浅谈数学草图教学

浅谈高中数学教学中的草图教学 摘要摘要 数学中运用大量数学术语和符号 具有高度抽象的特点 很不直观 因 此用图形语言来诠释和解答数学问题就显得生动直观 在初等数学中 涉及到 许多利用草图就可以解决的问题 体现了数形结合的数学思想方法 本文就讨 论高中数学教学中草图教学的必要性及案例分析 最后作出几点思考 关键词关键词 高中数学教学 草图 数形结合思想 一 高中数学数学中草图教学的必要性 1 首先 草图对快速的解题和准确的解题很重要 一个标准的作图 结 论很直观 2 在一定程度上体现了数学的本质特征 草图教学的核心就是数形结合 思想 更能体现数学对现实世界空间形式的研究 把数学问题中的数量关系和 空间形式相结合起来加以考察的处理数学问题的方法 称之为数形结合的思想 方法 运用数形结合思想解题的类型及思维方法有三种 由形化数 由数 化形 数形转换 3 草图教学可以提高学生的数学学习兴趣 数形结合的思想的使用往往 偏重于由 数 到 形 的转化 草图可以将抽象的数学语言与直观的图形结 合起来 使抽象思维与形象思维结合起来 从而使学生易学 乐学 二 高中数学数学中的草图教学案例 1 涉及草图的一些知识点 在一维空间 实数与数轴上的点建立一一对应关系 在二维空间 实数对 与坐标平面上的点建立一一对应关系 特别是在集合 函数 不等式 数列 向量 解析几何 导数等能够用图形表述的知识点 就要用数到形的转化 在 立体几何中有关垂直 平行 夹角 距离 面积 体积的问题中 草图也尤显 重要 在集合问题中主要借助文氏图和数轴 对于不等式表示的集合 表示并进 行集合的交 并 补的运算 草图在解决与函数及其性质有关的问题时可起到 事半功倍的效果 函数是高中数学的一条主线 基于函数的图象表示法 对五 种基本初等函数的教学 数形结合的思想在研究函数性质时地位比较突出 通 过描点法或图象变换作出一些抽象函数草图解决问题或进行研究也易着手 有 时借助导函数的图象 在不等式部分 用序轴标根法解简单一元高次不等式 分式不等式和几何意义解含绝对值的不等式 利用不等式表示的平面区域解答 线性规划问题都要涉及草图 在几何部分 不论是直线问题还是曲线问题 平 面知识还是立体知识 考察位置关系还是数量关系 都应有对应的合理的草图 因此 识别 绘制和运用草图在教学中不容忽视 2 几个草图教学的例子 限于函数部分 类型一 函数图象的交点 例 1 方程的解有 2sin23xx A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 解析 如图 1 所示 作与的图象可得其交点为 3 个且在sin2yx 3 2 x y 上 故选 C 0 2x y 图 1 图 2 例 2 函数 1 1 ln x xxf的零点的个数是 A 3 个B 2 个C 1 个D 0 个 1 0 x 解 1 1 ln x xxf的零点 即使 1 ln0 1 x x 作函数lnyx 的图象和函数 1 1 y x 的图象如图 2 所示 有两个交点 所以函数有两个零点 故选B 评注 函数 1 1 ln x xxf的零点的个数就是方程 1 ln0 1 x x 的解的个数 要通过数形结合 画出函数的图象的交点的个数对于象本题这样的超越函数的 解的个数问题常常用数形结合的思想解答 变式 1 已知最小正周期为 2 的函数 当时 则 yf x 1 1x 2 f xx 函数的图象与的图象的交点个数为 借 yf xxR 5 log yx 助图 3 变式 2 在平面直角坐标系中 若曲线与直线有且只有一xOy 2 4xy xm 个公共点 则实数 借助图 4 m 图 3 图 4 类型二 函数的性质方面 例 3 设函数是定义在 R R 上的奇函数 若当时 f x 0 x 则满足的的取值范围是 lgf xx 0f x x 图 5 图 6 图 7 解析 根据题意画出函数的草图 由图象可知的的取值范 f x 0f x x 围是或 10 x 1x 答案 1 01 变式 1 已知函数为偶函数 在上为减函数 并且 则不 f x 0 60f 等式的解集为 借助图 6 0 xf x 变式 2 若关于的方程的一个根在 2 0 内 另一个根在x 2 350 xxa 1 3 内 则的取值范围是 借助图 7 a 类型三 简单综合问题 例 4 设二元一次不等式组所表示的平面区域为 使函数 2190 80 2140 xy xy xy M 的图象过区域的的取值范围是 0 1 x yaaa Ma A 1 3 B 2 10 C 2 9 D 9 10 解析 画出可行域如图 8 图 8 图 9 由得交点A 1 9 由得交点B 3 8 80 2190 xy xy 2140 2190 xy xy 当的图象过点A 1 9 时 x ya 9a 当的图象过点B 3 8 时 x ya 2a 故选 C 29a 变式 已知函数 若 则 2 11f xx 12 01xx A B C D 以上都不正确 12 12 f xf x xx 12 12 f xf x xx 12 12 f xf x xx 由函数 2 11yx 得 2 2 110 xyy 知 2 11yx 的图象为圆 12 x x x y B O 2 2 11xy 的上半圆 如图 9 当时 和分别为 12 01xx 1 1 f x x 2 2 f x x OA OB的斜率 由图可知 OAOB kk 故选 A 12 12 f xf x xx 三 高中数学数学中草图教学的几点思考 1 强调掌握优异的作图技能非常重要 关于作图 必需的工具 尺规 铅笔 橡皮 优异的作图技能 包括以下几个要素 画坐标系 要横平竖直 尽量按标度来画 在坐标系中画图尽量采用取点法 关于空间立体图形的直观 图作图 要注意其中线 面关系 线线 线面 面面 的处理 一方面 对平 行 相交 垂直等位置关系处理好 另一方面 要处理好长度 角度的度量 例如 已知扇形 OAB 的圆心角的弧度为 4 半径为 3 求的面积 正确的OAB 作图中圆心角不是锐角或钝角 而是介于和之间 2 3 2 注意平时教学中识图 作图 用图能力的训练 通过借鉴教科书和其 他资料中典型图的作法 养成良好的作图习惯 感受其中的数学美和图形美 另外 可以设计专门的辅导 有意识的对不同类型的草图进行对比 挑选比较 直观的 舒服的 对解题最方便的草图 例如 在立体几何当中 对同一个问