 1 ab 动感体验 由想到单位圆 是这个单位圆上的动点 条件直线 cossin M M 通过点实际上是说直线和单位圆有公共点 其中隐含圆1 xy ab cossin M 心到直线的距离与单位圆的半径 1 的关系 打开文件 08 全国 I 理 10 zjz 如图 5 1 22 所示 经过点和点的直线表示方程对应的直线 点和点MN1 xy ab P 分别是直线与轴 轴的交点 拖动点可以任意改变直线性质特征 研究四QxyN 个选项所表示的几何意义以及成立的可能性 图 5 1 22 思路点拨 在直角三角形中考虑斜边上的高与单位圆半径之间的关系 POQ 动态解析 图 5 1 23 和图 5 1 24 说明和两种情况都可能成立 22 1ab 22 1ab 图 5 1 23 图 5 1 24 当直线与圆相切时 如图 5 1 25 所示 直角三角形斜边上的1 xy ab OPOQ 高线等于圆的半径 1 O 图 5 1 25 图 5 1 26 而其他情况下 如图 5 1 25 所示 直角三角形斜边上的高线小于圆的POQO 半径 1 通过面积公式可以求得直角三角形斜边上的高等于 由POQ 22 ba ba 化简得 1 22 ba ba 1 11 22 ba 因此答案选择 D 进入文件 08 全国 I 理 10 zjz 的第二页 如图 5 1 27 所示 则给出直线与单 位圆没有公共点的情况 这时 由此 即选项 C1 22 ba ba OM1 11 22 ba 表明的关系 图 5 1 27 简要评注 本题中为截距 恰好是直线与两坐标轴的交点及原点所构成的直角三角ba 形的直角边长 因此设法在中找出及的几何意义是解决POQRt 22 ba 22 11 ba 问题的关键 本节小结本节小结 研究直线与圆的位置关系 通常转换为圆心与直线的距离问题 此外 充分利用 代数式的所表示的几何性质 能够提高我们的解题效率 减少出错率和计算量 拓展练习拓展练习 1 06 湖南理 10 改编 若圆上有且仅有两点到直线 222 5 3 ryx 的距离为 1 则半径的取值范围是 0234 yxr 2 08 辽宁理 3 圆与直线没有公共点的充要条件是 22 1xy 2ykx A B 2 2 k 2 2 k C D 3 3 k 3 3 k 3 08 安徽文 10 若过点的直线 与曲线有公共点 4 0 A l 22 2 1xy 则直线 的斜率的取值范围为 l A B 33 33 C D 33 33 33 33 4 08 宁夏 海南文 20 已知 直线 和圆 m Rl 2 1 4mxmym C 22 84160 xyxy 求直线 斜率的取值范围 l 直线 能否将圆分割成弧长的比值为的两段圆弧 为什么 lC 1 2 第二节第二节 直线系与圆系直线系与圆系 1 动直线与动圆的位置关系动直线与动圆的位置关系 例例 1 06 江西理 16 已知圆 直线M1 sin cos 22 yx 下面四个命题 kxyl A 对任意实数与 直线 和圆相切 k lM B 对任意实数与 直线 和圆有公共点 k lM C 对任意实数 必存在实数 使得直线 与和圆相切 klM D 对任意实数 必存在实数 使得直线 与和圆相切 k lM 其中真命题的代号是 写出所有真命题的代号 动感体验 这里给出的是圆的标准方程 其半径为 1 圆心为 可以想M sin cos 象出这些圆的半径都是 1 而圆心在单位圆上 所以这些圆都过原点 而直线 则是过原点的直线但不包括轴 这就不难考虑圆和直线可能有怎样的位kxyl y 置关系了 打开文件 06 江西理 16 zjz 如图 5 2 1 所示 拖动点可以改变的圆的AM 圆心的位置 点是圆上的动点 可以用经过点和点的直线表示直线 APOOPl 拖动点或者点 观察和研究圆和直线 之间的位置关系 kxy APMl 图 5 2 1 思路点拨 将圆与直线 之间的位置关系转化为圆的半径与点到直线 的距MlMOAMl 离之间的大小关系 动态解析 通过图 5 2 1 可以观察到 圆与直线 均经过坐标原点 因此选项正确 MlOB 但选项错误 A 当点在任意位置时 只要拖动点使得 就有直线 和圆相切 PAOAOP lM 即对任意实数 都存在实数 使得直线 和圆相切 如图 5 2 2 所示 因此选k lM 项正确 D 图 5 2 2 当点在任意位置时 只要拖动点使得 就有直线 和圆相切 APOAOP lM 但是当点在轴上时 如图 5 2 3 和图 5 2 4 则直线 的斜率不存在 因此选Axlk 项错误 C 图 5 2 3 图 5 2 4 正确答案为 DB 简要评注 本题是不定项选择题 需要对每个命题进行判断 通过动感体验可以发现动圆 与动直线经过的共同点 原点 动中求静是这类问题的一种常见解答思路 2 动直线及其包络问题动直线及其包络问题 例例 2 09 江西理 16 文 16 设直线系 M1sin 2 cos yx 对于下列四个命题 20 A 中的所有直线均经过一个定点M B 存在定点不在中的任一条直线上PM C 对于任意整数 存在正边形 其所有边均在中的直线上n3 nnM D 中的直线所能围成的正三角形面积都相等M 其中真命题的代号是 写出所有真命题的代号 动感体验 首先是认识直线系 具有怎样的M1sin 2 cos yx 20 特征 设可以分别得到直线 和 这四 2 3 2 0 1 x3 y1 x1 y 条直线与点 0 2 的距离都等于 1 可以想象直线系是否具有这样的特征 事实M 上由知道 直线系所表示的是到点的距1 sincos 1sin 22 cos0 22 M 2 0 离为 1 的直线 或者说直线系是以点为圆心 半径为 1 的圆上的切线 2 0 也可以把看成直线的单位法向量 于是由向量与 sin cos 2 yx 的数量积等于 1 知直线系是到点的距离为 1 的直线 或者说 sin cos M 2 0 直线系是以点为圆心 半径为 1 的圆上的切线 2 0 打开文件 09 江西理 16 zjz 如图 5 2 5 所示 拖动点或者单击动画按钮 P 观察直线系的特征 M 图 5 2 5 思路点拨 通过直线的特征及其所围成的区域 对四个命题进行判断 M 动态解析 中的直线不经过任何一个定点 因此选项 A 错误 M 圆内的所有点均不在中的任何一条直线上 因此选项 B 正确 AM 当均匀变化 即点在圆周上匀速运动时 直线之间的交点就是正边形的 Pn 顶点 如图 5 2 6 5 2 11 所示 因此选项 C 正确 图 5 2 6 图 5 2 7 图 5 2 8 图 5 2 9 图 5 2 10 图 5 2 11 用鼠标双击动画按钮的绿色部分 最右侧部分 可以打开动画按钮的属性对话 框 如图 5 2 12 所示 在动画运动的频率一栏输入大于 3 的整数后单击 确定 按 钮 再次单击动画按钮 即可呈现由中的直线所组成的对应正多边形 M 图 5 2 12 中的直线所能围成的区域是圆内部 而其内部可以有无数多个面积不同MA 的正三角形 因此选项 D 错误 所以答案为 B C 简要评注 抓住直线系的特征才能更好地研究其特点 除了通常的过定点的直线系以及平 行直线系外 本题中的直线系也是一种典型类型 3 动圆及其性质特征动圆及其性质特征 例例 3 07 江西理 16 设有一组 圆 下列四个命题 224 1 3 2 k Cxkykkk N 存在一条定直线与所有的圆均相切 存在一条定直线与所有的圆均相交 存在一条定直线与所有的圆均不相交 所有的圆均不经过原点 其中真命题的代号是 写出所有真命题的代号 动感体验 打开文件 07 江西理 16 zjz 单击动画按钮 结果如图 5 2 13 所示 表示一组 圆 观察这组圆的特点 对四个命题进 224 1 3 2 k Cxkykkk N 行判断 图 5 2 13 思路点拨 通过圆心与半径研究系列圆的性质特征 3 1 kkC 2 2k 动态解析 可以从最容易判断的选项 入手 只需看原点的坐标 0 0 是否适合圆的方程 就行了 事实上通过 因此所有的圆均不经过原点 所以选 422 29 1 kkk 项 为真命题 令和分别得到 1 k2 k 2 3 22 1 yxC 和 32 6 1 22 2 yxC 圆心距为 半径的差等于 因为 所以两圆内含 由此看10232310 来不可能存在一条直线与所有的圆均相切 所以选项 为假命题 由于这些圆的圆心为 所以这些圆的圆心在直线上 这 3 1 kkCk 33 xy 条直线就与所有的圆均相交 所以选项 为真命题 由于这些圆的半径为随着的增大而无限增大 因此不可能存在一条定 2 2kk 直线与所有的圆均不相交 所以选项 是假命题 因此答案为 B D 简要评注 在研究直线系和圆系的有关问题时 要抓住他们的共性及其相互关系 才能准 确地把握运动中的图形的性质特征 直线与圆的位置关系的判断还是要充分利用圆 心与直线的距离 本节小结本节小结 直线系是一簇有共同特征的直线的总称 虽然在课本中没有详细介绍 但在练习 中却经常出现 一般地方程中含有函数时就表现为直线系 圆系的问题也类似 高考 中有关直线系和圆系的问题时常出现 解答过程中方法的选择非常重要 直线系与圆系的问题都可以分别理解为直线运动与圆运动的问题 在运动的过 程探索规律是这一类型题目的典型特征 抓住共性 例如过直线或圆定点 圆心或者 圆的半径固定等等 才能抓住问题的本质和解决问题的关键 拓展练习拓展练习 1 07 江西理 16 改编 在例题 3 中 若将题设中的改为 则 Nk Rk 上述四个命题中哪几个是真命题 2 09 广东文 A 19 已知椭圆的中心在坐标原点 长轴在 x 轴上 离心率G 为 两个焦点分别为和 椭圆上一点到和的距离之和为 12 圆 3 2 F1 2 FGF1 2 F 的圆心为点 k C 22 24210 xykyykR k A I 求椭圆的方程 G II 求面积 12k A FF III 问是否存在圆包围椭圆 请说明理由 k CG 第三节第三节 求最值问题求最值问题 1 求边长成比例的三角形面积最值求边长成比例的三角形面积最值 例例 1 08 江苏 13 若 的最大值 2 ABBCAC2 ABC S 动感体验 因为 可以认为三角形的 两点是确定的2 ABBCAC2 ABCAB 而点尚未确定 可以考虑在满足条件下的点的轨迹图形 然后通CBCAC2 C 过数形结合的方法求三角形面积的最大值 打开文件 08 江苏 13 zjz 如图 5 3 1 所示 拖动点 观察线段与CAC 之间的关系 并研究点对三角形的形状和面积的影响 BCCABC 图 5 3 1 思路点拨 以的中点为坐标原点 以有向线段的方向为轴正方向建立直角坐ABABx 标系 则点 的坐标可表示为 设点 C 的坐标为 AB 0 1 A 0 1 B yxC 则有 化简得 它表示 2222 1 2 1 yxyx 8 3 22 yx 一个坐标圆心在 半径为的圆 显然当点 C 与的距离最大时三角形 0 3 22AB 面积取最大值 ABC 动态解析 点的轨迹表示一个坐标圆心在 半径为的圆 进入文件 08 江苏C 0 3 22 13 zjz 的第二页 如图 5 3 2 所示 图 5 3 2 容易知道 当点在圆心正上方或正下方时 三角形的高最大 等于圆CABC 的半径 面积也最大 因此三角形的最大面积等于 ABC22222 2 1 简要评注 建立坐标系求动点轨迹是代数方法在几何中的应用 引进坐标系即可简化计算 也可使问题变得直观 容易理解 在本题中 利用点的轨迹所在的圆直观地表示C 代数式是解决问题的突破口 BCAC2 2 求两动点之间距离的最值求两动点之间距离的最值 例 2 05 广东 20 在平面直角坐标系中 已知矩形的长为 宽为 ABCDAB 边分别在轴 轴的正半轴上 点与ADxyA 坐标原点重合 如图 5 3 3 所示 将矩形折叠 使点落在线段上 ADC 若折痕所在直线的斜率为 试写 k 出折痕所在直线的方程 图 5 3 3 求折痕的长的最大值 一 求折痕所在直线的方程 1 当时 如图 5 3 4 所示 此时点与点重合 折痕所在的直线方0 kAD 程 2 1 y 图 5 3 4 图 5 3 5 2 当时 如图 5 3 5 所示 设点落在线段上的点 0 kADC 1 0 x A 则直线的斜率 所以折痕所在直线垂直平分 20 0 xA O 0 0 1 x A k A O 即 所以 1 kk AO 1 1 0 k x kx 0 又因为折痕所在的直线与的交点坐标 线段的中点 为 A O A O 2 1 2 k M 所以折痕所在的直线方程 即 2 2 1k xky 2 1 22 k ykx 综合 1 2 得折痕所在的直线方程为 2 1 22 k ykx 02 k 二 求折痕的长的最大值 动感体验 打开文件 05 广东 20 zjz 点是点沿矩形折叠后的对应点 拖动点观 AA A 察折痕的变化规律 动态解析 折痕所在的直线与坐标轴的交点坐标为 如图 0 2 1 2 1 0 22 k k F k E 5 3 6 所示 图 5 3 6 由 知 因为 所以 设折痕长度为 0 xk 20 0 x02 k d 所在直线的倾斜角为 1 当时 如图 5 3 7 所示 此时点与点重合 折痕的长为 2 0 kAD 图 5 3 7 2 当时 设 时 02 k k k a 2 1 2 2 1 2 k b20 ABa 如图 5 3 8 所示 与线段相交 此时 lAB322 k 图 5 3 8 图 5 3 9 时 如图 5 3 9 所示 与线段相交 此时 2 ABalBC032 k 时 如图 5 3 10 所示 与线段相交 此时 10 blAD01 k 图 5 3 10 图 5 3 11 时 如图 5 3 11 所示 与线段相交 此时 1 blDC12 k 所以将所在的分为 个子区间 k 当时 折痕所在的直线 与线段 相交 如图 5 3 1112 klDCAB 所示 折痕的长 1 1 1 1 1 sin 1 2 2 2 kk k k k d 所以 2 2 5 d 当时 折痕所在的直线 与线段 相交 如图321 klADAB 5 3 10 所示 折痕的长 4 3 4 1 4 3 4 2 1 2 1 2 24 2 2 2 2 k kkk k k d 令 即 即 即 0 x g0 2 1 2 3 3 3 k k k0132 46 kk 0 2 1 1 222 kk 所以 解得 321 k32 2 2 k 令 解得 0 x g 2 2 1 k 故当时 是减函数 当时 是 2 2 1 k xg32 2 2 k xg 增函数 因为 所以 所以2 1 g 348 4 32 g 32 1 gg 当时 32 k 348 4 32 g 26 23482 32 gd 所以 当时 321 k 26 2 d 当时 折痕所在的直线 与线段 相交 如图032 klADBC 5 3 9 所示 折痕的长 2 2 12 1 1 2 cos 2 k k d 所以 即 34822 l 26 22 l 综上所述得 当时 折痕的长有最大值 为 32 k 26 2 简要评注 本题考查的是学生分类讨论的能力 要求对图形的变化有清晰地认识 在解答 过程中可以看到找出分界点以及每一类的最值都需要耐心和细致的计算 3 求向量数量积的最值求向量数量积的最值 例例 3 07 辽宁理 20 已知正三角形的三个顶点都在抛物线上 OAB 2 2yx 其中为坐标原点 设圆是的外接圆 点为圆心 OCOABC I 求圆的方程 C II 设圆的方程为 过圆上任意M1 sin7 cos74 22 yxM 一点分别作圆的两条切线 切点为 求的最大值和PCPEPF EF CFCE 最小值 一 求圆的方程C 打开文件 07 辽宁理 20 zjz 如图 5 3 12 所示 图 5 3 12 利用正三角形的三个顶点都在抛物线上的条件容易求出点的OAB 2 2yx A 坐标 进而求出三角形外接圆的圆心和半径 具体解法如下 因为是正三角形 可知点与点关于轴对称 所以 OABABx o xOA30 设点 则有 解得 由正弦定 2 xxA x x xOA 2 3 3 tan 6 x 理知 解得