以不变应万变

1 以不变应万变以不变应万变 教学设计教学设计 番禺区市桥桥兴中学 梁丽仪 题目 第 5 题 如图 如图 ABC 为等腰三角形 为等腰三角形 BDC 和和 ACE 分别为等边三分别为等边三 角形 角形 AE 与与 BD 相交于点相交于点 F 连接 连接 CF 并延长 交并延长 交 AB 于点于点 G 求证 求证 G 为为 AB 的中点 的中点 一 教学目标 1 理解垂直平分线的性质与判定定理 线段垂直平分线上的点到线段两端的距 离相等 反之 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上 2 运用等腰三角形 等边三角形的性质与判定 3 初步应用转化的数学思想 二 题目背景 本题目出自初中数学八年级上册第 93 页 复习题 之 拓广探索 第 14 题 这道题是第十三章 轴对称 的一道课外拓展题 它涉及的知识点有 1 等腰 三角形的性质与判定 2 等边三角形的性质 3 轴对称的性质 4 垂直平分 线的性质与判定等 三 教学过程 一 题目分析 如图 由题目的已知条件 ABC 为等腰三角形 BDC 和 ACE 分别为等边三角形 可知 题目这里隐含了条件 BDC 和 ACE 为全等的等边三 角形 所以 CAE CBD 60 由题目的条件 等腰 等边 比较容易想到 等边对等角 等角对等边 这两个重要性质定理 从而实现等边 等角 再等边的转化 另外 要证明 G 是 AB 的中点 可以运用本章的重点内容 垂直 平分线 性质进行证明 二 解题过程 证明 AC BC CAB CBA BDC 和 ACE 分别为等边三角形 2 CAE CBD 60 CAB CAE CBA CBD 即 BAE DBA FA FB CA CB FA FB C 在 AB 的中垂线上 F 在 AB 的中垂线上 即 CF 垂直平分 AB G 为 AB 的中点 四 总结提升 1 总结 本题目主要运用了等腰 等边 三角形性质中的 等边对等角 等角对等 边 以及轴对称图形中的中垂线的判定定理 通过这些定理的应用 把题目中 的中点证明问题转化为中垂线的证明问题 2 提升一 由题目的已知条件 ABC 为等腰三角形 BDC 和 ACE 分别为等边三角形 可知 题目这里隐 含了条件 BDC 和 ACE 为全等的等边三角形 我们 容易联想到钟摆 以点 C 旋转点 BDC 旋转一定的 角度 记做 1 后可以得到 ACE 1 提出疑问 当 1 即 DCA 在变化时 G 是 AB 的中点 这一个结论还成 立吗 当 1 在变化时 G 是 AB 的中点 这一个结论是不变的 如图所示 证明 过程与原题的过程是一致的 证明 AC BC CAB CBA BDC 和 ACE 分别为等边三角形 CAE CBD 60 CAB CAE CBA CBD 即 BAE DBA FA FB 1 1 G G F FE E B B A A D D C C 1 1 C C D D A AG GB B E E F F 3 CA CB FA FB C 在 AB 的中垂线上 F 在 AB 的中垂线上 即 CF 垂直平分 AB G 为 AB 的中点 2 提出疑问 若 BDC 顺时针旋转时 G 是 AB 的中点 这一个结论还成立吗 证明 AC BC CAB CBA BDC 和 ACE 分别为等边三角形 CAE CBD 60 CAE CAB CBD CBA 即 BAE DBA FA FB CA CB FA FB C 在 AB 的中垂线上 F 在 AB 的中垂线上 即 CF 垂直平分 AB G 为 AB 的中点 结论 当 BDC 顺时针旋转时 G 是 AB 的中点 这一个结论仍然成立 3 提出疑问 如图 G 是 AB 的中点 这一个结论还成立吗 证明 AC BC CAB CBA BDC 和 ACE 分别为等边三角形 CAE CBD 60 180 CAB CAE 180 CBA CBD 即 BAF FBA FA FB CA CB FA FB C 在 AB 的中垂线上 F 在 AB 的中垂线上 即 CF 垂直平分 AB G 为 AB 的中点 结论 G 是 AB 的中点 这一个结论仍然成立 3 思考提升 F F E E B B