【龙门亮剑】2011高三数学一轮课时提能精练：第二章 第四节 函数的奇偶性与周期性（全国版）

本栏目内容 学生用书中以活页形式单独装订成册 一 选择题 每小题 6 分 共 36 分 1 2010 珠海模拟 函数 y x2 x R 是 A 左减右增的偶函数 B 左增右减的偶函数 C 减函数 奇函数 D 增函数 奇函数 解析 y x2是开口向下的一条抛物线 y x2在 0 上为增函数 0 上为减函数 不妨设 y f x x2 则 f x x 2 x2 f x f x 为偶函数 答案 B 2 下列函数中 在其定义域内既是奇函数又是减函数的是 A y x3 x R B y sin x x R C y x x R D y x x R 1 2 解析 y x为非奇非偶函数 排除 D 1 2 又 y sin x x R 在定义域内既有增区间也有减区间 y x x R 在定义域内为增函数 排除 B C 答案 A 3 2008 年福建高考 函数 f x x3 sin x 1 x R 若 f a 2 则 f a 的值为 A 3 B 0 C 1 D 2 解析 由 f a 2 得 a3 sin a 1 2 a3 sin a 1 又 f a a 3 sin a 1 a3 sin a 1 1 1 0 答案 B 4 2008 年湖北高考 已知 f x 在 R 上是奇函数 且满足 f x 4 f x 当 x 0 2 时 f x 2x2 则 f 7 A 2 B 2 C 98 D 98 解析 f 7 f 4 3 f 3 f 4 1 f 1 f 1 2 12 2 答案 A 5 2010 年盐城模拟 已知函数 f x 是定义在 R 上的奇函数 当 x 0 时 f x 1 2 x 则不等式 f x 的解集是 1 2 A 1 B 1 C 1 D 1 解析 当 x 0 时 1 2 x 1 0 与题意不符 1 2x 当 x 0 时 x 0 f x 1 2x 又 f x 为 R 上的奇函数 f x f x f x 1 2x f x 2x 1 f x 2x 1 2x 1 2 1 2 x 1 不等式 f x 的解集是 1 1 2 答案 A 6 2010 年山东临沂 已知 f x 是定义在 R 上的函数 对任意的 x R 都有 f x 16 f x f 8 成立 若函数 f x 1 的图象关于直线 x 1 对称 则 f 2 008 等于 A 2 008 B 1 008 C 0 D 不确定 解析 由 f x 16 f x f 8 可得 f 2 008 126f 8 又因为函数 f x 1 的图象关于直线 x 1 对称 所以 f x 关于 y 轴对 称 即函数 f x 为偶函数 当 x 8 f 8 f 8 f 8 即 f 8 0 f 8 0 f 2 008 0 答案 C 二 填空题 每小题 6 分 共 18 分 7 设 f x 是定义在 R 上的奇函数 且当 x 0 时 f x 2x 3 则 f 2 解析 依题意有 f 2 f 2 22 3 1 答案 1 8 已知函数 f x 是定义在 R 上的偶函数 且满足 f x 1 f x 3 当 x 0 1 时 f x 2 x 则 f 2 009 9 解析 f x 是定义在 R 上的偶函数且 f x 1 f x 3 f x 1 f x 3 即 f x 1 f x 3 由 得 f x 1 f x 1 f x 的周期 T 2 f 2 009 9 f 2 010 0 1 f 0 1 2 0 1 1 9 答案 1 9 9 定义在 R 上的偶函数 f x 满足 f x 1 f x 且在 1 0 上是增函数 给出下列关 于 f x 的判断 f x 是周期函数 f x 关于直线 x 1 对称 f x 在 0 1 上是增函数 f x 在 1 2 上是减函数 f 2 f 0 其中正确的序号是 解析 f x 1 f x f x f x 1 f x 1 1 f x 2 f x 是周期为 2 的函数 正确 又 f x 2 f x f x y f x 的图象关于 x 1 对称 正确 又 f x 为偶函数且在 1 0 上是增函数 f x 在 0 1 上是减函数 又 对称轴为 x 1 f x 在 1 2 上为增函数 f 2 f 0 故 错误 正确 答案 三 解答题 10 11 每题 15 分 12 题 16 分 共 46 分 10 已知函数 f x a b c Z 是奇函数 又 f 1 2 f 2 3 求 a b c 的 ax2 1 bx c 值 解析 由 f x f x 得 bx c bx c c 0 由 f 1 2 得 a 1 2b 由 f 2 3 得 3 4a 1 2b 由 得 3 4a 1 a 1 解得 1 a 2 又 a Z a 0 或 a 1 若 a 0 则 b 与 b Z 矛盾 1 2 若 a 1 则 b 1 a 1 b 1 c 0 11 已知函数 f x 对一切 x y R 都有 f x y f x f y 1 试判断 f x 的奇偶性 2 若 f 3 a 用 a 表示 f 12 解析 1 显然 f x 的定义域是 R 关于原点对称 又 函数 f x 对一切 x y R 都有 f x y f x f y 令 x y 0 得 f 0 2f 0 f 0 0 再令 y x 得 f 0 f x f x f x f x f x 为奇函数 2 f 3 a 且 f x 为奇函数 f 3 f 3 a 又 f x y f x f y x y R f 12 f 6 6 f 6 f 6 2f 6 2f 3 3 4f 3 4a 12 已知函数 f x x2 x 0 常数 a R a x 1 讨论函数 f x 的奇偶性 并说明理由 2 若函数 f x 在 2 上为增函数 求实数 a 的取值范围 解析 1 当 a 0 时 f x x2对任意 x 0 0 有 f x x 2 x2 f x f x 为偶函数 当 a 0 时 f x x2 x 0 常数 a R a x 取 x 1 得 f 1 f 1 2 0 f 1 f 1 2a 0 f 1 f 1 f 1 f 1 函数 f x 既不是奇函数也不是偶函数 2 设 2 x1 x2 f x1 f x2 x x 2 1 a x12 2 a x2