河北省保定市十八校2025-2026学年高一数学上学期12月联考试题

河北省保定市十八校2025-2026学年高一上学期12月联考

数学试题

一、单选题

1．已知集合A1,0,1,2，集合B{x|2x2}，则AB（）

A．1B．0,1C．1,0,1D．1,0,1,2

2．函数fxxlnx的定义域为（）

A．0,B．1,C．0,D．1,

3．已知命题p：x0，xx，命题q:x,yR,xyxy，则（）

A．p和q都是真命题B．p和q都是真命题

C．p和q都是真命题D．p和q都是真命题

2

4．“ab”是“ab2”的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

2

5．函数fx2x1的值域为（）

1

A．,B．0,C．1,D．2,

2

6．2025年4月24日17时17分，搭载神舟二十号载人飞船的长征二号F遥二十运载火箭在酒泉卫星发射

中心点火发射，神舟二十号载人飞船进入预定轨道，发射取得圆满成功．在不考虑空气阻力的条件下，若

m

火箭的最大速度v（单位：）､燃料的质量M（单位：kg）和火箭（除燃料外）的质量m（单位：kg）的

s

M11.2km

函数关系式为v2000ln1,则当火箭的最大速度为时，燃料质量与火箭（除燃料外）质量的

ms

比值约为（）（参考数据：e5.6270)

A．134B．269C．539D．540

7．已知函数f(x)a|x|a（a0且a1）的图像与直线ya交于A,B两点，若AB1，则a（）

A．1B．1C．2D．4

24

8．已知函数fx的定义域为R，若2fxfx1fx1，且当x0时，fx2x，则当x0时，

fx的解析式可以是fx（）

1

A．3xB．C．x²D．x2

x

二、多选题

9．已知函数yfx的定义域为2,11,3，值域为1,2，则函数yfx的图象可能为（）

A．B．

C．D．

10．已知p2q21,则（）

A．pq的最大值为1B．pq的最大值为2

C．pq的最小值为1D．pq的最小值为2

11．已知函数f(x)ax3bxa(a0)则下列结论正确的是（）

A．fx的图象关于点0,a对称

B．若f10，则fx一定有3个零点

C．若fx有3个零点x1,x2,x3，则x1x2x31

111

D．若fx有3个零点x1,x2,x3，且3a+b<0，则3

x1x2x3

三、填空题

x21

12．已知函数fx是奇函数，则a．

xa

x2a,x0

13．已知函数f(x)在R上单调递增，则a的取值范围是．

x,x0

2

14．已知函数fxalnx1,gxx.若对任意．x10,1,总存在．x20,1,使得fx1gx2，则a

的取值范围是．

四、解答题

15．计算：

ab

(1)（a,b均为正数，结果用分数指数幂的形式表示）；

4a23b

11

(2)120812

2025;

916

lg5lg20

(3)log32log29.

lg100

16．已知x0,y0,证明：

11

(1)xy4;

xy

11

(2)xy4.

yx

17．已知函数fx1xx.

(1)求fx的零点；

(2)求fx的值域；

(3)判断fx在,0上的单调性，并根据定义证明．

18．如图，在一块直角梯形ABCD场地中，AD//BC,ADAB，其中AD100米,ABBC400米．现在

直角梯形ABCD区域内规划一个矩形EFGB区域，使点F，E，G分别在线段CD,AB,BC上．

(1)设EFx米，FGy米，将y表示成x的函数，并求该函数的解析式及定义域；

(2)求矩形EFGB面积的最大值；

(3)求矩形EFGB周长的取值范围．

19．已知fx是定义在R上的奇函数，且当x0时，fxlog2x1a.

(1)求fx的解析式；

(2)若函数gx∣fx∣在1,1内恰有3个零点，求a的取值范围；

(3)若对于任意的xR，都有fxfx3，求a的取值范围．

1．C

利用交集的运算法则直接求解即可

【详解】因为集合A1,0,1,2，集合B{x|2x2}，则AB1,0,1

故选：C

2．A

函数fxxlnx需满足被开方数大于等于0，真数大于0，即可得到函数的定义域.

x0

【详解】要使函数fxxlnx有意义则，解得x0，所以fx的定义域为0,

x0

故选：A

3．B

先分别判断命题p和命题q的真假，从而得到p，q的真假，再根据选项求解

1

【详解】当x时，xx显然不成立，所以p是假命题，p是真命题．

4

当xy1时，xyxy显然成立，所以命题q是真命题，q是假命题．

故选：B

4．B

利用充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.

22

【详解】若ab，则ab2或ab2；若ab2，则ab，

2

所以“ab”是“ab2”的必要不充分条件．

故选：B.

5．A

2

将函数fx2x1分解为二次函数tx21和指数函数y2t，利用函数的图像和单调性求值域.

【详解】设tx21，x20，x211，t1，

2

求fx2x1的值域转化为y2t(t1)，

y2t在t1的范围是单调递增函数，

11x211

y2，fx2的值域为,.

22

故选：A.

6．B

MM

将v11200m/s代入v2000ln1,得到112002000ln1，再利用指对互化公式计算即可.

mm

MMM5.6

【详解】由题意可得112002000ln1，则5.6ln1，则e1269．

mmm

故选：B

7．A

1

先证明fx是偶函数，根据图像关于y轴对称，得到A,a，代入函数求解a值.

2

【详解】函数fx定义域为R,f(x)a|x|aa|x|af(x)所以fx是偶函数．

当x0时，函数fxaxa，函数fx在0,上单调，故A,B位于y轴两侧，

11

设A在第一象限，B在第二象限．因为AB1，所以A,a，B,a，

22

1

a

121

所以faa，解得a．

22

故选：A

8．D

对选项按照题意一一排除，即可求解.

3x,x0

【详解】选项A，当x0时,fx3x，则fx，

2x,x0

11

f1，2f2，

22

111313

f1f3，f1f3，

222222

1133

f1f13，

2222

111

2ff1f1，

222

不满足2fxfx1fx1，故选项A错误；

1

1,x0

选项B，当x0时,fx，则fxx，

x

2x,x0

11

f1，2f2，

22

1113

f1f2，f1f3，

2222

11

f1f1231，

22

111

2ff1f1，

222

不满足2fxfx1fx1，故选项B错误；

x²,x0

选项C，当x0时,fxx²，则fx，

2x,x0

f11，2f12，

f11f24，f11f00，

f11f11404，

2f1f11f11，

不满足2fxfx1fx1，故选项C错误；

x2,x0

选项D，当x0时,fxx2，则fx，

2x,x0

当0x1时，x10，fxx2，2fx2x2

fx1(x1)2x22x1，fx12x12x2，

fx1fx1x22x12x2x23，

222

2fxfx1fx12xx3x30，

2fxfx1fx1，符合题意；

当x1时，x10，fxx2，

2fx2x2，

fx1(x1)2x22x1，

fx1(x1)2x22x1，

fx1fx1x22x1x22x12x22，

22

2fxfx1fx12x2x220，

2fxfx1fx1，符合题意；

当1x0时，x+10，fx2x，

2fx4x，

fx1(x1)2x22x1，

fx12(x1)2x2，

fx1fx1x22x12x2x23，

222

2fxfx1fx14xx3x4x3x210，

2fxfx1fx1，符合题意；

当x1时，则x+10，fx2x，

2fx4x，

fx12(x1)2x2，

fx12(x1)2x2，

fx1fx12x22x24x，

2fxfx1fx14x4x0，

2fxfx1fx1，符合题意；

综上可知，当x0时,fxx2满足题意，故选项D正确.

故选：D.

9．AD

根据每个选项的函数图象，分别求出对应函数的定义域和值域即可求解.

【详解】因为函数yfx的定义域为2,11,3，值域为1,2

由选项A图象可知，该函数定义域为2,11,3，值域为1,2，满足条件；

由选项B图象可知，该函数定义域为2,11,3，值域为1,01,2，不满足条件；

由选项C图象可知，该函数定义域为2,11,3，值域为2,11,2，不满足条件；

由选项D图象可知，该函数定义域为2,11,3，值域为1,2，满足条件;

故选：AD.

10．BD

(pq)2

将1p2q2转化为1(pq)22pq，利用基本不等式的变形pq进行求解即可；

4

(pq)2(pq)2

【详解】1p2q2(pq)22pq(pq)22，

42

22

解得2pq2，当且仅当pq时，pq取得最大值2，当且仅当pq时，pq取

22

得最小值2．

故选：BD.

11．ABD

bb

选项A，求出fxfx即可得解；选项B，求出f1，由f10得到2，求出f，由

aa

22

bbbbb

4,11，得到14，从而得到f0，

aaaaa

bb

由f0a0，得到fx在,0上至少有1个零点，在0,1上至少有1个零点，在1,上至少有1

aa

个零点，从而可以判断出选项B；选项C，由fx有3个零点x1,x2,x3，得到

33b

axbxaaxx1axx1xx2xx30，整理化简，利用等式两边对应项的系数相等建立

a

b111

等式，即可得解；选项D，由3ab0,a0，得到的范围，计算即可得解．

ax1x2x3

【详解】因为fxfx2a，所以fx的图象关于点0,a对称，A正确．

33bb

fxaxbxaaxx1．因为f1a20,a0，

aa

322

bbbbbb

所以2．fa1a11，

aaaaaa

22

bbbbb

4,11，11，14

aaaaa

22

bbbbb

14，113，f0，

aaaaa

22

bbbb

14，1150，

aaaa

a0，

322

bbbbb

fa1]a110，

aaaaa

b

因为f0a0，所以fx在,0上至少有1个零点，

a

b

在0,1上至少有1个零点，在1,上至少有1个零点．

a

又因为三次函数最多有3个零点，所以fx一定有3个零点，B正确．

33b

若fx有3个零点x1,x2,x3，则axbxaaxx1axx1xx2xx30，

a

32

化简得axx1x2x3xx1x2x2x3x1x3xx1x2x30，

x1x2x30

b

所以x1x2x2x3x1x3，C错误.

a

x1x2x31

b111xxxxxxb

因为3ab0,a0，所以3,1223133，D正确．

ax1x2x3x1x2x3a

故选：ABD.

12．0

利用奇函数的定义求解.

x21x21

【详解】fx的定义域为{x|xa}，又函数fx是奇函数，

xaxa

\f(x)的定义域关于原点对称，a0，

x21x21

fx，fx，fxfx，

xx

\f(x)是奇函数，故a0.

故答案为：0.

13．0,

代入临界值即可得到不等式，解出即可.

【详解】因为f(x)在R上单调递增，所以02a0，解得a0，

则a的取值范围是0,.

故答案为：0,.

14．0,log2e

把问题转化为fx在0,1上的值域是gx在0,1上值域的子集，对a分类讨论即可得出答案.

【详解】当x20,1时，gx20,1．当x10,1时，记fx1的值域为M，则M0,1．

f00，函数ylnx,yx21均在0,1上单调递增，所以函数ylnx21在0,1上单调递增．

当a0时，则fx1的值域为0，符合题意；

当a0时，fx在0,1上单调递减，fx1的值域为aln2,0，不符合题意；

1

当a0时，fx在0,1上单调递增，fx的值域为0,aln2，由题意可得，aln21，解得aloge．

1ln22

综上，a的取值范围是0,log2e．

故答案为：0,log2e

1

15．(1)

b6

8

(2)

9

(3)4

（1）将根式化为分数指数幂，再利用分数指数幂的运算法则计算即可.

（2）利用零指数幂、负整数指数幂、分数指数幂的运算法则计算即可.

（3）直接利用对数的运算法则，化简计算即可.

11

12111

a2b2

【详解】（1）原式24236．

21abb

a4b3

11

22

1292148

（2）原式．

11

34399

lg520lg100

log9log32224

（3）原式1313

lg1002lg100

2

16．(1)证明见解析；

(2)证明见解析.

11

（1）式子x和y直接利用基本不等式求解；

xy

111

（2）将xy整理为xy2，利用基本不等式求解；

yxxy

1

【详解】（1）因为x0,y0，所以x2，当且仅当x1时，等号成立，

x

1

y2，当且仅当y1时，等号成立．

y

11

故xy4，当且仅当xy1时，等号成立．

xy

（2）因为x0,y0，所以xy0．

1111

xyxy22xy24，

yxxyxy

当且仅当xy1时，等号成立．

17．(1)15

2

5

(2),

4

(3)fx在,0上单调递增，证明见解析

15

（1）令fx1xx0,x0，求出x可得函数fx的零点；

2

（2）利用换元法令t1x0，则yt1t2，求出二次函数在[0，+¥)的值域即可；

，

（3）x1,x2,0，且0x1x2，用作差法比较fx1fx2的大小，得到fx1fx2，所以fx在

,0上单调递增．

【详解】（1）令fx1xx0，即1xx0，

则x2x10，且x0，

1515

解得x，即fx的零点为．

22

2

2155

（2）令t1x0，则yt1tt，

244

5

所以fx的值域为,．

4

（3）fx在,0上单调递增．证明如下：

x1,x2,0，且x1x2，

fx1fx21x1x11x2x2

1x11x21x11x2x2x11

xxx1x2x1x21

12

1x11x21x11x21x11x2

1x11x21

x1x2．

1x11x2

由x1,x2,0，且x1x2，得x1x20,1x11,1x21，

1x11x21

所以1x11，1x21，所以1x11x211,x1x20，

1x11x2

即fx1fx2，所以fx在,0上单调递增．

4x1600

18．(1)y，定义域为100,400

33

160000

(2)平方米

3

(3)800,1000

（1）作DHBC，垂足为H，线段DH与EF交于点I，求出FI，DI，利用DIF∽DHC，列式子得到

4x1600

y，x100,400；

33

4xx400

（2）由（1）得到面积Sx，利用二次函数性质求出在区间100,400上的最大值即可；

3

x1600

（3）由（1）可得周长Cx2．x100,400，利用函数单调性求出周长的取值范围为

33

800,1000.

【详解】（1）作DHBC，垂足为H，线段DH与EF交于点I．

FIx100米，DI400y米．

IFDIx100400y

因为DIF∽DHC，所以，即,．

HCDH300400

4x1600

所以y，定义域为100,400．

33

4x16004xx400

（2）设矩形EFGB的面积为Sx平方米，由（1）可得Sxxyx．

333

由二次函数的性质知，其图象开口向下，对称轴为直线