【数学】2011年新版3年高考2年模拟：第3章不等式

第七章不等式 第一部分第一部分 三年高考荟萃三年高考荟萃 20201111 年高考题年高考题 一 选择题一 选择题 1 重庆理 重庆理 7 已知 a 0 b 0 a b 2 则 y 14 ab 的最小值是 A 7 2 B 4 C 9 2 D 5 答案答案 C 2 浙江理 浙江理 5 设实数 x y满足不等式组 250 270 0 xy xy x y 0 若 x y为整数 则34xy 的最小值 是 A 14 B 16 C 17 D 19 答案答案 B 3 全国大纲理 全国大纲理 3 下面四个条件中 使a b 成立的充分而不必要的条件是 A 1ab B 1ab C 22 ab D 33 ab 答案答案 A 4 4 江西理 江西理 2 2 若集合 x AxxBx x 则AB A xx B xx C xx D xx 答案答案 B 5 辽宁理 辽宁理 9 设函数 1 log1 1 2 2 1 xx x xf x 则满足 2 xf 的 x 的取值范围是 A 1 2 B 0 2 C 1 D 0 答案答案 D 6 湖南理 湖南理 7 设 m 1 在约束条件 1 yx ymx xy 下 目标函数 z x my 的最大值小于 2 则 m 的取值范围为 A 1 1 2 B 1 2 C 1 3 D 3 答案答案 A 7 湖北理 湖北理 8 已知向量 a x z 3 b 2 y z 且 a b 若 x y 满足不等式 1xy 则 z 的取值范围为 A 2 2 B 2 3 C 3 2 D 3 3 答案答案 D 8 广东理 广东理 5 已知在平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组 02 2 2 x y xy 给定 若 M x y 为D上的动点 点A的坐标为 2 1 则z OM OA 的最大值为 A 4 2 B 3 2 C 4 D 3 答案答案 C 9 四川理 四川理 9 某运输公司有 12 名驾驶员和 19 名工人 有 8 辆载重量为 10 吨的甲型卡车和 7 辆载重量为 6 吨的乙型卡车 某天需运往A地至少 72 吨的货物 派用的每辆车虚满载 且只运送一次 派用的每辆甲型卡车虚配 2 名工人 运送一次可得利润 450 元 派用的 每辆乙型卡车虚配 1 名工人 运送一次可得利润 350 元 该公司合理计划当天派用两类 卡车的车辆数 可得最大利润 z A 4650 元 B 4700 元 C 4900 元 D 5000 元 答案答案 C 解析 由题意设派甲 乙 x y辆 则利润450350zxy 得约束条件 08 07 12 10672 219 x y xy xy xy 画出可行域在 12 219 xy xy 的点 7 5 x y 代入目标函数 4900z 10 福建理 福建理 8 已知 O 是坐标原点 点 A 1 1 若点 M x y 为平面区域 2 1 y2 xy x 上 的一个动点 则OA OM 的取值范围是 A 1 0 B 0 1 C 0 2 D 1 2 答案答案 C 11 安徽理 安徽理 4 设变量 yxyxyx2 1 则满足 的最大值和最小值分别为 A 1 1 B 2 2 C 1 2 D 2 1 答案答案 B 12 上海理 上海理 15 若 a bR 且 0ab 则下列不等式中 恒成立的是 A 22 2abab B 2abab C D 112 abab D 2 ba ab 答案答案 二 填空题二 填空题 13 陕西理 陕西理 14 植树节某班 20 名同学在一段直线公路一侧植树 每人植一棵 相邻两棵树 相距 10 米 开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边 使每位同学从各自树坑出发前 来领取树苗往返所走的路程总和最小 这个最小值为 米 答案答案 2000 14 浙江理 浙江理 16 设 x y为实数 若 22 41 xyxy 则2x y 的最大值是 答案答案 2 10 5 15 全国新课标理 全国新课标理 13 若变量 x y 满足约束条件 329 69 xy xy 则 2zxy 的最小值 是 答案答案 6 16 上海理 上海理 4 不等式 1 3 x x 的解为 答案答案 0 x 或 1 2 x 17 广东理 广东理 9 不等式 130 xx 的解集是 答案答案 1 18 江苏 江苏 14 设集合 2 2 222 Ryxmyx m yxA 122 RyxmyxmyxB 若 BA 则实数 m 的取值范围是 答案答案 22 2 1 三 解答题三 解答题 19 安徽理 安徽理 19 设 1 1 xy 证明 111 xy yxxy yx cba 1 证明log logloglogloglog abcbca bcaabc 本题考查不等式的基本性质 对数函数的性质和对数换底公式等基本知识 考查代 数式的恒等变形能力和推理论证能力 证明 I 由于 1 1 yx 所以 1 111 2 xyxyyxxyxy yxxy yx 将上式中的右式减左式 得 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 yxxyyx yxxy yxxyxy xyyxxyxy yxyxxyxy yxxyxyxy 所以即然 从而所要证明的不等式成立 II 设 log logycxb ba 由对数的换底公式得 log 1 log 1 log 1 logxyc y b x a xy a acbc 于是 所要证明的不等式即为 111 xy yxxy yx 其中 1log 1log cybx ba 故由 I 立知所要证明的不等式成立 20 湖北理 湖北理 17 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况 在一般情况下 大桥上 的车流速度 v 单位 千米 小时 是车流密度 x 单位 辆 千米 的函数 当桥上的的 车流密度达到 200 辆 千米时 造成堵塞 此时车流速度为 0 当车流密度不超过 20 辆 千米时 车流速度为 60 千米 小时 研究表明 当20 200 x 时 车流速度 v 是车流 密度 x 的一次函数 当0 200 x 时 求函数 v x 的表达式 当车流密度x为多大时 车流量 单位时间内通过桥上某观点的车辆数 单位 辆 每小时 f xxv x 可以达到最大 并求出最大值 精确到 1 辆 小时 本小题主要考查函数 最值等基础知识 同时考查运用数学知识解决实际问题的能力 满 分 12 分 解 由题意 当0 20 60 xv x 时 当20 200 xv xaxb 时设 再由已知得 1 2000 3 2060 200 3 a ab ab b 解得 故函数 v x 的表达式为 60 020 1 200 20200 3 x v x xx 依题意并由 可得 60 020 1 200 20200 3 xx f x xxx 当0 20 xf x 时 为增函数 故当 20 x 时 其最大值为 60 20 1200 当20 200 x 时 2 11 200 10000 200 3323 xx f xxx 当且仅当 200 xx 即 100 x 时 等号成立 所以 当 100 xf x 时 在区间 20 200 上取得最大值 10000 3 综上 当 100 x 时 f x 在区间 0 200 上取得最大值 10000 3333 3 即当车流密度为 100 辆 千米时 车流量可以达到最大 最大值约为 3333 辆 小时 21 湖北理 湖北理 21 已知函数 1f xInxx 0 x 求函数 f x 的最大值 设 kk a b 1 2k n 均为正数 证明 1 若 1 122 aba b nn a b 12 bb n b 则 12 12 1 n kkk n a aa 2 若 12 bb n b 1 则 1 n 12 1 222 212 n kkk nn b bbbbb 本题主要考查函数 导数 不等式的证明等基础知识 同时考查综合运用数学知识进行推 理论证的能力 以及化归与转化的思想 满分 14 分 解 I f x 的定义域为 0 令 1 10 1 fxx x 解得 当0 1 0 xfxf x 时 在 0 1 内是增函数 当 1x 时 0 1 fxf x 在 内是减函数 故函数 1f xx 在 处取得最大值 1 0 f II 1 由 I 知 当 0 x 时 有 1 0 ln1 f xfxx 即 0 kk a b 从而有ln 1 kk aa 得 ln 1 2 kkkkk baa bb kn 求和得 1 111 ln nnn k kkkk kkk aa bb 2 111 ln0 nnn k kkkk kkk a bba 即 12 12 ln 0 n kkk n a aa 12 12 1 n kkk n a aa 2 先证 12 12 1 n kkk n b bb n 令 1 1 2 k k akn nb 则 111 1 1 nnn kkk kkk a bb n 于是 由 1 得 12 12 111 1 n kkk n nbnbnb 即 12 12 12 1 n n kkk kkk n nn b bb 12 12 1 n kkk n b bb n 再证 12 222 1212 n kkk nn b bbbbb 记 2 1 1 2 n k kk k b Sbakn S 令 则 2 1 111 1 1 nnn kkk kkk a bbb S 于是由 1 得 12 12 1 n kkk n bbb SSS 即 1212 12 nn kkkkkk n b bbSS 12 222 1212 n kkk nn b bbbbb 综合 2 得证 20102010 年高考题年高考题 一 选择题一 选择题 1 1 20102010 上海文 上海文 15 满足线性约束条件 23 23 0 0 xy xy x y 的目标函数zxy 的最大值是 A 1 B 3 2 C 2 D 3 答案 C 解析 当直线zxy 过点 B 1 1 时 z 最大值为 2 2 2 20102010 浙江理 浙江理 7 若实数x y满足不等式组 330 230 10 xy xy xmy 且xy 的最大值为 9 则实数m A 2 B 1 C 1 D 2 答案 C 解析 将最大值转化为 y 轴上的截距 将 m 等价为斜率的倒数 数形结合可知答案选 C 本 题主要考察了用平面区域二元一次不等式组 以及简单的转化思想和数形结合的思想 属中 档题 3 3 20102010 全国卷全国卷 2 2 理 理 5 不等式 2 6 0 1 xx x 的解集为 A 2 3x xx 或 B 213x xx 或 C 213xxx 或 D 2113xxx 或 答案 C 命题意图 本试题主要考察分式不等式与高次不等式的解法 解析 利用数轴穿根法 解得 2 x 1 或 x 3 故选 C 4 4 20102010 全国卷全国卷 2 2 文 文 5 若变量 x y 满足约束条件 1 325 x yx xy 则 z 2x y 的最大值为 A 1 B 2 C 3 D 4 解析 C 本题考查了线性规划的知识 作出可行域 作出目标函数线 可得直线与 yx 与3 25xy 的交点为最优解点 即为 1 1 当 1 1xy 时 max 3z 5 5 20102010 全国卷全国卷 2 2 文 文 2 不等式 3 2 x x 0 的解集为 A 23xx B 2x x C 23x xx 或 D 3x x 解析 A 本题考查了不等式的解法 3 0 2 x x 23x 故选 A 6 6 20102010 江西理 江西理 3 不等式 22xx xx 的解集是 A 0 2 B 0 C 2 D 0 0 答案 A 解析 考查绝对值不等式的化简 绝对值大于本身 值为负数 2 0 x x 解得 A 或者选择 x 1 和 x 1 两个检验进行排除 7 7 20102010 安徽文 安徽文 8 设 x y 满足约束条件 260 260 0 xy xy y 则目标函数 z x y 的最大值是 A 3 B 4 C 6 D 8 答案 C 解析 不等式表示的区域是一个三角形 3 个顶点是 3 0 6 0 2 2 目标函数 zxy 在 6 0 取最大值 6 规律总结 线性规划问题首先作出可行域 若为封闭区域 即几条直线围成的区域 则区 域端点的值是目标函数取得最大或最小值 求出直线交点坐标代入目标函数即可求出最大值 8 8 20102010 重庆文 重庆文 7 设变量 x y满足约束条件 0 0 220 x xy xy 则32zxy 的最大值为 A 0 B 2 C 4 D 6 解析 不等式组表示的平面区域如图所示 当直线32zxy 过点 B 时 在 y 轴上截距最小 z 最大 由 B 2 2 知 max z 4 解析 将最大值转化为 y 轴上的截距 可知答案选 A 本题主要考察了用平面区域二元一次 不等式组 以及简单的转化思想和数形结合的思想 属中档题 10 10 20102010 重庆理数 重庆理数 7 已知 x 0 y 0 x 2y 2xy 8 则 x 2y 的最小值是 A 3 B 4 C D 11 2 答案 B 解析 考察均值不等式 2 2 2 8 2 82 yx yxyx 整理得 032242 2 yxyx 即 08242 yxyx 又02 yx 42 yx 9 2 y 0 x70 48 80 70 15 55 11 11 20102010 重庆理数 重庆理数 4 设变量 x y 满足约束条件 0 10 30 y xy xy 则 z 2x y 的最大值为 A 2 B 4 C 6 D 8 答案 C 解析 不等式组表示的平面区域如图所示 当直线过点 B 3 0 的时候 z 取得最大值 6 12 12 20102010 北京理 北京理 7 设不等式组 110 330 530 xy xy xy9 表示的平面区域为 D 若指数函数 y x a的图像上存在区域 D 上的点 则 a 的取值范围是 A 1 3 B 2 3 C 1 2 D 3 答案 A 13 13 20102010 四川理 四川理 12 设0abc 则 22 11 21025 aacc aba ab 的最 小值是 A 2 B 4 C 2 5 D 5 解析 22 11 21025 aacc aba ab 22 11 5 acaabab aba ab 2 11 5 acaba ab aba ab 0 2 2 4 当且仅当a 5c 0 ab 1 a a b 1 时等号成立 如取a 2 b 2 2 c 2 5 满足条件 答案 B 14 14 20102010 四川理 四川理 7 某加工厂用某原料由甲车间加工出A产品 由乙 车间加工出B产品 甲车间加工一箱原料需耗费工时 10 小时可加工出 7 千克A产品 每千克 A产品获利 40 元 乙车间加工一箱原料需耗费工时 6 小时可加工出 4 千克B产品 每千克B 产品获利 50 元 甲 乙两车间每天共能完成至多 70 箱原料的加工 每天甲 乙两车间耗费 工时总和不得超过 480 小时 甲 乙两车间每天总获利最大的生产计划为 A 甲车间加工原料 10 箱 乙车间加工原料 60 箱 B 甲车间加工原料 15 箱 乙车间加工原料 55 箱 C 甲车间加工原料 18 箱 乙车间加工原料 50 箱 D 甲车间加工原料 40 箱 乙车间加工原料 30 箱 答案 B 解析 设甲车间加工原料x箱 乙车间加工原料y箱 则 70 106480 xy xy x yN 目标函数z 280 x 300y 结合图象可得 当x 15 y 55 时z最大 本题也可以将答案逐项代入检验 15 15 20102010 天津文 天津文 2 设变量 x y 满足约束条件 3 1 1 xy xy y 则目标函数 z 4x 2y 的最大值 为 A 12 B 10 C 8 D 2 答案 B 解析 本题主要考查目标函数最值的求法 属于容易题 做 出可行域 如图由图可知 当目标函数过直线 y 1 与 x y 3 的交 点 2 1 时 z 取得最大值 10 16 16 20102010 福建文 福建文 0 xy 1 O yx y 20 xy x A 0 20lxy L0 2 2 A 17 17 20102010 全国卷全国卷 1 1 文 文 10 设 1 2 3 log 2 ln2 5abc 则 A abc B bca C cab D cba 答案 C 命题意图 本小题以指数 对数为载体 主要考查指数函数与对数函数的性质 实数大小 的比较 换底公式 不等式中的倒数法则的应用 解析 1 a 3 log2 2 1 log 3 b In2 2 1 log e 而 22 log 3log1e 所以 a b c 1 2 5 1 5 而 22 52log 4log 3 所以 c a 综上 c a b 解析 2 a 3 log2 3 2 1 log b ln2 2 1 loge 3 22 1loglog2 e 3 22 111 1 2logloge c 1 2 111 5 254 c a b 18 18 20102010 全国卷全国卷 1 1 文 文 3 若变量 x y满足约束条件 1 0 20 y xy xy 则2zxy 的最大值 为 A 4 B 3 C 2 D 1 答案 B 命题意图 本小题主要考查线性规划知识 作图 识图能力及计算能力 解析 画出可行域 如右图 11 2 22 zxyyxz 由图可知 当直线l经过点 A 1 1 时 z 最大 且最大值为 max 1 2 1 3z 19 19 20102010 全国卷全国卷 1 1 理 理 8 设a 3 log2 b ln2 c 1 2 5 则 A a b c B b c a C c a b D c b a 20 20 20102010 全国卷全国卷 1 1 理 理 21 21 20102010 四川文 四川文 11 设0a b 则 2 11 a aba ab 的最小值是 A 1 B 2 C 3 D 4 答案 D 解析 2 11 a aba ab 2 11 aabab aba ab 11 aba ab aba ab 2 2 4 当且仅当ab 1 a a b 1 时等号成立 如取a 2 b 2 2 满足条件 22 22 20102010 四川文 四川文 8 某加工厂用某原料由车间加工出A产品 由乙车间加工出 B产品 甲车间加工一箱原料需耗费工时 10 小时可加工出 7 千克A产品 每千克A产品获利 40 元 乙车间加工一箱原料需耗费工时 6 小时可加工出 4 千克B产品 每千克B产品获利 50 元 甲 乙两车间每天功能完成至多 70 多箱原料的加工 每天甲 乙车间耗费工时总和不得 超过 480 小时 甲 乙两车间每天获利最大的生产计划为 A 甲车间加工原料 10 箱 乙车间加工原料 60 箱 B 甲车间加工原料 15 箱 乙车间加工原料 55 箱 C 甲车间加工原料 18 箱 乙车间加工原料 50 箱 D 甲车间加工原料 40 箱 乙车间加工原料 30 箱 答案 B 解析 解析 设甲车间加工原料x箱 乙车间加工原料y箱 则 70 106480 xy xy x yN 目标函数z 280 x 300y 结合图象可得 当x 15 y 55 时z最大 本题也可以将答案逐项代入检验 23 23 20102010 山东理 山东理 y 0 x70 48 80 70 15 55 24 24 20102010 福建理 福建理 8 设不等式组 x1 x 2y 30 yx 所表示的平面区域是 1 平面区域是 2 与 1 关于直线3490 xy 对称 对于 1 中的任意一点 A 与 2 中的任意一点 B AB的最 小值等于 A 28 5 B 4 C 12 5 D 2 答案 B 解析 由题意知 所求的 AB的最小值 即为区域 1 中的点到直线3490 xy 的距 离的最小值的两倍 画出已知不等式表示的平面区域 如图所示 可看出点 1 1 到直线3490 xy 的距离最小 故 AB的最小值为 3 1 4 1 9 24 5 所以选 B 二 填空题二 填空题 1 1 20102010 上海文 上海文 2 不等式 2 0 4 x x 的解集是 答案 24 xx 解析 考查分式不等式的解法 2 0 4 x x 等价于 x 2 x 4 0 所以 4 x0 b 0 称 2ab ab 为 a b 的调和平均数 如图 C 为线段 AB 上的点 且 AC a CB b O 为 AB 中点 以 AB 为 直径做半圆 过点 C 作 AB 的垂线交半圆于 D 连结 OD AD BD 过 点 C 作 OD 的垂线 垂足为 E 则图中线段 OD 的长度是 a b 的算术 平均数 线段 的长度是 a b 的几何平均数 线段 的长度是 a b 的调和平均数 答案 CD DE 解析 在 Rt ADB 中 DC 为高 则由射影定理可得 2 CDAC CB 故CDab 即 CD 长 度为a b的几何平均数 将 OC 222 ababab aCDabOD 代入 OD CEOC CD 可得 ab CEab ab 故 2 22 2 ab OEOCCE ab 所以 ED OD OE 2ab ab 故 DE 的长度为a b的调和平均数 17 17 20102010 江苏卷 江苏卷 12 设实数 x y 满足 3 2 xy 8 4 y x2 9 则 4 3 y x 的最大值是 答案 27 解析 考查不等式的基本性质 等价转化思想 2 2 16 81 x y 2 11 1 8 3xy 32 2 42 1 2 27 xx yyxy 4 3 y x 的最大值是 27 三 解答题三 解答题 1 1 20102010 广东理 广东理 19 本小题满分 12 分 某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐 已知一个单位的午餐含 12 个单位的碳水化合物 6 个单位蛋白质和 6 个单位的维生素 C 一个单位的晚餐含 8 个单位的碳水化合物 6 个单位 的蛋白质和 10 个单位的维生素 C 另外 该儿童这两餐需要的营养中至少含 64 个单位的碳水 化合物 42 个单位的蛋白质和 54 个单位的维生素 C 如果一个单位的午餐 晚餐的费用分别是 2 5 元和 4 元 那么要满足上述的营养要求 并且花费最少 应当为该儿童分别预定多少个单位的午餐和晚餐 解 设该儿童分别预订 x y个单位的午餐和晚餐 共花费z元 则 2 54zxy 可行域为 12 x 8 y 64 6 x 6 y 42 6 x 10 y 54 x 0 x N y 0 y N 即 3 x 2 y 16 x y 7 3 x 5 y 27 x 0 x N y 0 y N 作出可行域如图所示 经试验发现 当 x 4 y 3 时 花费最少 为2 54zxy 2 5 4 4 3 22 元 2 2 20102010 广东文 广东文 19 本题满分 12 分 某营养师要求为某个儿童预订午餐和晚餐 已知一个单位的午餐含 12 个单位的碳水化合物 6 个单位的蛋白质和 6 个单位的维生素 C 一个单位的晚餐含 8 个单位的碳水化合物 6 个单 位的蛋白质和 10 个单位的维生素 C 另外 该儿童这两餐需要的营状中至少含 64 个单位的碳 水化合物和 42 个单位的蛋白质和 54 个单位的维生素 C 如果一个单位的午餐 晚餐的费用分别是 2 5 元和 4 元 那么要满足上述的营养要求 并且花费最少 应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐 解 设为该儿童分别预订x个单位的午餐和y个单位的晚餐 设费用为 F 则 Fyx45 2 由题意知 64812 yx 4266 yx 54106 yx 画出可行域 变换目标函数 48 5F xy 3 3 20102010 湖北理 湖北理 15 设 a 0 b 0 称 2ab ab 为 a b 的调和平均数 如图 C 为线段 AB 上的点 且 AC a CB b O 为 AB 中点 以 AB 为 直径做半圆 过点 C 作 AB 的垂线交半圆于 D 连结 OD AD BD 过 点 C 作 OD 的垂线 垂足为 E 则图中线段 OD 的长度是 a b 的算术 平均数 线段 的长度是 a b 的几何平均数 线段 的长度是 a b 的调和平均数 答案 CD DE 解析 在 Rt ADB 中 DC 为高 则由射影定理可得 2 CDAC CB 故CDab 即 CD 长 度为a b的几何平均数 将 OC 222 ababab aCDabOD 代入 OD CEOC CD 可得 ab CEab ab 故 2 22 2 ab OEOCCE ab 所以 ED OD OE 2ab ab 故 DE 的长度为a b的调和平均数 20092009 年高考题年高考题 第一节第一节 简单不等式及其解法简单不等式及其解法 一 选择题 1 2009 安徽卷理 下列选项中 p 是 q 的必要不充分条件的是 A p ac b d q a b 且 c d B p a 1 b 1 q 01 x f xab aa 且的图像不过第二象限 C p x 1 q 2 xx D p a 1 q log 01 a f xx aa 且在 0 上为增函数 答案 A 解析 由a b 且 c d ac b d 而由ac b d a b 且 c d 可举反例 选 A 2 2009 安徽卷文 是 且 的 A 必要不充分条件 B 充分不必要条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 答案 A 解析 易得abcd 且 且时必有acbd 若acbd 时 则可能有adcb 且 且 选 A 3 2009 四川卷文 已知a b c d为实数 且c d 则 a b 是 a c b d 的 A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 答案 B 解析 显然 充分性不成立 又 若a c b d和c d都成立 则同向不等式相加得 a b 即由 a c b d a b 4 2009 天津卷理 ab 10 若关于 x 的不等式 2 xb 2 ax的解集中的整数恰有 3 个 则 A 01 a B 10 a C 31 a D 63 a 答案 C 5 2009 四川卷理 已知 a b c d为实数 且cd 则 ab 是 acbd 的 A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 考点定位 本小题考查不等式的性质 简单逻辑 基础题 同文 7 答案 B 解析 ba 推不出acbd 但bdcbadbca 故选择 B 解析 2 令2 1 3 5abcd 则13 5 8acbd 由 acbd 可得 abcd 因为cd 则0cd 所以ab 故 ab 是 acbd 的必要而不充分条件 6 2009 重庆卷理 不等式 2 313xxaa 对任意实数x恒成立 则实数a的取值范 围为 A 1 4 B 2 5 C 1 2 D 1 2 答案 A 解析 因为 2 4314313xxxxaa 对对任意 x 恒成立 所以 22 343041aaaaaa 即 解得或 二 填空题 7 2009 年上海卷理 若行列式 4 1 7 5 x x 3 8 9 中 元素 4 的代数余子式大于 0 则 x 满足的条件是 答案 8 3 x 解析 依题意 得 1 2 9x 24 0 解得 8 3 x 三 解答题 8 2009 江苏卷 本小题满分 16 分 按照某学者的理论 假设一个人生产某产品单件成本为a元 如果他卖出该产品的单 价为m元 则他的满意度为 m ma 如果他买进该产品的单价为n元 则他的满意度 为 n na 如果一个人对两种交易 卖出或买进 的满意度分别为 1 h和 2 h 则他对这两种交 易的综合满意度为 1 2 hh 现假设甲生产 A B 两种产品的单件成本分别为 12 元和 5 元 乙生产 A B 两种产品的 单件成本分别为 3 元和 20 元 设产品 A B 的单价分别为 A m元和 B m元 甲买进 A 与 卖出 B 的综合满意度为h且 乙卖出 A 与买进 B 的综合满意度为h且 1 求h且和h且关于 A m B m的表达式 当 3 5 AB mm 时 求证 h且 h且 2 设 3 5 AB mm 当 A m B m分别为多少时 甲 乙两人的综合满意度均最大 最 大的综合满意度为多少 3 记 2 中最大的综合满意度为 0 h 试问能否适当选取 A m B m的值 使得 0 hh 且 和 0 hh 且 同时成立 但等号不同时成立 试说明理由 解析 本小题主要考查函数的概念 基本不等式等基础知识 考查数学建模能力 抽 象概括能力以及数学阅读能力 满分 16 分 1 当 3 5 AB mm 时 2 3 5 3 5 20 5 12 5 B BB BBB B m mm h mmm m 甲 2 3 5 3 20 5 20 3 5 B BB BBB B m mm h mmm m 乙 h且 h且 2 当 3 5 AB mm 时 2 2 11 20511 20 5 1 1 100 251 B BB BBBB m h mm mmmm 甲 由 111 5 20 20 5 B B m m 得 故当 11 20 B m 即20 12 BA mm 时 甲乙两人同时取到最大的综合满意度为 10 5 3 方法一 由 2 知 0 h 10 5 由 0 10 1255 AB AB mm hh mm 甲 得 1255 2 AB AB mm mm 令 35 AB xy mm 则 1 1 4 xy 即 5 14 1 2 xy 同理 由 0 10 5 hh 乙 得 5 1 14 2 xy 另一方面 1 1 4 xy 141xx 5 1 4y 2 5 1 y 2 2 55 1 4 1 1 1 4 22 xyxy 当且仅当 1 4 xy 即 A m B m时 取等号 所以不能否适当选取 A m B m的值 使得 0 hh 且 和 0 hh 且 同时成立 但等号不同时成 立 第二节第二节 基本不等式基本不等式 一 选择题 1 2009 天津卷理 设0 0 ab 若 11 333 ab ab 是与的等比中项 则的最小值为 A 8 B 4 C 1 D 1 4 考点定位 本小题考查指数式和对数式的互化 以及均值不等式求最值的运用 考查了 变通能力 答案 C 解析 因为333 ba 所以1 ba 4222 11 11 b a a b b a a b ba ba ba 当且仅当 b a a b 即 2 1 ba时 成立 故选择 C 2 2009 重庆卷文 已知0 0ab 则 11 2 ab ab 的最小值是 A 2B 2 2C 4D 5 答案 C 解析 因为 1111 2222 4ababab ababab 当且仅当 11 ab 且 即ab 时 取 号 二 填空题 3 2009 湖南卷文 若0 x 则 2 x x 的最小值为 答案 222 解析 0 x 2 2 2x x 当且仅当 2 2xx x 时取等号 三 解答题 4 2009 湖北卷文 本小题满分 12 分 围建一个面积为 360m2的矩形场地 要求矩形场地的一面利用旧墙 利用旧墙需维修 其它三面围墙要新建 在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为 2m 的进出口 如图所示 已知旧墙的维修费用为 45 元 m 新墙的造价为 180 元 m 设利用的旧墙的长度为 x 单位 元 将 y 表示为 x 的函数 试确定 x 使修建此矩形场地围墙的总费用最小 并求出最小总费用 解 1 如图 设矩形的另一边长为 a m 则 2 y 45x 180 x 2 180 2a 225x 360a 360 由已知 xa 360 得 a x 360 所以 y 225x 0 360 3602 x x II 108003602252 360 225 0 2 2 x xx 10440360 360 225 2 x xy 当且仅当 225x x 2 360 时 等号成立 即当 x 24m 时 修建围墙的总费用最小 最小总费用是 10440 元 第三节第三节 不等式组与简单的线性规划不等式组与简单的线性规划 一 选择题 1 2009 山东卷理 设 x y 满足约束条件 0 0 02 063 yx yx yx 若目标函数 z ax by a 0 b 0 的是最大值为 12 则 23 ab 的最小值为 A 6 25 B 3 8 C 3 11 D 4 答案 A 解析 不等式表示的平面区域如图所示阴影部分 当直线 ax by z a 0 b 0 过直线 x y 2 0 与直线 3x y 6 0 的交点 4 6 时 x 2 2 y O 2 z ax by 3x y 6 0 x y 2 0 目标函数 z ax by a 0 b 0 取得最大 12 即 4a 6b 12 即 2a 3b 6 而 23 ab 23 23131325 2 6666 abba abab 故选 A 命题立意 本题综合地考查了线性规划问题和由基本不等式求函数的最值问题 要求能准 确地画出不等式表示的平面区域 并且能够求得目标函数的最值 对于形如已知 2a 3b 6 求 23 ab 的最小值常用乘积进而用基本不等式解答 2 2009 安徽卷理 若不等式组 0 34 34 x xy xy 所表示的平面区域被直线 4 3 ykx 分为面 积相等的两部分 则k的值是 A 7 3 B 3 7 C 4 3 D 3 4 答案 B 解析 不等式表示的平面区域如图所示阴影部分 ABC 由 34 34 xy xy 得 A 1 1 又 B 0 4 C 0 4 3 S ABC 144 4 1 233 设ykx 与34xy 的 交点为 D 则由 12 23 BCD SS ABC 知 1 2 D x 5 2 D y 5147 2233 kk 选 A 3 2009 安徽卷文 不等式组 所表示的平面区域的面积等于 A 2 3 B 3 2 C 3 4 D 4 3 解析 由 340 340 xy xy 可得 1 1 C 故S阴 阴 14 23 c ABx 选 C 答案 C 4 2009 四川卷文 某企业生产甲 乙两种产品 已知生产每吨甲产品要用 A 原料 3 吨 B 原料 2 吨 生产每吨乙产品要用 A 原料 1 吨 B 原料 3 吨 销售每吨甲产品可获得利润 5 万元 每吨乙产品可获得利润 3 万元 该企业在一个生产周期内消耗 A 原料不超过 13 吨 B 原料不超过 18 吨 那么该企业可获得最大利润是 A 12 万元 B 20 万元 C 25 万元 D 27 万元 答案 D A x D y C O y kx 4 3 解析 设生产甲产品x吨 生产乙产品y吨 则有关系 A 原 料 B 原 料 甲产品x吨 3x 2x 乙产品 y吨 y 3y 则有 1832 133 0 0 yx yx y x 目标函数yxz35 作出可行域后求出可行域边界上各端点的坐标 经验证知 当x 3 y 5 时可获得最大利润为 27 万元 故选 D 5 2009 宁夏海南卷理 设 x y 满足 24 1 22 xy xyzxy xy 则 A 有最小值 2 最大值 3 B 有最小值 2 无最大值 C 有最大值 3 无最小值 D 既无最小值 也无最大值 答案 B 解析 画出可行域可知 当zxy 过点 2 0 时 min 2z 但无最大值 选 B 6 2009 宁夏海南卷文 设 x y满足 24 1 22 xy xy xy 则zxy A 有最小值 2 最大值 3 B 有最小值 2 无最大值 C 有最大值 3 无最小值 D 既无最小值 也无最大值 答案 B 解析 画出不等式表示的平面区域 如右图 由 z x y 得 y x z 令 z 0 画出 y x 的图象 当它的平行线经过 A 2 0 时 z 取得最小值 最小值为 z 2 无最大值 故选 B 3 4 0 6 O 0 3 13 y x9 13 7 2009 湖南卷理 已知 D 是由不等式组 20 30 xy xy 所确定的平面区域 则圆 22 4xy 在区域 D 内的弧长为 B A 4 B 2 C 3 4 D 3 2 答案 B 解析 解析如图示 图中阴影部分所在圆心角所对弧长即为所求 易知图中两直线的斜率 分别是 1 2 1 3 所以圆心角 即为两直线的所成夹角 所以 11 23 tan1 11 1 23 所 以 4 而圆的半径是 2 所以弧长是 2 故选 B 现 8 2009 天津卷理 设变量 x y 满足约束条件 3 1 23 xy xy xy 则目标函数 z 2x 3y 的最小值 为 A 6 B 7 C 8 D 23 答案 B 考点定位 本小考查简单的线性规划 基础题 解析 画出不等式 3 1 23 xy xy xy 表示的可行域 如右图 让目标函数表示直线 33 2zx y 在可行域上平移 知在点 B 自目标函数取到最小值 解 方程组 32 3 yx yx 得 1 2 所以734 min z 故选择 B 8 6 4 2 2 4 15 10 551015 2x y 3 x y 1 x y 3 q x 2 x 3 7 h x 2 x 3 g x x 1 f x x 3 A B 9 2009 四川卷理 某企业生产甲 乙两种产品 已知生产每吨甲产品要用 A 原料 3 吨 B 原料 2 吨 生产每吨乙产品要用 A 原料 1 吨 B 原料 3 吨 销售每吨甲产品可获得利润 5 万 元 每吨乙产品可获得利润 3 万元 该企业在一个生产周期内消耗 A 原料不超过 13 吨 B 原料不超过 18 吨 那么该企业可获得最大利润是 A 12 万元 B 20 万元 C 25 万元 D 27 万元 答案 D 考点定位 本小题考查简单的线性规划 基础题 同文 10 解析 设甲 乙种两种产品各需生产x y吨 可使利润z最大 故本题即 已知约束条件 0 0 1832 133 y x yx yx 求目标函数yxz35 的最大 值 可求出最优解为 4 3 y x 故271215 max z 故选 择 D 10 2009 福建卷文 在平面直角坐标系中 若不等式组 10 10 10 xy x axy 为常数 所表 示的平面区域内的面积等于 2 则a的值为 A 5 B 1 C 2 D 3 答案答案 D 解析解析 如图可得黄色即为满足010101 yaxyxx的可行域 而与 的直线恒过 0 1 故看作直线绕点 0 1 旋转 当 a 5 时 则可行域不是一个封 闭区域 当 a 1 时 面积是 1 a 2 时 面积是 2 3 当 a 3 时 面积恰好为 2 故选 D 二 填空题 11 2009 浙江理 若实数 x y满足不等式组 2 24 0 xy xy xy 则23xy 的最小值是 答案 4 解析 通过画出其线性规划 可知直线 2 3 yxZ 过点 2 0时 min234xy 12 2009 浙江卷文 若实数 x y满足不等式组 2 24 0 xy xy xy 则23xy 的最小 是 命题意图 此题主要是考查了线性规划中的最值问题 此题的考查既体现了正确画线性 区域的要求 也体现了线性目标函数最值求解的要求 解析 通过画出其线性规划 可知直线 2 3 yxZ 过点 2 0时 min234xy 13 2009 北京文 若实数 x y满足 20 4 5 xy x x 则sxy 的最大值为 答案 9 解析 本题主要考查线性规划方面的基础知 属于基础知识 基本运算的考查 如图 当4 5xy 时 459sxy 为最大值 故应填 9 14 2009 北京卷理 若实数 x y满足 20 4 5 xy x y 则syx 的最小值为 答案 6 解析 本题主要考查线性规划方面 的基础知 属于基础知识 基本运算 的考查 如图 当4 2xy 时 246syx 为最小值 故应填6 15 2009 山东卷理 不等式0212 xx的解集为 答案 11 xx 解析 原不等式等价于不等式组 2 21 2 0 x xx 或 1 2 2 21 2 0 x xx 或 1 2 21 2 0 x xx 不等式组 无解 由 得 1 1 2 x 由 得 1 1 2 x 综上 得11x 所以原不等式的解集为 11 xx 16 2009 山东卷文 某公司租赁甲 乙两种设备生产 A B 两类产品 甲种设备每天能生产 A 类 产品 5 件和 B 类产品 10 件 乙种设备每天能生产 A 类产品 6 件和 B 类产品 20 件 已知设备 甲每天的租赁费为 200 元 设备乙每天的租赁费为 300 元 现该公司至少要生产 A 类产品 50 件 B 类产品 140 件 所需租赁费最少为 元 答案 2300 解析 设甲种设备需要生产x天 乙种设备需要生产y天 该公司所需租赁费为z元 则 200300zxy 甲 乙两种设备生产 A B 两类产品的情况为下表所示 产品 设备 A 类产品 件 50 B 类产 件 1 租赁费 元 甲设备 5 10 200 乙设备 6 20 300 则满足的关系为 5650 1020140 0 0 xy xy xy 即 6 10 5 214 0 0 xy xy xy 作出不等式表示的平面区域 当200300zxy 对应的直线过两直线 6 10 5 214 xy xy 的交点 4 5 时 目标函数200300zxy 取得最低为 2300 元 命题立意 本题是线性规划的实际应用问题 需要通过审题理解题意 找出各量之间的关系 最 好是列成表格 找出线性约束条件 写出所研究的目标函数 通过数形结合解答问题 17 2009 上海卷文 已知实数 x y 满足 2 2 3 yx yx x 则目标函数 z x 2y 的最小值是 答案 9 解析 画出满足不等式组的可行域如右图 目标函数化为 xy 2 1 z 画直线xy 2 1 及 其平行线 当此直线经过点 A 时 z 的值最大 z 的值最小 A 点坐标为 3 6 所以 z 的最小值为 3 2 6 9 第二部分第二部分 两年模拟题两年模拟题 20112011 届高三模拟题届高三模拟题 题组一题组一 一 一 选择题选择题 1 福建省厦门外国语学校 福建省厦门外国语学校 20112011 届高三届高三 1111 月月考理 月月考理 已知满足约束条件 3 0 05 x yx yx 则的最小值是 yxz42 A 15 B 18 C 26 D 20 答案 B 2 甘肃省天水一中 甘肃省天水一中 2011 届高三上学期第三次月考试题理 届高三上学期第三次月考试题理 设 x y满足约束条件 1 1 2 210 x yx xy 则2zxy 的最小值为 A 6 B 1 2 答案 B 3 河南省辉县市第一中学 河南省辉县市第一中学 20112011 届高三届高三 1111 月月考理 月月考理 若 则0ab A B 22 a cb c cR 1 b a C D lg 0ab 11 22 ab 答案 D 4 4 湖北省黄冈市浠水县市级示范高中 湖北省黄冈市浠水县市级示范高中 20112011 届高三届高三 1212 月月考 月月考 不等式 2 6 0 1 xx x 的解集 为 A 2 3x xx 或 B 213x xx 或 C 213xxx 或 D 2113xxx 或 答案 C 5 河南省辉县市第一中学 河南省辉县市第一中学 20112011 届高三届高三 1111 月月考理 月月考理 设双曲线的两条渐近线与1 22 yx 直线围成的三角形区域 包含边界 为