【走向高考】2012届高三数学一轮复习 5-5同步练习 北师大版

用心 爱心 专心 1 一 选择题 1 2010 安徽理 i 是虚数单位 i 3 3i A i 1 4 3 12 B i 1 4 3 12 C i 1 2 3 6 D i 1 2 3 6 答案 B 解析 i 3 3i i 3 3i 3 3i 3 3i i 故选 B 3 3i 12 1 4 3 12 2 2010 山东理 已知 b i a b R R 其中 i 为虚数单位 则a b a 2i i A 1 B 1 C 2 D 3 答案 B 解析 ai 2 a 2i i i a 2i i2 b 2 a 1 故a b 1 3 2009 海南 复数 3 2i 2 3i 3 2i 2 3i A 0 B 2 C 2i D 2i 答案 D 解析 本题主要考查复数的运算 用心 爱心 专心 2 3 2i 2 3i 3 2i 2 3i 3 2i 2 3i 3 2i 2 3i 2 3i 2 3i 2i 26i 13 4 2009 广东 设z是复数 z 表示满足zn 1 的最小正整数n 则对虚数单位 i i A 8 B 6 C 4 D 2 答案 C 解析 考查阅读理解能力和复数的概念与运算 z 表示使zn 1 的最小正整数n 又使 in 1 成立的最小正整数n 4 i 4 5 已知z 2 i 1 i 为虚数单位 则复数z在复平面上所对应的点位于 1 i A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 分析 本题主要考查复数的运算 解题时要注意 i 的运用 1 i 答案 D 解析 z 2 i 1 2 i 1 i 1 i 3 i 故选 D 6 复数z i 在映射f下的象为 i 则 1 2i 的原象为 z A 2 B 2 i C 2 i D 1 3i 答案 A 解析 由题意可令f z i i 1 2i z 2 i z 2 i 原象为 2 i i 2 z 1 2i i 7 2010 陕西理 复数z 在复平面上对应的点位于 i 1 i 用心 爱心 专心 3 A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 答案 A 解析 z i 对应点在第一象限 i 1 i 1 2 1 2 8 2010 浙江理 对任意复数z x yi x y R R i 为虚数单位 则下列结论正确的 是 A z 2y z B z2 x2 y2 C z 2x z D z x y 答案 D 解析 z x yi x yi 有 z 2yi 2 y A 错 C 错 z2 x yi zz 2 x2 y2 2xyi B 错 故选 D 二 填空题 9 使不等式 m2 4m 3 i 10 m2 m2 3m i 成立的实数m 答案 3 解析 只有两个复数都为实数才可以比较大小 Error m 3 10 若z1 a 2i z2 3 4i 且为纯虚数 则实数a的值为 z1 z2 答案 8 3 解析 设 bi b R R 且b 0 z1 bi z2 即a 2i bi 3 4i z1 z2 4b 3bi Error a 8 3 11 给出下列命题 若z C C 则z2 0 若a b R R 且a b 则a i b i 若 a R R 则 a 1 i 是纯虚数 若z 则z3 1 对应的点在复平面内的第一象限 其中正 1 i 确的命题是 写出你认为正确的所有命题的序号 答案 解析 x R R 时 x2 0 但z C时 z2 0 不成立 如 1 i 2 2i 故 错 不全为 用心 爱心 专心 4 实数的两个复数不能比较大小 故 错 当a 1 时 a 1 i 0 不是纯虚数 故 错 z i z3 1 1 i 在复平面内对应点在第一象限 故 对 1 i 三 解答题 12 若 i 是虚数单位 求满足 p qi 2 q pi 的实数p q 解析 由 p qi 2 q pi 得 p2 q2 2pqi q pi 所以Error 解得Error 或 Error 或Error 或Error 13 已知z是复数 z 2i 均为实数 i 为虚数单位 且复数 z ai 2在复平面上 z 2 i 对应的点在第一象限 求实数a的取值范围 解析 设z x yi x y R R z 2i x y 2 i 由题意得y 2 x 2i 2 i 2x 2 x 4 i 由题意得x 4 z 4 2i z 2 i x 2i 2 i 1 5 1 5 1 5 z ai 2 12 4a a2 8 a 2 i 根据条件 可知Error 解得 2 a 6 a的取值范围是 2 6 14 已知m R R 复数z m2 2m 3 i 当m为何值时 1 z R R 2 z是 m m 2 m 1 纯虚数 3 z对应的点位于复平面第二象限 4 z对应的点在直线x y 3 0 上 分析 复数z a bi a b R R 当且仅当b 0 时 z R R 当且仅当a 0 且b 0 时 z为纯虚数 当a0 时 z对应的点位于复平面的第二象限 复数z对应的点的坐标是 直线方程的解 这个点就在这条直线上 解析 1 由m2 2m 3 0 且m 1 0 得m 3 故当m 3 时 z R R 2 由Error 解得m 0 或m 2 当m 0 或m 2 时 z为纯虚数 3 由Error 解得m 3 或 1 m 2 故当m 3 或 1 m0 OB OA AB 所以v 8 故 6 8 AB 2 由 10 5 得B 10 5 OB 所以直线OB的方程为y x 1 2 由条件可知圆的标准方程为 x 3 2 y 1 2 10 所以圆心坐标为 3 1 半径为 10 设圆心 3 1 关于直线OB的对称点为 x y Error 解得Error 故所求圆的方程为 x 1 2 y 3 2 10 用心 爱心 专心 7 例 2 如图所示 若点D是 ABC内一点 并且满足 AB2 CD2 AC2 BD2 求证 AD BC 分析 借助向量的减法 分别表示出向量 然后代入已知条件 证明 证明 设 c c b b m m 则 AB AC AD m m c c m m b b BD AD AB CD AD AC AB2 CD2 AC2 BD2 c c2 m m b b 2 b b2 m m c c 2 即 c c2 m m2 2m m b b b b2 b b2 m m2 2m m c c c c2 即 2m m c c b b 0 即 0 AD AB AC 0 AD BC AD CB 二 函数与方程思想在向量解题中的应用 平面向量的坐标运算使平面向量代数化 而向量与代数中的函数最值等问题结合 即是 通过向量的数量积的坐标运算联系起来的 向量与其他知识的结合 已成为高考命题的热 点 例 3 已知a a 1 b b 且存在实数k和t 使得x x a a t2 3 3 1 2 3 2 b b y y ka a tb b 且x x y y 试求的最小值 k t2 t 分析 本题借助x x y y建立k与t的函数关系 再利用函数的有关知识解决 解析 a a 1 b b a a 2 b b 3 1 2 3 2 3 2 1 2 1 1 2 2 3 2 2 a a b b 1 0 故有a a b b 3 1 2 3 2 由x x y y 得 a a t2 3 b b ka a tb b 0 即 ka a2 t3 3t b b2 t kt2 3k a a b b 0 k a a 2 t3 3t b b 2 0 将 a a 2 b b 1 代入上式得 4k t3 3t 0 k t2 4t 3 t 2 2 t3 3t 4 k t2 t 1 4 1 4 7 4 用心 爱心 专心 8 故当t 2 时 有最小值 k t2 t 7 4 三 整体思想在向量中的应用 向量具有几何和代数的双重性 数与形的紧密结合是向量的特点 向量的坐标表示 实 际上是向量的代数表示 引入向量的坐标表示后 使向量的运算坐标化 即代数化 平面向 量与点A x y 之间建立了一一对应关系 对平面向量来讲既有大小又有方向 是一个整 OA 体 对 x y x y 也是一个整体 向量的许多运算都可以用这个 整体 来解决 OA 这就是向量的坐标运算的整体思想 例 4 如图所示 在 Rt ABC中 已知BC a 若长为 2a的线 段PQ以点A为中点 问 与的夹角 取何值时 的值最 PQ BC BP CQ 大 并求出这个最大值 分析 解答本题的关键是要结合图形 利用向量的三角形法则 找出向量之间的关系 或建立适当的坐标系 利用向量的坐标形式来 解答 解析 以直角顶点A为坐标原点 两直角边所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系 设B b 0 C 0 c 所以b2 c2 a2 设P点坐标为 x y 则Q点坐标为 x y 且x2 y2 a2 则 x b y x y c BP CQ x b x y y c x2 y2 bx cy BP CQ 又 b c 2x 2y BC PQ 而 2a2cos 2bx 2cy BC PQ a2cos a2 BP CQ 当 cos 1 时 有最大值 0 即当 0 即与的方向相同 时 BP CQ PQ BC 最大 最大值为 0 BP CQ 四 数形结合思想在向量解题中的应用 利用向量解决平面几何问题是一种基本方法 以向量为工具 应用向量的加 减法的几 何意义 也可用基底或坐标表示 然后经过推理论证得出结论 高考中向量与平面几何的结 合越来越密切 甚至在整个解析几何综合题中充当 主角 例 5 已知AC BD是四边形ABCD的对角线 且AC和BD互相平分 求证 四边形 ABCD是平行四边形 用心 爱心 专心 9 分析 利用向量证明四边形为平行四边形时 只需证明表示四边形两条对边的向量相 等即可 证明 如图所示 设四边形ABCD的对角线AC BD交于点O 且互相平分 于是 则 AO OC OB DO AB AO OB OB AO DO 因此 且 OC DC AB DC AB DC 所以四边形ABCD为平行四边形 五 分类讨论思想在复数中的应用 分类讨论又称逻辑划分 是中学数学中最常用的数学思想之一 也是高考中常考常新的 数学思想 分类讨论的关键是划分标准恰当准确 从而对问题分类依次求解 综合推断出问 题的结论 分类必须满足互斥 无漏 最简的原则 用集合子集来看待分类 应该是 交空并全 的完全分类 分类讨论的数学思想在复数中主要体