平面向量基本定理

1 平面向量基本定理编辑编辑 几何表示 数学人教版必修 4 2 2 向量的分解与向量的坐标关系 中文名中文名 向量的分解与向量的坐标关系 外文名外文名 Resolution of vector and vector coordinate 别别 称称 向量关系 提出者提出者 王威森 提出时间提出时间 2014 7 25 应用学科应用学科 数学 适用领域范围适用领域范围 向量 适用领域范围适用领域范围 向量 目录 1 实质作用 2 坐标表示 3 共面向量 4 正误判断 例题选讲 归纳反思 2 课内练习 1实质作用编辑 这项定理其实说明了平面向量可以沿任意指定的两方向分解 同时也说明了由任意两 向量可以合成指定向量 即向量的合成与分解 当两个方向相互垂直时 其实就是把他们 在直角坐标系中分解 此时 x y 就称为此向量的坐标 此向量的起点为原点 所以此 定理为向量的坐标表示提供了理论依据 2坐标表示编辑 在平面直角坐标系中 分别取与 x 轴 y 轴方向相同的两个单位向量 i j 作为基底 a 为坐标平面内的任意向量 以坐标原点 O 为起点作向量 OP a 有平面向量基本定理可 知 有且只有一对实数 x y 使得 向量 OP xi yj 因此向量 a xi yj 我们把实数 x y 对叫做向量的坐标向量的坐标 记作 a x y 显然 其中 x y 就是点 P 的坐标 向量 OP 称为点 P 的位置向量位置向量 3共面向量编辑 共面向量基本定理 如果两个向量 a b 不共线 那么向量 p 与向量 a b 共面的充要 条件是 存在唯一实数对 x y 使 p xa yb 4正误判断编辑 1 若 a 0 则对任 a b 0 错 当 a b 时 a b 0 3 若 a 0 a b 0 则 b 0 错 当 a 和 b 都不为零 且 a b 时 a b 0 4 若 a b 0 则 a b 中至少有一个为 0 错 可以都不为 0 当 a b 时 a b 0 成立 3 5 若 a 0 a b b c 则 a c 错 当 b 0 时 6 若 a b a c 则 b c 当且仅当 a 0 时成立 错 a 0 且同时垂直于 b c 时也成 立 7 对任意向量 a 有 a a a a 平面向量的线性运算 加法为三角形法则 平行四边形法则 定理 向量 a 与 b 共线 a 不等于零 有且只有唯一一个实数 c 使 b ca 平面向量基本定理 学习目标 1 掌握平面向量的基本定理 能用两个不共线向量表示一个向量 或一个向量分解 为两个向量 2 能应用平面向量基本定理解决一些几何问题 知识梳理 若 是不共线向量 是平面内任一向量 在平面内取一点 O 作 使 1 2 1 2 得平面向量基本定理 注意 1 必须不共线 且它是这一平面内所有向量的一组基底 2 这个定理也叫共面向量定理 3 1 2 是被 唯一确定的实数 例题选讲 1 如图 ABCD 是平行四边形 对角线 AC BD 交于 M 试用基底 表示 2 设 是平面内一组基底 如果 3 2 4 8 9 求证 A B D 三点 共线 3 设是平面内一组基底 如果 2 k 3 2 若 A B D 三点共线 求 实数 k 的值 4 4 中 DE BC 与边 AC 相交于点 E 中线 AM 与 DE 交于点 N 如图 试用 表示 归纳反思 1 平面向量基本定理是平面向量坐标表示的基础 它说明同一平面内的任一向量都 可以表示为其他两个不共线向量的线性组合 2 在解具体问题时适当地选取基底 使其它向量能够用基底来表示 选择了两个不 共线地向量 平面内的任何一个向量都可以用 唯一表示 这样几何问题就可以转化为代 数问题 转化为只含 的代数运算 课内练习 1 下面三种说法 正确的是 1 一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面所有向量的基底 2 一个平面内有无数对不共线的向量可作为表示该平面所有向量的基底 3 零向量不可为基底中的向量 2 如果 是平面 内一组基底 那么下列命题中正确的是 1 若实数 m n 使 m n 则 m n 0 2 空间任一向量 可以表示为 m n 这里 m n 是实数 3 对实数 m n 向量 m n 不一定在平面 4 对平面 内的任一向量 使 m n 的实数 m n 有无数组 3 若 G 是 的重心