【数学】2011年新版3年高考2年模拟：第4章三角函数

第四章三角函数 第一部分第一部分 三年高考荟萃三年高考荟萃 20112011 年高考题年高考题 一 选择题 1 重庆理 6 若 ABC 的内角 A B C 所对的边 a b c 满足 22 ab4c 且 C 60 则 ab 的值为 A 4 3 B 8 4 3 C 1 D 2 3 答案 A 2 浙江理 6 若 0 2 0 2 1 cos 43 3 cos 423 则 cos 2 A 3 3 B 3 3 C 5 3 9 D 6 9 答案 C 3 天津理 6 如图 在 ABC中 D是边AC上的点 且 23 2ABCDABBD BCBD 则sinC的值为 A 3 3 B 3 6 C 6 3 D 6 6 答案 D 4 四川理 6 在 ABC 中 222 sinsinsinsinsinABCBC 则 A 的取值范围是 A 0 6 B 6 C 0 3 D 3 答案 C 解析 由题意正弦定理 222 222222 1 1cos0 23 bca abcbcbcabcAA bc 5 山东理 6 若函数 sinf xx 0 在区间 0 3 上单调递增 在区间 3 2 上单 调递减 则 A 3 B 2 C 3 2 D 2 3 答案 C 6 山东理 9 函数 2sin 2 x yx 的图象大致是 答案 C 7 全国新课标理 5 已知角 的顶点与原点重合 始边与 x 轴的正半轴重合 终边在直线 2yx 上 则cos2 A 4 5 B 3 5 C 3 5 D 4 5 答案 B 8 全国大纲理 5 设函数 cos 0 f xx 将 yf x 的图像向右平移3 个单位长 度后 所得的图像与原图像重合 则 的最小值等于 A 1 3 B 3 C 6 D 9 答案 C 9 湖北理 3 已知函数 3sincos f xxx xR 若 1f x 则 x 的取值范围为 A 3 x kxkkZ B 22 3 xkxkkZ C 5 66 x kxkkZ D 5 22 66 xkxkkZ 答案 B 10 辽宁理 4 ABC 的三个内角 A B C 所对的边分别为 a b c asinAsinB bcos2A a2 则 a b A 2 3 B 2 2 C 3 D 2 答案 D 11 辽宁理 7 设 sin 1 43 则sin2 A 7 9 B 1 9 C 1 9 D 7 9 答案 A 12 福建理 3 若 tan 3 则 2 sin2 cos a 的值等于 A 2 B 3 C 4 D 6 答案 D 13 全国新课标理 11 设函数 sin cos f xxx 0 2 的最小正 周期为 且 fxf x 则 A yf x 在 0 2 单调递减 B yf x 在 3 44 单调递减 C yf x 在 0 2 单调递增 D yf x 在 3 44 单调递增 答案 A 14 安徽理 9 已知函数 sin 2 f xx 其中 为实数 若 6 f xf 对x R 恒 成立 且 2 ff 则 f x 的单调递增区间是 A 36 kkkZ B 2 kkkZ C 2 63 kkkZ D 2 kkkZ 答案 C 二 填空题 15 上海理 6 在相距 2 千米的A B两点处测量目标C 若 00 75 60CABCBA 则A C两点之间的距离是 千米 答案 6 16 上海理 8 函数 sin cos 26 yxx 的最大值为 答案 23 4 17 辽宁理 16 已知函数 xf Atan x 2 0 y xf 的部分图像如下图 则 24 f 答案 3 18 全国新课标理 16 ABC 中 60 3 BAC 则 AB 2BC 的最大值为 答案 2 7 19 重庆理 14 已知 1 sincos 2 且 0 2 则 cos2 sin 4 的值为 答案 14 2 20 福建理 14 如图 ABC 中 AB AC 2 BC 2 3 点 D 在 BC 边上 ADC 45 则 AD 的长度等于 2 答案 21 北京理 9 在 ABC 中 若 b 5 4 B tanA 2 则 sinA a 答案 102 5 52 22 全国大纲理 14 已知 a 2 sin 5 5 则 tan2 答案 4 3 23 安徽理 14 已知 ABC 的一个内角为 120o 并且三边长构成公差为 4 的 等差数列 则 ABC 的面积为 答案 315 24 江苏 7 已知 2 4 tan x 则 x x 2tan tan 的值为 答案 9 4 三 解答题 25 江苏 9 函数 sin wAwxAxf 是常数 0 0 wA 的部分图象如图所 示 则 f 0 答案 2 6 26 北京理 15 已知函数 4cos sin 1 6 f xxx 求 f x 的最小正周期 求 f x 在区间 6 4 上的最大值和最小值 解 因为 1 6 sin cos4 xxxf 1 cos 2 1 sin 2 3 cos4 xxx 1cos22sin3 2 xx xx2cos2sin3 6 2sin 2 x 所以 xf 的最小正周期为 因为 3 2 6 2 6 46 xx所以 于是 当 6 26 2 xx即 时 xf 取得最大值 2 当 6 66 2xfxx时即 取得最小值 1 27 江苏 15 在 ABC 中 角 A B C 所对应的边为 cba 1 若 cos2 6 sin AA 求 A 的值 2 若 cbA3 3 1 cos 求 Csin 的值 本题主要考查三角函数的基本关系式 两角和的正弦公式 解三角形 考查运算求解能 力 解 1 由题设知 0cos cos3sin cos2 6 sincos 6 cossin AAAAAA所以从而 3 0 3tan AaA所以因为 2 由 cos23 3 1 cos 222222 cbaAbccbacbA 得及 故 ABC 是直角三角形 且 3 1 cossin 2 ACB所以 28 安徽理 18 在数 1 和 100 之间插入n个实数 使得这 2n 个数构成递增的等比数列 将这 2n 个数 的乘积记作 n T 再令 lg nn aT 1n 求数列 n a 的通项公式 设 1 tantan nnn baa A 求数列 n b 的前n项和 n S 本题考查等比和等差数列 指数和对数的运算 两角差的正切公式等基本知识 考查 灵活运用知识解决问题的能力 综合运算能力和创新思维能力 解 I 设 221 n lll 构成等比数列 其中 100 1 21 n tt 则 2121 nnn ttttT 1221 ttttT nnn 并利用 得 21 102 2131 nitttt nin 1 2lg 10 2 2 12211221 2 nnTattttttttT nn n nnnnn II 由题意和 I 中计算结果 知 1 3tan 2tan nnnbn 另一方面 利用 tan 1tan 1 tan 1tan 1tan 1tan kk kk kk 得 1 1tan tan 1tan tan 1tan kk kk 所以 2 31 tan 1tan n k n k kn kkbS 1tan 3tan 3tan 1 1tan tan 1tan 2 3 n n kk n k 29 福建理 16 已知等比数列 an 的公比 q 3 前 3 项和 S3 13 3 I 求数列 an 的通项公式 II 若函数 sin 2 0 0 f xAxAp 在 6 x 处取得最大值 且最大值 为 a3 求函数 f x 的解析式 本小题主要考查等比数列 三角函数等基础知识 考查运算求解能力 考查函数与方程思想 满分 13 分 解 I 由 3 1 3 1 3 1313 3 31 33 a qS 得 解得 1 1 3 a 所以 12 1 33 3 nn n a II 由 I 可知 2 3 3 3 n n aa 所以 因为函数 f x 的最大值为 3 所以 A 3 因为当 6 x 时 f x 取得最大值 所以 sin 2 1 6 又 0 6 故 所以函数 f x 的解析式为 3sin 2 6 f xx 30 广东理 16 已知函数 1 2sin 36 f xxxR 1 求 5 4 f 的值 2 设 106 0 3 32 22135 faf 求cos 的值 解 1 515 2sin 4346 f 2sin2 4 2 101 32sin32sin 132326 f 61 32 2sin 32 2sin2cos 5362 f 53 sin cos 135 2 2 512 cos1sin1 1313 2 2 34 sin1cos1 55 故 3125456 cos coscossinsin 51313565 31 湖北理 16 设 ABC 的内角 A B C 所对的边分别为 a b c 已知 1 1 2 cos 4 abC 求 ABC 的周长 求 cos AC 的值 本小题主要考查三角函数的基本公式和解斜三角形的基础知识 同时考查基本运算能力 满分 10 分 解 222 1 2cos1444 4 cababC 2 c ABC 的周长为 1225 abc 22 1115 cos sin1cos1 444 CCC 15 sin15 4 sin 28 aC A c acAC 故 A 为锐角 22 157 cos1sin1 88 AA 71151511 cos coscossinsin 848816 ACACAC 32 湖南理 17 在 ABC 中 角 A B C 所对的边分别为 a b c 且满足 csinA acosC 求角 C 的大小 求 3 sinA cos B 4 的最大值 并求取得最大值时角 A B 的大小 解析 I 由正弦定理得sin sinsincos CAAC 因为0 A 所以 sin0 sincos cos0 tan1 4 ACCCCC 从而又所以则 II 由 I 知 3 4 BA 于是 3sincos 3sincos 4 3sincos2sin 6 311 0 46612623 ABAA AAA AAAA 从而当即时 2sin 6 A 取最大值 2 综上所述 3sincos 4 AB 的最大值为 2 此时 5 312 AB 33 全国大纲理 17 ABC 的内角 A B C 的对边分别为 a b c 己知 A C 90 a c 2b 求 C 解 由 2acb 及正弦定理可得 sinsin2sin ACB 3 分 又由于 90 180 ACBAC 故 cossin2sin CCAC 2sin 902 C 2cos2 C 7 分 22 cossincos2 22 CCC cos 45 cos2 CC 因为0 90C 所以2 45 CC 15C 34 山东理 17 在 ABC 中 内角 A B C 的对边分别为 a b c 已知 cosA 2cosC2c a cosBb I 求 sin sin C A的值 II 若 cosB 1 4 b 2 ABC 的面积 S 解 I 由正弦定理 设 sinsinsin abc k ABC 则 22 sinsin2sinsin sinsin cakCkACA bkBB 所以 cos2cos2sinsin cossin ACCA BB 即 cos 2cos sin 2sinsin cosACBCAB 化简可得sin 2sin ABBC 又A BC 所以sin 2sinCA 因此 sin 2 sin C A II 由 sin 2 sin C A 得 2 ca 由余弦定理 222 222 1 2coscos 2 4 1 44 4 bacacBBb aa 及 得4 a 解得 a 1 因此 c 2 又因为 1 cos 4 BGB 且 所以 15 sin 4 B 因此 111515 sin1 2 2244 SacB 35 陕西理 18 叙述并证明余弦定理 解 余弦定理 三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与他们夹角的余弦 之积的两倍 或 在 ABC 中 a b c 为 A B C 的对边 有 222 2cosabcbcA 222 2cosbacacB 222 2coscababC 证法一 如图 2 aBCBC ACABACAB 22 2ACACABAB 22 2cosbbcAc 22 2ACACAB COSAAB 即 222 2cosabcbcA 同理可证 222 2cosbacacB 222 2coscababC 证法二 已知 ABC 中 A B C 所对边分别为 a b c 以 A 为原点 AB 所在直线为 x 轴 建立直角 坐标系 则 cos sin 0 C bA bA B c 2222 cos sin aBCbAcbA 22222 cos2cossinbAbcAcbA 222 2cosbacacB 同理可证 222 222 2cos 2cos bcacaB cababC 36 四川理 17 已知函数 73 sin cos 44 f xxxxR 1 求 f x 的最小正周期和最小值 2 已知 44 cos cos 0 552 a 求证 2 20f 解析 7733 sin coscos sincos cossin sin 4444 2sin2cos 2sin 4 f xxxxx xx x max 2 2Tf x 2 4 cos coscossinsin 1 5 4 cos coscossinsin 2 5 coscos0 0cos0 22 2 2 20ff 37 天津理 15 已知函数 tan 2 4 f xx 求 f x 的定义域与最小正周期 II 设 0 4 若 2cos2 2 f 求 的大小 本小题主要考查两角和的正弦 余弦 正切公式 同角三角函数的基本关系 二倍角的正弦 余弦公式 正切函数的性质等基础知识 考查基本运算能力 满分 13 分 I 解 由 2 42 xkkZ 得 82 k xkZ 所以 f x 的定义域为 82 k xR xkZ f x 的最小正周期为 2 II 解 由 2cos2 2 a fa 得 tan 2cos2 4 aa 22 sin 4 2 cossin cos 4 a aa a 整理得 sincos 2 cossin cossin cossin aa aaaa aa 因为 0 4 a 所以sin cos0 aa 因此 2 11 cossin sin2 22 aaa 即 由 0 4 a 得 2 0 2 a 所以 2 612 aa 即 38 浙江理 18 在 ABC 中 角 ABC所对的边分别为 a b c 已知 sinsinsin ACpB pR 且 2 1 4 acb 当 5 1 4 pb 时 求 a c 的值 若角B为锐角 求 p 的取值范围 本题主要考查三角变换 正弦定理 余弦定理等基础知识 同时考查运算求解能力 满分 14 分 I 解 由题设并利用正弦定理 得 5 4 1 4 ac ac 解得 1 1 41 1 4 a a c c 或 II 解 由余弦定理 222 2cosbacacB 2 2222 2 22cos 11 cos 22 31 cos 22 acacacB p bbbB pB 即 因为 2 3 0cos1 2 2 Bp 得 由题设知 6 0 2 2 pp 所以 39 重庆理 16 设a R 2 cossincoscos 2 f xx axxx 满足 0 3 ff 求函数 f x 在 11 424 上的最大值和最小值 解 22 sin coscossinf xaxxxx sin2cos2 2 a xx 由 31 0 1 2 3 3222 a ffa 得解得 因此 3sin2cos22sin 2 6 f xxxx 当 2 4 363 2 xxf x 时 为增函数 当 113 2 324624 xxf x 时 为减函数 所以 11 2 443 f xf 在上的最大值为 又因为 11 3 2 424 ff 故 11 424 f x 在 上的最小值为 11 2 24 f 20102010 年高考题年高考题 一 选择题 1 1 20102010 浙江理 浙江理 9 设函数 4sin 21 f xxx 则在下列区间中函数 f x不存在零 点的是 A 4 2 B 2 0 C 0 2 D 2 4 答案 A 解析 将 xf的零点转化为函数 xxhxxg 与12sin4的交点 数形结合可知答案 选 A 本题主要考察了三角函数图像的平移和函数与方程的相关知识点 突出了对转化思想 和数形结合思想的考察 对能力要求较高 属较难题 2 2 20102010 浙江理 浙江理 4 设0 2 x 则 2 sin1xx 是 sin1xx 的 A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 答案 B 解析 因为 0 x 2 所以 sinx 1 故 xsin2x xsinx 结合 xsin2x 与 xsinx 的取值范围 相同 可知答案选 B 本题主要考察了必要条件 充分条件与充要条件的意义 以及转化思 想和处理不等关系的能力 属中档题 3 3 20102010 全国卷全国卷 2 2 文 文 3 已知 2 sin 3 则cos 2 x A 5 3 B 1 9 C 1 9 D 5 3 解析解析 B B 本题考查了二倍角公式及诱导公式 本题考查了二倍角公式及诱导公式 SINA 2 3SINA 2 3 2 1 cos 2 cos2 1 2sin 9 4 4 20102010 福建文 福建文 计算1 2sin22 5 的结果等于 A 1 2 B 2 2 C 3 3 D 3 2 答案 B 解析 原式 2 cos45 2 故选 B 命题意图 本题三角变换中的二倍角公式 考查特殊角的三角函数值 5 5 20102010 全国卷全国卷 1 1 文 文 1 cos300 A 3 2 B 1 2 C 1 2 D 3 2 答案 C 命题意图 本小题主要考查诱导公式 特殊三角函数值等三角函数知识 解析 1 cos300cos 36060cos60 2 6 6 20102010 全国卷全国卷 1 1 理 理 2 记cos 80 k 那么tan100 A 2 1k k B 2 1k k C 2 1 k k D 2 1 k k 7 7 20102010 全国卷全国卷 2 2 理 理 7 为了得到函数sin 2 3 yx 的图像 只需把函数 sin 2 6 yx 的图像 A 向左平移 4 个长度单位 B 向右平移 4 个长度单位 C 向左平移 2 个长度单位 D 向右平移 2 个长度单位 答案 B 命题意图 本试题主要考查三角函数图像的平移 解析 sin 2 6 yx sin2 12 x sin 2 3 yx sin2 6 x 所以将 sin 2 6 yx 的图像向右平移 4 个长度单位得到sin 2 3 yx 的图像 故选 B 8 8 20102010 陕西文 陕西文 3 函数f x 2sinxcosx是 A 最小正周期为 2 的奇函数 B 最小正周期为 2 的偶函数 C 最小正周期为 的奇函数 D 最小正周期为 的偶函数 答案 C 解析 本题考查三角函数的性质 f x 2sinxcosx sin2x 周期为 的奇函数 9 9 20102010 辽宁文 辽宁文 6 设0 函数sin 2 3 yx 的图像向右平移 4 3 个单位后与 原图像重合 则 的最小值是 A 2 3 B 4 3 C 3 2 D 3 答案 C 解析 选 C 由已知 周期 243 32 T 10 2010 辽宁理 辽宁理 5 设 0 函数 y sin x 3 2 的图像向右平移 3 4 个单位后与原图像 重合 则 的最小值是 A 2 3 B 4 3 C 3 2 D 3 答案 C 命题立意 本题考查了三角函数图像的平移变换与三角函数的周期性 考查了同学们对知 识灵活掌握的程度 解析 将 y sin x 3 2 的图像向右平移 3 4 个单位后为 4 sin 2 33 yx 4 sin 2 33 x 所以有 4 3 2k 即 3 2 k 又 因为0 所以 k 1 故 3 2 k 3 2 所以选 C 11 2010 重庆文 6 下列函数中 周期为 且在 4 2 上为减函数的是 A sin 2 2 yx B cos 2 2 yx C sin 2 yx D cos 2 yx 答案 A 解析 C D 中函数周期为 2 所以错误 当 4 2 x 时 3 2 22 x 函数sin 2 2 yx 为减函数 而函数cos 2 2 yx 为增函数 所以选 A 12 2010 重庆理 重庆理 6 已知函数 sin 0 2 yx 的部分 图象如题 6 图所示 则 A 1 6 B 1 6 C 2 6 D 2 6 解析 2 T 由五点作图法知 23 2 6 13 2010 山东文 山东文 10 观察 2 2xx 4 3 4xx cos sinxx 由归纳推理可 得 若定义在R上的函数 f x 满足 fxf x 记 g x 为 f x 的导函数 则 gx A f x B f x C g x D g x 答案 D 14 2010 四川理 四川理 6 将函数sinyx 的图像上所有的点向右平行移动 10 个单位长度 再 把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍 纵坐标不变 所得图像的函数解析式是 A sin 2 10 yx B sin 2 5 yx C 1 sin 210 yx D 1 sin 220 yx 解析 将函数sinyx 的图像上所有的点向右平行移动 10 个单位长度 所得函数图象的解 析式为 y sin x 10 再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍 纵坐标不变 所得图像的函数解析式是 1 sin 210 yx 答案 C 15 15 20102010 天津文 天津文 5 yAsinxxR 66 右图是函数 在区间 上的图象 为了得到这个函 数的图象 只要将ysinxxR 的图象上所有的点 A 向左平移 3 个单位长度 再把所得各点的横坐标缩短 到原来的 1 2 倍 纵坐标不变 B 向左平移 3 个单位长度 再把所得各点的横坐标伸长 到原来的 2 倍 纵坐标不变 C 向左平移 6 个单位长度 再把所得各点的横坐标缩短到原来的 1 2 倍 纵坐标不变 D 向左平移 6 个单位长度 再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍 纵坐标不变 答案 A 解析 本题主要考查三角函数的图像与图像变换的基础知识 属于中等题 由图像可知函数的周期为 振幅为 1 所以函数的表达式可以是 y sin 2x 代入 6 0 可得 的一个值为 3 故图像中函数的一个表达式是 y sin 2x 3 即 y sin2 x 6 所以只需将 y sinx x R 的图像上所有的点向左平移 6 个单位长度 再把所得各点的横坐 标缩短到原来的 1 2 倍 纵坐标不变 温馨提示 根据图像求函数的表达式时 一般先求周期 振幅 最后求 三角函数图像 进行平移变换时注意提取 x 的系数 进行周期变换时 需要将 x 的系数变为原来的 1 16 16 20102010 福建文 福建文 17 2010 四川文 四川文 7 将函数sinyx 的图像上所有的点向右平行移动 10 个单位长度 再 把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍 纵坐标不变 所得图像的函数解析式是 A sin 2 10 yx B y sin 2 5 x C y 1 sin 210 x D 1 sin 220 yx 答案 C 解析 将函数sinyx 的图像上所有的点向右平行移动 10 个单位长度 所得函数图象的解 析式为 y sin x 10 再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍 纵坐标不变 所得图 像的函数解析式是 1 sin 210 yx 18 2010 湖北文 湖北文 2 函数 f x 3sin 24 x xR 的最小正周期为 A 2 B xC 2 D 4 答案 D 解析 由 T 2 1 2 4 故 D 正确 19 19 20102010 福建理 福建理 1 cos13 计算si n43cos43 si n13的值等于 A 1 2 B 3 3 C 2 2 D 3 2 答案 A 解析 原式 1 sin 43 13 sin30 2 故选 A 命题意图 本题考查三角函数中两角差的正弦公式以及特殊角的三角函数 考查基础 知识 属保分题 二 填空题二 填空题 20 20 20102010 全国卷全国卷 2 2 理 理 13 已知a是第二象限的角 4 tan 2 3 a 则tana 答案 1 2 命题意图 本试题主要考查三角函数的诱导公式 正切的二倍角公式和解方程 考查考生 的计算能力 解析 由 4 tan 2 3 a 得 4 tan2 3 a 又 2 2tan4 tan2 1tan3 a 解得 1 tantan2 2 或 又a是第二象限的角 所以 1 tan 2 21 2010 全国卷全国卷 2 文 文 13 已知 是第二象限的角 tan 1 2 则 cos 解析 2 5 5 本题考查了同角三角函数的基础知识 1 tan 2 2 5 cos 5 22 22 20102010 全国卷全国卷 1 1 文 文 14 已知 为第二象限的角 3 sin 5 a 则 tan2 答案 24 7 命题意图 本小题主要考查三角函数值符号的判断 同角三角函数关系 和角的正切公式 同时考查了基本运算能力及等价变换的解题技能 解析 因为 为第二象限的角 又 3 sin 5 所以 4 cos 5 sin3 tan cos4 所 2 2tan24 tan 2 1tan7 23 23 20102010 全国卷全国卷 1 1 理 理 14 已知 为第三象限的角 3 cos2 5 则 tan 2 4 24 24 20102010 浙江理 浙江理 11 函数 2 sin 2 2 2sin 4 f xxx 的最小正周期是 解析 2 4 2sin 2 2 xxf故最小正周期为 本题主要考察了三角恒等变换及 相关公式 属中档题 25 25 20102010 浙江文 浙江文 12 函数 2 sin 2 4 f xx 的最小正周期是 答案 2 26 26 20102010 福建文 福建文 16 16 观察下列等式 cos2a 2 2 cos a 1 cos4a 8 4 cos a 8 2 cos a 1 cos6a 32 6 cos a 48 4 cos a 18 2 cos a 1 cos8a 128 8 cos a 256 6 cos a 160 4 cos a 32 2 cos a 1 cos10a m 10 cos a 1280 8 cos a 1120 6 cos a n 4 cos a p 2 cos a 1 可以推测 m n p 答案 962 解析 因为 1 22 3 82 5 322 7 1282 所以 9 2512m 观察可得400n 50p 所以 m n p 962 命题意图 本小题考查三角变换 类比推理等基础知识 考查同学们的推理能力等 27 27 20102010 山东理 山东理 28 28 20102010 福建理 福建理 14 已知函数f x 3sin x 0 6 和g x 2cos 2x 1 的图象 的对称轴完全相同 若x 0 2 则f x 的取值范围是 答案 3 3 2 解析 由题意知 2 因为x 0 2 所以 5 2x 666 由三角函数图象知 f x 的最小值为 3 3sin 62 最大值为3sin 3 2 所以f x 的取值范围是 3 3 2 29 29 20102010 江苏卷 江苏卷 10 定义在区间 2 0 上的函数 y 6cosx 的图像与 y 5tanx 的图像的交 点为 P 过点 P 作 PP1 x 轴于点 P1 直线 PP1与 y sinx 的图像交于点 P2 则线段 P1P2的长为 解析 考查三角函数的图象 数形结合思想 线段 P1P2的长即为 sinx 的值 且其中的 x 满足 6cosx 5tanx 解得 sinx 2 3 线段 P1P2的长为 2 3 三 解答题三 解答题 30 30 20102010 上海文 上海文 19 19 本题满分 本题满分 1212 分 分 已知0 2 x 化简 2 lg costan1 2sin lg 2cos lg 1 sin2 22 x xxxx 解析 原式 lg sinx cosx lg cosx sinx lg sinx cosx 2 0 31 31 20102010 全国卷全国卷 2 2 理 理 17 本小题满分 10 分 ABC 中 D为边BC上的一点 33BD 5 sin 13 B 3 cos 5 ADC 求AD 命题意图 本试题主要考查同角三角函数关系 两角和差公式和正弦定理在解三角形中的 应用 考查考生对基础知识 基本技能的掌握情况 参考答案 由 cos ADC 0 知 B 由已知得 cosB sin ADC 从而 sin BAD sin ADC B sin ADCcosB cos ADCsinB 由正弦定理得 所以 点评 三角函数与解三角形的综合性问题 是近几年高考的热点 在高考试题中频繁出现 这 类题型难度比较低 一般出现在 17 或 18 题 属于送分题 估计以后这类题型仍会保留 不 会有太大改变 解决此类问题 要根据已知条件 灵活运用正弦定理或余弦定理 求边角或 将边角互化 32 32 20102010 全国卷全国卷 2 2 文 文 17 本小题满分 10 分 ABCA中 D为边BC上的一点 33BD 5 sin 13 B 3 cos 5 ADC 求AD 解析 本题考查了同角三角函数的关系 正弦定理与余弦定理的基础知识 由 ADC 与 B 的差求出 BAD 根据同角关系及差角公式求出 BAD 的正弦 在三角形 ABD 中 由正弦定理可求得 AD 33 33 20102010 四川理 四川理 19 本小题满分 12 分 证明两角和的余弦公式C cos coscossinsin 1 由C 推导两角和的正弦公式S sin sincoscossin 2 已知 ABC的面积 1 3 2 SABAC 且 3 5 cosB 求cosC 本小题主要考察两角和的正 余弦公式 诱导公式 同角三角函数间的关系等基础知识及运 算能力 解 1 如图 在执教坐标系xOy内做单位圆O 并作出角 与 使角 的始边 为Ox 交 O于点P1 终边交 O于P2 角 的始边为OP2 终边交 O于P3 角 的始 边为OP1 终边交 O于P4 则P1 1 0 P2 cos sin P3 cos sin P4 cos sin 由P1P3 P2P4及两点间的距离公式 得 cos 1 2 sin2 cos cos 2 sin sin 2 展开并整理得 2 2cos 2 2 cos cos sin sin cos cos cos sin sin 4 分 由 易得cos 2 sin sin 2 cos sin cos 2 cos 2 cos 2 cos sin 2 sin sin cos cos sin 6 分 2 由题意 设 ABC的角B C的对边分别为b c 则S 1 2 bcsinA 1 2 ABAC bccosA 3 0 A 0 2 cosA 3sinA 又sin2A cos2A 1 sinA 10 10 cosA 3 10 10 由题意 cosB 3 5 得sinB 4 5 cos A B cosAcosB sinAsinB 10 10 故cosC cos A B cos A B 10 10 12 分 34 34 20102010 天津文 天津文 17 本小题满分 12 分 在 ABC 中 cos cos ACB ABC 证明 B C 若cos A 1 3 求 sin4B 3 的值 解析 本小题主要考查正弦定理 两角和与差的正弦 同角三角函数的基本关系 二倍角 的正弦与余弦等基础知识 考查基本运算能力 满分 12 分 证明 在 ABC 中 由正弦定理及已知得 sinB sinC cosB cosC 于是 sinBcosC cosBsinC 0 即 sin B C 0 因为BC 从而 B C 0 所以 B C 解 由 A B C 和 得 A 2B 故 cos2B cos 2B cosA 1 3 又 0 2B 于是 sin2B 2 1 cos 2B 2 2 3 从而 sin4B 2sin2Bcos2B 4 2 9 cos4B 22 7 cos 2sin 2 9 BB 所以 4 27 3 sin 4 sin4 coscos4 sin 33318 BBB 35 2010 山东理 山东理 36 36 20102010 湖北理 湖北理 16 本小题满分 12 分 已知函数 f x 11 cos cos sin2 3324 xx g xx 求函数 f x 的最小正周期 求函数 h x f x g x 的最大值 并求使 h x 取得最大值的 x 的集合 37 37 20102010 湖南文 湖南文 本小题满分 12 分 已知函数 2 sin22sinf xxx I 求函数 f x的最小正周期 II 求函数 f x的最大值及 f x取最大值时 x 的集合 38 38 20102010 浙江理 浙江理 本题满分 l4 分 在 ABC 中 角 A B C 所对的边分别为 a b c 已知 1 cos2 4 C I 求 sinC 的值 当 a 2 2sinA sinC 时 求 b 及 c 的长 解析 本题主要考察三角变换 正弦定理 余弦定理等基础知识 同事考查运算求解能力 解 因为 cos2C 1 2sin2C 1 4 及 0 C 所以 sinC 10 4 解 当 a 2 2sinA sinC 时 由正弦定理 ac sinAsinC 得 c 4 由 cos2C 2cos2C 1 1 4 J 及 0 C 得 cosC 6 4 由余弦定理 c2 a2 b2 2abcosC 得 b2 6b 12 0 解得 b 6或 26 所以 b 6 b 6 c 4 或 c 4 39 39 20102010 江西理 江西理 17 本小题满分 12 分 已知函数 2 1 cotsinsinsin 44 f xxxmxx 1 当 m 0 时 求 f x 在区间 3 84 上的取值范围 2 当tan 2a 时 3 5 f a 求 m 的值 解析 考查三角函数的化简 三角函数的图像和性质 已知三角函数值求值问题 依托三 角函数化简 考查函数值域 作为基本的知识交汇问题 考查基本三角函数变换 属于中等 题 解 1 当 m 0 时 22 cos1 cos2sin2 1 sinsinsin cos sin2 xxx f xxxxx x 1 2sin 2 1 24 x 由已知 3 84 x 得 2 2 1 42 x 从而得 f x的值域为 12 0 2 2 2 cos 1 sinsin sin sin44 x f xxmxx x 化简得 11 sin2 1 cos2 22 f xxmx 当tan2 得 222 2sincos2tan4 sin2 sincos1tan5 aaa a aaa 3 cos2 5 a 代入上式 m 2 40 40 20102010 浙江文 浙江文 18 本题满分 在 ABC 中 角 A B C 所对的边分别为 a b c 设 S 为 ABC 的面积 满足 222 3 4 Sabc 求角 C 的大小 求sinsinAB 的最大值 41 41 20102010 北京文 北京文 15 本小题共 13 分 已知函数 2 2cos2sinf xxx 求 3 f 的值 求 f x的最大值和最小值 解 2 2 2cossin 333 f 31 1 44 22 2 2cos1 1 cos f xxx 2 3cos1 xxR 因为 cos1 1x 所以 当cos1x 时 f x取最大值 2 当cos0 x 时 f x去最小值 1 42 42 20102010 北京理 北京理 15 本小题共 13 分 已知函数 x f 2 2cos2sin4cosxxx 求 3 f 的值 求 x f的最大值和最小值 解 I 2 239 2cossin4cos1 333344 f II 22 2 2cos1 1 cos 4cosf xxxx 2 3cos4cos1xx 2 27 3 cos 33 x xR 因为cosx 1 1 所以 当cos1x 时 f x取最大值 6 当 2 cos 3 x 时 f x取最小值 7 3 43 43 20102010 广东理 广东理 16 本小题满分 14 分 已知函数 sin 3 0 0f xAxAx 在 12 x 时取得最大值 4 1 求 f x的最小正周期 2 求 f x的解析式 3 若f 2 3 12 12 5 求 sin 3 sin 2 25 3 cos2 5 2 3 1 2sin 5 2 1 sin 5 5 sin 5 44 44 20102010 广东文 广东文 4545 20102010 湖北文 湖北文 16 本小题满分 12 分 已经函数 22 cossin11 sin2 224 xx f xg xx 函数 f x的图象可由函数 g x的图象经过怎样变化得出 求函数 h xf xg x 的最小值 并求使用 h x取得最小值的x的集合 46 46 20102010 湖南理 湖南理 16 本小题满分 12 分 已知函数 2 3sin22sinf xxx 求函数 f x的最大值 II 求函数 f x的零点的集合 20092009 年高考题年高考题 一 选择题 1 2009 海南宁夏理 5 有四个关于三角函数的命题 1 p x R 2 sin 2 x 2 cos 2 x 1 2 2 p x y R sin x y sinx siny 3 p x 0 1 cos2 2 x sinx 4 p sinx cosy x y 2 其中假命题的是 A 1 p 4 p B 2 p 4 p C 1 p 3 p D 2 p 4 p 答案 A 2 2009 辽宁理 8 已知函数 f x Acos x 的图象如图所示 2 23 f 则 0 f A 2 3 B 2 3 C 1 2 D 1 2 答案 C 3 2009 辽宁文 8 已知tan2 则 22 sinsincos2cos A 4 3 B 5 4 C 3 4 D 4 5 答案 D 4 2009 全国 I 文 1 sin585 的值为 A 2 2 B 2 2 C 3 2 D 3 2 答案 A 5 2009 全国 I 文 4 已知 tana 4 cot 1 3 则 tan a A 7 11 B 7 11 C 7 13 D 7 13 答案 B 6 2009 全国 II 文 4 已知ABC 中 12 cot 5 A 则cos A A 12 13 B 5 13 C 5 13 D 12 13 解析 已知ABC 中 12 cot 5 A 2 A 2 2 1112 cos 135 1tan 1 12 A A 故选 D 7 2009 全国 II 文 9 若将函数 0 4 tan xy的图像向右平移 6 个单位长度 后 与函数 6 tan xy的图像重合 则 的最小值为 A 6 1 B 4 1 C 3 1 D 2 1 答案 D 8 2009 北京文 6 是 1 cos2 2 的 A 充分而不必要条件B 必要而不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 答案 A 解析 本题主要考查 k 本题主要考查三角函数的基本概念 简易逻辑中充要条件的判断 属 于基础知识 基本运算的考查 当 6 时 1 cos2cos 32 反之 当 1 cos2 2 时 22 36 kkkZ 或 22 36 kkkZ 故应选 A 9 2009 北京理 2 6 kkZ 是 1 cos2 2 的 A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 答案 A 解析 本题主要考查三角函数的基本概念 简易逻辑中充要条件的判断 属于基础知识 基 本运算的考查 当2 6 kkZ 时 1 cos2cos 4cos 332 k 反之 当 1 cos2 2 时 有 22 36 kkkZ 或 22 36 kkkZ 故应选 A 10 2009 全国卷 文 已知 ABC中 12 cot 5 A 则cos A A 12 13 B 5 13 C 5 13 D 12 13 答案 D 解析 本题考查同角三角函数关系应用能力 先由 cotA 12 5 知 A 为钝角 cosA0 0g x 从而在区间 上是减函数 g x 2 2 当 22 0 xg x 时 从而在区间上是增函数 g x 2 2 由前面讨论知 在区间 1 2 上的最大值与最小值只能在时取得 g x1 2 2x 而 因此在区间 1 2 上的最大值为 54 24 1 2 2 333 ggg g x 最小值为 4 2 2 3 g 4 2 3 g 36 江苏泰兴市重点中学 江苏泰兴市重点中学 2011 届理 届理 本题满分 16 分 设二次函数在 2 f xaxbxc 区间上的最大值 最小值分别是 M m 集合 2 2 Ax f xx 1 若 且 求 M 和 m 的值 1 2 A 0 2f 2 若 且 记 求的最小值 1 A 1a g aMm g a 答案 27 1 由 1 分 0 22fc 可知 又 2 A1212 1 0 axbxc 故 是方程的两实根 3 分 4 分 1 b 1 2 a c 2 a 1 2ab 解得 22 22 1 1 2 2f xxxxx 5 分 min 1 1 1 1xf xfm 当时 即 6 分 max 2 2 10 10 xf xfM 当时 即 2 x 1 2 1 0axbxc 由题意知 方程有两相等实根x 2 即 8分 a c a b 2 1 11 ac ab21 f x ax2 1 2a x a x 2 2 其对称轴方程为x a a 2 14 1 a2 1 又a 1 故1 9分 1 2 1 2 1 a M f 2 9a 2 10分 m 11分 aa a f 4 1 1 2 12 g a M m 9a 1 14分 a4 1 16 分 min 63 1 1 4 g aag a 又在区间上为单调递增的 当时 4 31 题组三题组三 一 选择题 1 广东省惠州市 广东省惠州市 20102010 届高三第三次调研文科 届高三第三次调研文科 20 cos 600 等于 A 2 3 B 2 3 C 2 3 D 2 1 答案 D 解析 200 11 cos 600cos120 22 选 D 2 20102010 年广东省揭阳市高考一模试题理科 年广东省揭阳市高考一模试题理科 设函数 cos 2 f xx xR 则 f x 状 元 源 Z y y 100 奇函数 B 最小正周期为 的偶函数 C 最小正周期为 2 的奇函数 D 最小正周期为 2 的偶函数 答案 B 解析 cos 2 cos2f xxx 可知答案选 B 3 广东省佛山市顺德区 广东省佛山市顺德区 20102010 年年 4 4 月普通高中毕业班质量检测试题理科 月普通高中毕业班质量检测试题理科 在 3 2 3 sin AAABC是中的 A A 充分不必要条件B 必要不充分条件 C 充要条件D 既不充分也不必要条件 4