不等式的证明(二)

学科学科 数学数学 年级 高二年级 高二 版本 人教版版本 人教版 期数 期数 13031303 本周教学内容 不等式的证明本周教学内容 不等式的证明 基础知识精讲基础知识精讲 1 证明不等式时 常用的不等式 a b 2 0 a b R a2 b2 2ab a b R 2 ab 0 a b 0 即平方平均数不小于算术平均数 算术平均 数不小于几何平均数 几何平均数不小于调和平均数 a3 b3 c3 3abc a b c R 当且仅当 a b c 时取等号 a b c R 当且仅当 a b c 时取等号 a2 b2 c2 ab bc ca a b c R 2 不等式的证明方法 比较法 比较法是不等式的各种证法中最基本 最重要的方法 它包括作差比较法和作商比较法 用比较证明 不等式的一般步骤是 作差 作商 判断符号 或判断与 1 的大小 变形的主要方法是因式分解 配方 通分等 过程要详细叙述 综合法 从已知条件出发 利用不等式的性质及其它已经证明过的不等式来推出结论成立的方法 分析法 即从结论出发 执果索因 步步寻求上一步成立的充分条件 分析法与综合法对立统一 相辅相成 反证法 从假设结论的反面成立 逐步推出矛盾 从而肯定结论正确的方法 当题中有 至多 至少 都 等词语时 可考虑采用反证法 换元法 当直接证不等式遇到困难时 可考虑 换元 常见的换元有 三角换元 均值换 元 整体换元 放缩法 利用不等式的传递性 欲证 A B 若知 A C 只需证 C B 即可 应用此法时应注意放大 或缩小不等式的范围 用舍掉一些正 负 项而使不等式各项之和变小 大 或者分式放大或缩小分式的 分子 分母等方法而达到其目的 判别式法 有理分式函数去分母整理或关于 x 的二次方程 利用判别式求函数值域达到证明不等 式的目的 函数的单调性 利用二次函数 三角函数及其它函数单调性来证明不等式 3 本节学习要求 1 证明不等式 常常要利用到不等式的性质和一些已经证明过的常用不等式 2 本节中涉及数学思想方法较多 如反证法 换元法 判别式法 放缩放等 深刻理解不等式证明 的各种思想方法 灵活运用这些方法来证题 通过本节学习 培养学生逻辑推理能力以及具体问题具体分析的能力 使学生掌握比较 分析 综 合 反证法 换元等数学思想方法 重点难点解析重点难点解析 不等式的证明 由于题型多变 方式多样 技巧性强 加上无固定程序可循 因而常有一定的难度 解决这个困难的出路在于深刻理解不等式证明中应用的数学思想方法 熟练掌握不等式的性质和一些基 本不等式 灵活运用常用的证明方法 比较法 分析法 综合法 以及其它的证明方法 反证法 换元法 判别式法 放缩法 函数的单调性法 构造法等 例例 1 1 证明 分析一分析一 注意到题中 x2 5 x2 4 1 可将式子拆开 故 不能成立 故不能直接运用均值不等式 设 t 则 t 2 且 t 并设 f t t 则需研究函数在 t 2 的单调性 再利用函数的单调性来 进行证明 设 t1 t2 2 且 t1 t2 则 f t1 f t2 t1 t2 t1 t2 t1 t2 1 t1 t20 t1t2 0 f t1 0 联想到三角公式 1 ty2 sec2 可令 x2 4ty2 利用三角换元法可证 得 原式 cos2 cos2 3 当且仅当 cos2 即 cos 1 时取等号 注意注意 从式子 往后证时 易犯这样的错误 由 3 而得不到结论 错误原因还是在于应用均值定理时等号不能取到 例例 2 2 已知 a b c d R 求证 ac bd 分析一分析一 可用分析法证明 证法一 证法一 当 ac bd 0 时 命题显然成立 当 ac bd 0 时 要证原不等式成立 即证 ac bd 2 a2 b2 c2 d2 即证 2abcd b2c2 a2d2 即 bc ad 2 0 显然成立 所以 原不等式成立 分析二分析二 可用综合法证明 a2 b2 c2 d2 a2c2 a2d2 b2c2 b2d2 a2c2 2abcd b2d2 b2c2 2abcd a2d2 ac bd 2 bc ad 2 ac bd 2 ac bd ac bd 分析三分析三 可用比较法证明 a2 b2 c2 d2 ac bd 2 bc ad 2 0 a2 b2 c2 d2 ac bd 2 ac bd ac bd 分析四分析四 可用放缩法证明 为了避免讨论 由 ac bd ac bd 可以转化求证 ac bd 下同证法一 分析五分析五 可用换元法证明 设 r R 均为变量 则 ac bd rRcos rR 而 rR ac bd 分析六分析六 可用构造法证明 设 f x a2 b2 x2 2 ac bd x c2 d2 若 a2 b2 0 即 a b 0 原不等式显然成立 若 a2 b2 0 新证不等式转化为证 4 ac bd 2 4 c2 d2 a2 b2 0 即为该函数关于 x 的判别式 x 0 问题转化为证明该函数的函数值非负 f x a2x2 2acx c2 b2x2 2bdx d2 ax c 2 bx d 2 0 故 x 0 即 2 ac bd 2 4 a2 b2 c2 d2 0 原不等式成立 例例 3 3 实数 a b c d 满足 a b c d 1 且 ac bd 1 求证 a b c d 中至少有一个是负数 分析分析 本题自接证明结论很困难 所以可考虑用反证法 证法一 证法一 假设 a b c d 都是非负数 由 a b c d 1 知 a b c d 0 1 从而 ac bd ac bd 1 与已知 ac bd 1 矛盾 a b c d 至少有一个是负数 证法二 证法二 假设 a b c d 都是非负数 则 1 a b c d ac bd ab bc ac bd 这与已知 ac bd 1 矛盾 a b c d 中至少有一个负数 难题巧解点拨难题巧解点拨 例例 1 1 已知 a b R 且 a b 满足 a3 b3 a2 b2 求证 1 a b0 a b 1 又 ab a b 2 a b 2 a b 2 a b a b 由 可得 1 a b0 即 u 3u 4 0 0 u0 u 1 1 u 即 1 a bb c 图像上有两点 A m f m1 B m2 f m2 满足 f 1 0 且 a2 f m1 f m2 a f m1 f m2 0 1 求证 b 0 2 问 能否保证 f m1 3 和 f m2 3 中至少有一个正数 请证明你的结论 解 解 1 f m1 f m2 满足方程 a2 f m1 f m2 a f m1 f m2 0 即 a f m1 a f m2 0 f m1 a 或 f m2 a m1或 m2是方程 ax2 bx c a 的实根 x b2 4a c a 0 即 b2 4a a c 又 f 1 0 a b c 0 且 a b c a 0 c0 c0 b 0 2 f 1 0 f x 0 的两根为 x1 1 x2 x1x2 由已知 f m1 a 或 f m2 a 不妨设 f m1 a f x a x x1 x x2 a x 1 x a m1 1 m1 a 0 即 f m1 b c a 0 c 0 0 由 式可得 m1b c a a c c 2 3 1 又 f x 在 1 上是增函数 f m1 3 f 1 0 同理 当 f m2 a 时 则有 f m2 3 0 故 f m1 3 或 f m2 3 中至少有一个正数 注意 注意 本题将函数的性质 方程的根与不等式结合起来 注重综合应用知识的能力 命题趋势分析命题趋势分析 1 利用不等式的性质 均值定理 作差和作商比较法 分析法等可比较两个数的大小 2 利用均值定理 换元法 判别式法等数学思想方法可求函数的值域及最值问题 3 利用不等式的各种证明方法证各类不等式 4 不等式证明中与函数 三角等的综合应用 典型热点考题典型热点考题 例例 1 1 设 0 x 1 则 a x b 1 x c 中 最大的一个是 A aB bC cD 不能确定 解 解 b c 1 x 0 bx a 故 答案选 C 例例 2 设 a b c 求证 a 2b c 证明 a 2b c 2a a b 2b b c 2 2 由 a b c 知 0 a 2b c 例例 3 3 已知 f x ax2 bx c a 0 当 k z u v R 时 设 A sin2 f u cos2 f v B f sin2 u cos2 v 试比较 A 和 B 的大小 解 解 A B sin2 f u cos2 f v f sin2 u cos2 v sin2 au2 bu c cos2 av2 bv c a sin2 u cos2 v 2 b sin2 u cos2 v c asin2 u2 bsin2 u csin2 acos2 v2 bcos2 v cos2 c asin4 u2 2asin2 cos2 uv acos4 v2 bsin2 u bcos2 v c asin2 1 sin2 u2 c sin2 cos2 acos2 1 cos2 v2 2asin2 cos2 uv c asin2 cos2 u v 2 当 u v 时 A B 0 得 A B 当 u v 时 若 a 0 A B 0 得 A B a 0 A B 0 得 A B 例例 4 设 n N 求证 1 2 证明 对 k N 2 k n 有 所以 1 1 1 1 2 故 D 0 3 若实数 ab 满足 0 a0 且 a 1 M loga N loga则 M 与 N 的大小关系是 A MND 不确定随 a 的变化而变化 二 填空题二 填空题 6 已知 x2 y2 4 则 2x 3y 的取值范围为 7 若不等式 2 成立 则 a 与 b 满足的条件是 8 b 克糖水中有 a 克糖 b a 0 若再添上 m 克糖 m 0 则糖水就变甜了 试根据事实提炼一个不等 式 三 解答题三 解答题 9 已知 a b 0 求证 2x x R a5 b5 a3b2 a2b3 a b R a2 b2 2 a b 1 其中正确的个数是 A 0B 1C 2D 3 2 设 x y R 且 xy x y 1 则 A x y 2 1 B xy 1 C x y 1 2D xy 2 1 3 设 M a 2 aNB M NC M0 且 p q 方案 先降息 q 后降息 p 方案 先降息 后降息 方案 一次降息 p q 在上述四种方案中 降息最少的是 A 方案 B 方案 C 方案 D 方案 二 填空题二 填空题 6 实数 x y 则 x 的取值范围是 7 若 a b c 1 p 2 3 则 p 与 中的较小者是 8 若 a b c 则不等式 成立的最大的 k 值为 三 解答题三 解答题 9 已知 a 0 b 0 c 0 求证 10 证明 1 n 2 素质优化训练素质优化训练 一 选择题一 选择题 1 若 x 0 f x 则 A f x 10B f x 2C f x 8D f x 6 2 设 a b c R P a b c Q b c a R c a b 则 PQR 0 是 P Q R 同时大于零的 A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充分且必要条件 D 即不充分也不必要 3 已知 a b R 则下列各式中成立的是 A cos2 lga sin2 lgblg a b C a b a bD a b a b 4 设 a1 a2 a3 a2000 a2001 且 m n 则 m 与 n 的大小关系是 A mnC m nD m n 5 连结直角三角形的直角顶点与斜边的两个三等分点所得的两条线段长分别为 sin 和 cos 0 b c 且 a b c 0 1 求证 此函数的图像与 x 轴交于相异的两个点 2 设函数图像截 x 轴所得线段的长为 l 求证 l 2 补充题 补充题 1 设 m2 n2 a x2 y2 b 其中 a b 是不相等的正整数 则 mx ny 的最大值是 A B C D 2 已知 0 a b0 且 a b 8 9 证明 a b 0 2 2 4a 2 4a0 8a 0 0 即 原不等式成立 10 证明 假设 三个式子同时大于 即 1 a b 1 b c 1 c a 三式相乘得 1 a a 1 b b 1 c c 又因为 0 a 1 0 a 1 a 2 同理 0 b 1 b 0 又 将上述各式两边分别相加得 1 1 素质优化训练素质优化训练 1 D 2 C 3 A 4 C 5 D 6 7 8 9 证明 设 y 则 ay 1 x2 2yx ay 1 0 若 y 由 x R 得 0 即 4y2 4 ay 1 2 0 1 a y 1 1 a y 1 0 因 a 1 1 所以 1 a 0 1 a 0 且 所以 y 或 y 若 y 由 原命题也正确 综上所述 原命题 成立 10 证明 1 令 ax2 2bx c 0 则 4b2 4ac 由 a b c 0 且 a b c a 0 c 0 ac0 即函数的图像与 x 轴交于相异的两点 2 设函数图像截 x 轴于 A B 两点 其坐标为 x1 x2 则 x1