二重积分计算

第二节第二节二重积分的计算二重积分的计算 这一节我们来讨论如何进行二重积分的计算 很显然用其定义来计算是很复杂的 一 矩形上的二重积分的计算 为了方便我们先给出矩形上的二重积分的计算的方法 定理定理 12 4 若函数 f x y 是矩形 a b c d 上的可积函数 若对每一个 x a b 积D 分 d c dyyxfxh 存在 则 h x 在 a b 上可积 并有等式 dxdyyxfdxxhdxdyyxf b a d c b aD 它也记为 这个表达式称为二次积分二次积分或二次累次积分二次累次积分 也简称为累次积分累次积分 b a d c dyyxfdx 证明证明 在 a b 中插入若干个分点 并记bxxxxa n 210 xi xi xi 1 i 1 2 n 当令 x max xi i 1 2 n 要证 dxdyyxfxh b a d c n i ii lim 1 0 再在 c d 中插入若干个分点 dyyyyc m 210 yj yj yj 1 j 1 2 m 那么 直线 y yj j 0 1 2 m x xi i 0 1 2 n 将 D 分成 m n 个小矩形 Dij xi 1 xi yj 1 yj i 1 2 n j 1 2 m 当记 inf ijij Dyxyxfm sup ijij DyxyxfM m j jij m j y y ii m j jij yMdyyfhym j i 111 1 因此 n i m j ijij n i ii n i m j ijij xyMxhxym 11111 注意到 此式的左右两端正是 f x y 在矩形上以此分划的 Darboux 小和及大和 D 再令令 y max yi i 1 2 m x y 由可积性知 D n i m j ijij dxdyyxfxym lim 11 0 D n i m j ijij dxdyyxfxyM lim 11 0 又有两边夹易得 D n i ii dxdyyxfxh lim 1 0 即有 那么 D n i ii dxdyyxfxh x lim 1 0 h x 在 a b 上可积 并有等式 dxdyyxfdxxhdxdyyxf b a d c b aD 同样我们可得 定理定理 12 5 若函数 f x y 是矩形 a b c d 上的可积函数 若对每一个 y c d 积D 分 b a dxyxfyg 存在 则 g y 在 c d 上可积 并有等式 dydxyxfdyygdxdyyxf d c b a d cD 这时它也记为 也是二次积分二次积分或累次积分累次积分 d c b a dxyxfdy 引理引理 若函数 f x y 是矩形 a b c d 上的连续函数 那么D 和 b a dxyxfyg d c dyyxfxh 分别是 c d 和 a b 上的连续函数 当然也是相应区间上的可积函数 证明证明 只证 g y 是 c d 上的连续函数 由条件知 f x y 在 a b c d 上一致连续 所以 任意 0 存在 0 对任意 x1 y1 x2 y2 a b c d 只要 有 所以 2 21 2 21 yyxx 2 2211 ab yxfyxf 任意 y1 y2 c d 当 y1 y2 b a b a dxyxfdxyxfygyg 1212 b a dxyxfyxf 12 xO d x u y c x v y y 21 ab ab dx ab b a 故g y 在 c d 上的一致连续 由此可得 定理定理 12 6 若函数 f x y 是矩形 a b c d 上的连续函数 则D b a d c d c b aD dyyxfdxdxyxfdydxdyyxf 即可交换顺序 这个结论的可以放宽为 f x y 是矩形 a b c d 上的可积函数 对每一个D y c d 积分存在 对每一个 x a b 积分 y 也存在 b a dxyxfyg d c dyyxfxh 这时定理 12 6 结论仍然成立 即 b a d c d c b aD dyyxfdxdxyxfdydxdyyxf 二 一般区域上的二重积分计算 首先我们来讨论是下面一种比较特殊的区域时的情况 然后讨论一般情形 设其中D 是区间上的连续函数 这样的 xhxg ba xhyxgbxayxD 区域 D 我们称之为 型区域 当然可求面积 如图 12 2 1 所x示 当是区间上的连续函数 yvyu dc yvxyudycyxD 如图 12 2 2 称为 y 型区域 定理定理 12 7 设函数 f x y 是有界闭区域上的可积函数 U a b c d 包含 D 那么D 图 12 2 1 图 12 2 2 当令 DUyx Dyxyxf yxf 0 那么是 U 上的可积函数 并且 yxf DU dxdyyxfdxdyyxf 事实上在 D 上可积 在 U D 上也可积 由性质知在 U 上的可积 yxf yxf 定理定理 12 8 设为 型区域 f x y 是上的 xhyxgbxayxD xD 连续函数 那么 b a xh xgD dyyxfdxdxdyyxf 证明证明 令 U a b c d 包含 D 由定理 12 7 b a d cUD dyyxfdxdxdyyxfdxdyyxf 注意到 当固定 x 时 若 0 若 dyxhxgyc 或 yxf xhyxg 所以 yxfyxf b a xh xg d xh xg cD dyyxfdyyxfdyyxfdxdxdyyxf 显然 b a xh xgD dyyxfdxdxdyyxf 例例 1 计算二重积分 其中是由直线 D xyd D 及所围成的闭区域 2 1 xyxy 解解 区域如图 12 2 3 所示 可以将它看成一个 型区域 Dx 即 1 21 xyxyxD 所以 图 12 2 3 x D xydydxxyd 1 2 1 2 1 3 2 1 1 2 8 9 2 1 2 1 2 1 dxxx dxyx xy y 也可以将看成是 型区域 于是Dy 2 21 xyyyxD 22 1y D xydxdyxyd 8 9 2 1 2 2 2 1 2 1 3 2 1 2 dyyy dyyx yx 有上面的例子可以看到 计算二重积分的关键是区域 要注意的是区域的区别 同时还 要考虑被积函数 定理定理 12 9 设为 型区域 f x y 是上的 yvxyudycyxD yD 连续函数 那么 d c yv yuD dxyxfdydxdyyxf 如果既不是 型区域也不是 y 型区域 如图 12 2 4Dx 我们可以将分划成若干个 x 型区域和 y 型区域的并 D 例 例 计算二重积分 其中是有抛物线及所围成的有界 D xyd Dxy 2 2 xy 图 12 2 4 D1 D2 1cos1cossin sinsinsin 1 0 1 0 1 0 0 1 00 xxdx dxy x x dy x x dxd x x x x D 闭区域 解 如图 12 2 4 区域可以看成是 型区域 它表示为Dy 所以 2 21 2 yxyyyxD 8 452 2 1 2 1 2 2 1 2 2 2 dy x yxydxdyxyd y y y y D 我们也可以将看成是两个 型区域的并集 Dx 21 D D 如图 1 2 5 其中 2 41 10 2 1 xyxxyxD xyxxyxD 所以积分可以写为两个二次积分的和 即 1 0 4 22 x x x x D xydydxxydydxxyd 最后可以算出同样的结果 当然这样计算可能要麻烦一点 所以识别区域很重要 还有一点要注意的是 有的区域尽管既是 型的 又是 型xy 的 但是在计算时候 可能将它看成其某中一种时 计算不出来 比如下面的例子 例 例 计算二次积分 1 0 1sin y dx x x dy 分析 直接按照这个顺序是计算不出来的 尽管的原函数是存在的 但是还是无 x xsin 法求出其表达式 我们可以考虑将这个积分先化为二重积分 再换成另外一种二次积分来 计算 解解 其中是如图 1 2 6 所示的区域 将它看成是 D y d x x dx x x dy sinsin 1 0 1 D 型区域 有 所以x 0 10 xyxyxD 图 12 2 5 图 12 2 6 图 12 2 7 上面例子的方法常称为交换积分次序交换积分次序 可以看出 有时候计算时需要交换二次积分的积 分次序 而使得计算简单 有时候如不交换次序 是难以计算出结果 设 如果 f x 和 g y 分别在 a b 和 c d 上可积 则 dycbxayxD f x g y 在 D 上可积 并有 b a d c D dyygdxxfdygxf 读者可以自己验证上面的结论 例 例 计算 D dyx 22 其中 11 10 yxyxD 解解 由上面的讨论 有 D dyx 22 1 0 2 1 1 2 dyyxdx 9 2 3 2 3 1 1 0 1 1 22 dyydxx 例 例 求由曲面与所围的体积 22 yxz 1 z V 解 解 此立体如图 1 2 7 所示 它的体积可以看 成是一个圆柱体体积减去一个曲顶柱体体积 圆柱体的体积是 曲顶柱体的顶 2 1 1V 是 底为区 22 yxz 域 所以其体积为 1 22 yxyxD D x x dyyxdxdyxV 2 2 1 1 22 1 1 22 2 2 所以此立体体积为 22 在这里积分的计算尽管可以计算出来 但是是比较复杂的 在 2 2 1 1 22 1 1 x x dyyxdx 这里没有写出 我们将在后面用其它的方法来计算这个二次积分 本节最后将给出前面积分运算的几何解释 当是有界闭区域上的连续函数且时 二重积分表 yxf D 0 yxf D dyxf 示的是以为底 以为顶的曲顶柱体的体积 如图 1 2 8 所示 它的体积可以通D yxf 过计算这个二重积分得到 我们下面通过另外的一种途径来求其体积 我们采用的方法是定积分的微元法 以为积分变量 其变化区间为 x ba 求在的一个小的子区间上所对应的曲顶柱体的体积 这是一个小 ba dxxx 的曲顶柱体 将它近似为一个截面已知的立体的体积 接下来就是计算这个截面面积 将 对于任意的 用平面去截曲顶柱体得到截面 即 bax 0 0 xx yxfz xx 0 它在平面上的投影是一个如图 2 所示的曲边梯形 其面积为 yxfz xx 0 0 yoz xh xg dyyxfxA 00 一般地 当变动时 有截面面积 xh xg dyyxfxA 于是区间所对 0 x dxxx 应的小曲顶柱体体积为 所以曲顶柱体的体积为 dxdyyxfdxxAdV xh xg b a b a xh xg dxdyyxfdxxAV 这样的积分实际上是积分两次 即先对积分 再对积分 即二次积分 也记为yx b a xh xg dyyxfdx 图 12 2 8图 12 2 9 习题习题 12 2 1 求下列函数的二重积分 这里 D 0 1 0 1 D dxdyyxf 1 1 1 0 1 yx yxyx yxf 2 1 1 0 22 yx yxyx yxf 3 otherwise xyxyx yxf 2 0 22 2 设 f x 是 a b 上的连续函数 证明 2 2 b a b x b a dxxfdxdyyfxf 3 求下列二重积分 1 D dxdyyx 23 20 xyxxyxD 2 D dxdy x y 1 4 2 20 21 xyxyxD 3 D y x dxdye 21 3 yxyyyxD 4 D y dxdye 2 0 10 yxyyxD 5 是由原点为中心 2 为半径的圆周所围的有界区域 D dyx 2 D 6 是由 0 0 1 2 和 0 3 为顶点的三角形所围的有界区域 D dxy 2 D 7 其中 D 是矩形区域 x 1 y 1 D dyx 22 8 其中 D 是轴 轴与直线所围成闭区域 D dyx 23 xy2 yx 9 其中 D 是矩形闭区域 0 x 1 0 y 1 D dyyxx 3 322 10 其中 D 是顶点分别为 0 0 0 和 的三角 D dyxx cos 形闭区域 4 交换下列的积分顺序 1 2 2 9 9 3 0 x x dyyxfdx 2 y dxyxfdy 9 0 3 0 3 4 arctan 1 0 x dyyxfdx 4 yy dxyxfdydxyxfdy 3 0 3 1 2 0 1 0 5 6 7 1 00 y dxyxfdy 1 0 1 1 2 2 y y dxyxfdy 7 8 2 0 2 2 y y dxyxfdy ex dyyx