2014届四川省古蔺县中学高三数学一轮复习学案：11.2《概率》（新人教A版）

11 2 概率 高考目标导航 一 随机事件的概率 1 考纲点击 1 了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性 了解概率的意义 了解频率与概率的 区别 2 了解两个互斥事件的概率加法公式 2 热点提示 1 多以选择题或填空题的形式直接考查互斥事件的概率及运算 而随机事件的有关概念 现时频率很少直接考查 2 互斥事件 对立事件发生的概率问题有时也会出现在解答题中 多为应用问题 二 古典概型 1 考纲点击 1 理解古典概型及其概率计算公式 2 会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率 2 热点提示 1 古典概型的考查主要是等可能事件的概率的求法 通常要结合互斥事件 对立事件求 概率 2 出题形式多样 各种题型均有可能出现 三 几何概型 考纲知识梳理 一 随机事件的概率 1 事件 1 在条件 S 下 一定会发生的事件 叫做相对于条件 S 的必然事件 2 在条件 S 下 一定不会发生的事件 叫做相对于条件 S 的不可能事件 3 在条件 S 下 可能发生也可能不发生的事件 叫做相对于条件 S 的随机事件 2 概率和频率 1 用概率度量随机发生的可能性大小能为我们的决策提供关键性的依据 2 在相同条件 S 下重复 n 次试验 观察某一事件 A 是否出现 称 n 次试验中事件 A 出 现的次数 A n 为事件 A 出现的频数 称事件 A 出现的比例 A n n fA n 为事件 A 出现的频率 3 对于给定的随机事件 A 由于事件 A 发生的频繁 n fA 随着试验次数的增加稳定于 概率 P A 因此可以用频率 n fA 来估计概率 P A 注 频率和概率的区别是频率随着试验次数的变化而变化 概率却是一个常数 它是频率 的科学抽象 当试验次数越来越多时 频率向概率靠近 只要次数足够多 所得频率就近 似地当作随机事件的概率 3 事件的关系与运算 定义符号表示 包含关系 如果事件 A 发生 则事件 B 一定发生 这时称事 件 B 包含事件 A 或称事件 A 包含于事件 B BAAB 或 相等关系 若B A 且 AB 那么称事件 A 与事件 B 相 等 A B 并事件 和事 件 若某事件发生当且仅当事件 A 发生或事件 B 发生 则称此事件为事件 A 与事件 B 的交事件 或和事 件 A B 或 A B 交事件 积事 件 若某事件发生当且仅当事件 A 发生且事件 B 发生 则称此事件为事件 A 与事件 B 的交事件 或积事 件 A B 或 AB 互斥事件 若 A B 为不可能事件 那么称事件 A 与事件 B 互斥 A B 对立事件 若 A B 为不可能事件 A B 为必然事件 那么 称事件 A 与事件 B 互为对立事件 注 互斥事件和对立事件都是针对两个事件而言的 在一次试验中 两个互斥的事件有可 能都不发生 也可能有一个发生 而两个对立的事件则必有一个发生 但不可能同时发生 所以 两个事件互斥 他们未必对立 反之 两个事件对立 它们一定互斥 也就是说 两个事件对立是这两个事件互斥的充分而不必要条件 4 概率的几个基本性质 二 古典概型 1 基本事件的特点 1 任何两个基本事件是互斥的 2 任何事件 除不可能事件 都可以表示成基本事件的和 2 古典概型 具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型 简称古典概型 1 试验中所有可能出现的基本事件只有有限个 2 每个基本事件出现的可能性相等 注 确定一个试验是否为古典概型主要在于这个试验是否具有古典概型的两个特征 有限 性和等可能性 3 古典概型的概率公式 A P A 包含的基本事件的个数 基本事件的总数 三 几何概型 1 定义 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度 面积或体积 成比例 则称这样的概率模型为几何概率模型 简称几何概型 2 在几何概型中事件 A 的概率计算公式 A P A 构成事件的区域长度 面积或体积 试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积 注 古典概型与几何概型中基本事件发生的可能性是相等的 但古典概型要求基本事件有 有限个 几何概型要求基本事件有无限多个 要点名师透析 一 随机事件的概率 相关链接 1 事件的判断震怒地三种事件即不可能事件 尽然事件和随机事件的概念充分理解 特别 是随机事件要看它是否可能发生 并且是在一定条件下的 它不同于判断命题的真假 2 对随机事件的理解应包含下面两个方面 1 随机事件是指一定条件下出现的某种结果 随着条件的改变其结果也会不同 因此必 须强调同一事件必须在相同的条件下研究 2 随机事件可以重复地进行大量试验 每次试验结果不一定相同 且无法预测下一次的 结果 但随着试验的重复进行 其结果呈现规律性 例题解析 例 一个口袋装有 5 个白球和 3 个黑球 从中任意取出一个球 1 取出的球是红球 是什么事件 2 取出的球是黑球 是什么事件 3 取出的球是白球或黑球 是什么事件 思路解析 结合必然事件 不可能事件 随机事件的概念求解 解答 1 由于口袋内只装有黑 白两种颜色的球 故 取出的球是红球 是不可能事件 2 由已知 从口袋内取出一个球 可能是白球也可能是黑球 故 取出的球是黑球 是 随机事件 3 由于口袋内装的黑 白两种颜色的球 故取出一个球不是黑球 就是白球鞋 因此 取出的球是白球或黑球 是必然事件 二 随机事件的频率与概率 相关链接 1 随机事件的频率 指此事件发生的次数与试验总次数的比值 它具有一定的稳定性 总 在某个常数附近摆动 且随着试验次数的不断增多 这种摆动幅度越来越小 我们给这个 常数取一个名字 叫做这个随机事件的概率 2 概率可看做频率在理论上的期望值 它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小 它是频率的科学抽象 当试验次数越来越多时频率向概率靠近 只要次数足够多 所是频 率就近似地当做随机事件的概率 例题解析 例 某篮球运动员在最近几场大赛中罚球投篮的结果如下 1 计算表中进球的频率 2 这位运动员投篮一次 进球的概率是多少 思路解析 解答本题可根据频率的计算公式 A n n fA n 其中n为相同条件下重复的试验 次数 A n 为事件 A 出现的次数 且随着试验次数的增多 频率接近概率 解答 1 由公式可计算出每场比赛该运动员罚球进球的频率依次为 2 由 1 知 每场比赛进球的频率虽然不同 但频率总是在 3 4的附近摆动 可知该运 动员投篮一次 进球的概率约为 3 4 三 互斥事件 对立事件的概率 例 一盒中装有大小和质地均相同的 12 只小球 其中 5 个红球 4 个黑球 2 个白球 1 个绿球 从中随机取出 1 球 求 1 取出的小球是红球或黑球的概率 2 取出的小球是红球或黑球或白球的概率 思路解析 设事件 分析事件的性质 根据互斥事件概率求法求解 解答 记事件 A 任取 1 球为红球 B 任取 1 球为黑球 C 任取 1 球为白球 D 任取 1 球为绿球 则 1 取出 1 球为红球或黑球的概率为 1 543 12124 PP AP B 2 取出 1 球为红球或黑球或白球的概率为 2 2 54211 12121212 111 1 1 1212 PP AP BP C PP D 或 注 1 解决此类问题 首先应结合互斥事件和对立事件的定义分析出是不是互斥事件或 对立事件 再选择概率公式进行计算 2 求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法 一是直接求解法 将所求事件的概率分解 为一些彼此互斥的事件的概率的和 运用互斥事件的求和公式计算 二是间接求法 先求 此事件的对立事件的概率 再用公式 1 P AP A 即运用逆向思维 正难则反 特 别是 至多 至少 型题目 用间接求法就显得较简便 3 互斥事件 对立事件的定义是判断两事件是否是互斥事件 对立事件的一种最有效 最简便的基本方法 也可从集合角度来判断 如果 A B 是两个互斥事件 反映在集合上 是表示 A B 两个事件所含结果组成的集合的交集为空集 即 A B 如果 A B 是对 立事件 则在 A B 的前提下 A 与 B 的并集为全集 二 古典概型 一 写出基本事件 相关链接 1 随机试验满足下列条件 1 试验可以在相同的条件下重复做下去 2 试验的所有 结果是明确可知的 并且不止一个 3 每次试验总是恰好出现这些结果中的一个 但在 试验之产却不能肯定会出现哪一个结果 所以 随机试验的每一个可能出现的结果是一个 随机事件 这类随机事件叫做基本事件 2 计算古典概型所含基本事件总数的方法 1 树形图 2 列表法 3 另外 还可以用坐标系中的点来表示基本事件 进而可计算基本事件总数 4 用排列组合求基本事件总数 例题解析 例 做抛掷两颗骰子的试验 用 x y 表示结果 其中 x 表示第一颗骰子出现的点数 y 表示第二颗骰子出现的点数 写出 1 试验的基本事件 2 事件 出现点数之和大 于 8 3 事件 出现点数相等 4 事件 出现点数之和大于 10 思路解析 抛掷两颗骰子的试验 每次只有一种结果 且每种结果出现的可能性是相同的 所以该试验是古典概型 当试验结果较少时可用列举法将所有结果一一列出 解答 1 这个试验的基本事件为 2 出现点数之和大于 8 包含以下 10 个基本事件 3 出现点数相等 包含以下 6 个基本事件 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 4 出现点数之和大于 10 包含以下 3 个基本事件 5 6 6 5 6 6 二 求简单古典概型的概率 相关链接 求古典概型概率的步骤 1 仔细阅读题目 弄清题目的背景材料 加深理解题意 2 判断本试验的结晶是否为等可能事件 设出所求事件 A 3 分别求出基本事件的总数 n 与所求事件 A 中所包含的基本事件个数 m 4 利用公式 m P A n 求出事件 A 的概率 注 并不是所有的试验都是古典概型 例如 在适宜的条件下种下一粒种子观察它是否 发芽 这个试验的基本事件空间为 发芽 不发芽 而 发芽 与 不发芽 这两种 结果出现的机会一般是不均等的 例题解析 例 如图 在一个木制的棱长为 3 的正方体表面涂上颜色 将它的棱 3 等分 然后从等 分点把正方体锯开 得到 27 个棱长为 1 的小正方体 将这些小正方体充分混合后 装入一 个口袋中 1 从这个口袋中任意取出 1 个正方体 这个小正方体的表面恰好没有颜色的概率是多少 2 从这个口袋中同时任意取出 2 个小正方体 其中 1 个小正方体恰好有 1 个面涂有颜色 另 1 个小正方体至少有 2 个面涂有颜色的概率是多少 思路解析 该模型为古典概型 基本事件个数是有限的 并且每个基本事件的发生的等可 能的 解答 在 27 个小正方体中 恰好 3 个面都涂有颜色的共 8 个 恰好 2 个面涂有颜色的共 12 个 恰好 1 个面涂有颜色的共 6 个 表面没涂颜色的确个 1 从 27 个小正方体中任意取出 1 个 共有 1 27 27C 种等可能的结果 因为在 27 个小 正方体中 表面没涂颜色的只有 1 个 所以从这个口袋中任意取出 1 个小正方体 而这个 小正方体的表面恰好没涂颜色的概率是 1 27 P 2 从 27 个小正方体中 同时任取 2 个 共 2 27 C 种等可能的结果 在这些结果中 有 1 个小正方体恰好有 1 个面涂有颜色 另 1 个小正方体至少有 2 个面涂有颜色包含的结果有 111 6128 C CC 种 所以从这个口袋中同时任意取出 2 个小正方体 其中 1 个小正体恰好有 1 个面涂有颜色 另 1 个小正方体至少有 2 个面涂有颜色的概率是 111 6128 2 27 40 117 C CC P C 三 复杂的古典概型的概率求法 例 袋中有 6 个球 其中 4 个白球 2 个红球 从袋中任意取出 2 个球 求下列事件的 概率 1 A 取出的 2 个球都是白球 2 B 取出的 2 个球中 1 个是白球 另 1 个是红球 思路解析 用列举法求出基本事件总数 n 求出事件 A B 包含的基本事件数 m 根据古 典概型公式坟概率 解答 设 4 个白球的编号为 1 2 3 4 2 个红球的编号为 5 6 从袋中的 6 个小球中任 取 2 个的方法为 共 15 种 1 从袋中的 6 个球中任取 2 个 所取的 2 个球全是白球的方法总数 即是从 4 个白球中 任取 2 个的方法总数 共有 6 种 即 1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4 取出的 2 个 球全是白球的概率为 62 155 P A 2 从袋中的 6 个球中任取 2 个 其中 1 个为红球 而另 1 个为白球 其取法包括 1 5 1 6 2 5 2 6 3 5 3 6 4 5 4 6 共 8 种 取出 的 2 个球中 1 个是白球 另 1 个是红球的概率为 8 15 P B 注 1 在古典概型条件下 当基本事件总数为 n 时 每一个基本事件发生的概率均为 1 n 要求事件 A 的概率 关键是求出基本事件总数 n 和事件 A 中所含基本事件数 m 再 由古典概型概率公式 m P A n 求出事件 A 的概率 2 含有 至多 至少 等类型的概率问题 从正面突破比较困难或者比较繁琐时 可 考虑其反面 即对立事件 然后应用对立事件的性质 1 P AP A 进一步求解 三 几何概型 一 与长度有关的几何概型 相关链接 1 如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示 则其概率的计算公式为 P A A构成事件的区域长度 试验的全部结果所构成的区域长度 2 将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点 该区域中每一点被取到 的机会都一样 而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的 点 这样的概率模型就可以用几何概型来求解 例题解析 例 在半径为 1 的圆内一条直径上任取一点 过这个点作垂直于直径的弦 则弦长超过 圆内接的等边三角形边长的概率是 思路解析 解决概率问题先判断属于什么概率模型 本题属几何概型 把问题转化为化成 直径上到圆心 O 的距离小于 1 2的点构成的线段长与直径长之比 解答 记事件 A 为 弦长超过圆内接等边三角形的边长 如图 不妨在过等边三角形 BCD 的顶点 B 的直径 BE 上任取一点 F 作垂直于直径的弦 当弦为 CD 时 就是等边三角形的边长 弦长大于 CD 的充要条件是圆心 O 到弦的距离小于 OF 此时 F 为 OE 中点 由几何概型公式得 1 2 1 2 22 P A 答案 1 2 二 与面积 体积 有关的几何概型 相关链接 1 如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用面积表示 则其概率的计算公式为 A P A 构成事件的区域面积 试验的全部结果所构成的区域面积 2 面积比 是求几何概率的一种重要类型 也是在高考中常考的题型 3 如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用体积表示 则其概率的计算公式为 A P A 构成事件的区域体积 试验的全部结果所构成的区域体积 注 解决此类问题一定要注意几何概型的条件 例题解析 例 如图 射箭比赛的箭靶涂有 5 个彩色的分环 从外向内依次为白色 黑色 蓝色 红色 靶心为金色 金色靶心叫做 黄心 奥运会的比赛靶面直径是 122cm 靶心直径是 12 2cm 运动员在 70 米外射箭 假设运动员射的箭都能中靶 且射中靶面内任一点是等可 能的 那么射中 黄心 的概率是多少 思路解析 求出大圆的面积 n 求出 黄心 的面积 m 由几何概型的概率求法得 m P A n 解答 记 射中黄心 为事件 B 由于中靶点随机地落在面积为 22 1 122 4 ncm 的 大圆内 而当中靶点落在面积为 22 1 12 2 4 mcm 的黄心时 事件 B 发生 于是事 件 B 发生的概率为 2 2 1 12 2 4 0 01 1 122 4 m P B n 即 射中黄心 的概率是0 01 三 生活中的几何概型 例 两人约定在 20 00 到 21 00 之间相见 并且先到者必须等迟到者 40 分钟方可离去 如果两人出发是各自独立的 在 20 00 到 21 00 各时刻相见的可能性是相等的 求两人 在约定时间内相见的概率 思路解析 两人不论谁先到都要等迟到者 40 分钟 即 2 3小时 设两人分别于 x 时和 y 时 到达约见地点 要使两人在约定的时间范围内相见 当且仅当 22 33 xy 因此转化 成面积问题 利用几何概型求解 解答 设两人分别于 x 时和 y 时到达约见地点 要使两人能在约定时间范围内相见 当且 仅当 22 33 xy 两人到达约见地点所有时刻 x y 的各种可能结果可用图中的单位 正方形内 包括边界 的点来表示 两人能在约定的时间范围内相见的所有时刻 x y 的 各种可能结果可用图中的阴影部分 包括边界 不表示 因此阴影部分与单位正方形的面 积比就反映了两人在约定时间范围内相遇的可能性的大小 也就是所求的概率为 2 2 1 1 8 3 19 S P S 阴影 单位正方形 注 对于活生生中的几何概型问题 1 要注意实际问题中的可能性的判断 2 将实际问题转化为几何概型中的长度 角度 面积 体积等常见几何概型的求解问题 构造出随机事件 A 对应的几何图形 利用几何图形的度量来求随机事件的概率 根据实际 问题的具体情况 合理设置参数 建立适当的坐标系 在此基础上将试验的每一个结果一 一对应于该坐标系的点 便可构造出度量区域 3 如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用角度来表示 则其概率公式为 A P A 构成事件的区域角度 试验的全部结果所构成区域的角度 解决此类问题事件 A 的角必须含在事件 的全部构成的角之内 感悟高考真题 1 2011 广东高考理科 6 甲 乙两队进行排球决赛 现在的情形是甲队只要再赢一 局就获冠军 乙队需要再赢两局才能得冠军 若两队胜每局的概率相同 则甲队获得冠军的 概率为 A 1 2 B 3 5 C 2 3 D 3 4 答案 选 D 由题意知 乙队胜的概率为 4 1 2 1 2 1 由对立事件概率公式得 甲队获胜 的概率为 4 3 4 1 1 P 故选 D 2 2011 安徽高考文科 9 从正六边形的 6 个顶点中随机选择 4 个顶点 则以它们作 为顶点的四边形是矩形的概率等于 A 1 10 B 1 8 C 1 6 D 1 5 答案 选 D 基本事件总数是 4 6 C 15 观察可得构成 3 个矩形 所以是矩形的概率为 5 1 15 3 3 2011 福建卷理科 4 如图 矩形 ABCD 中 点 E 为边 CD 的中点 若在矩形 ABCD 内部随机取一个点 Q 则点 Q 取自 ABE 内部的概率等于 A 1 4 B 1 3 C 1 2 D 2 3 答案 选 C 由题意知 1 1 2 2 ABE ABCD AB BC S P SAB BC A 4 2011 福建卷文科 7 如图 矩形 ABCD 中 点 E 为边 CD 的中 点 若在矩形 ABCD 内部随机取一个点 Q 则点 Q 取自 ABE 内部的概 率等于 A 1 4 B 1 3 C 1 2 D 2 3 答案 选 C 由题意知 1 1 2 2 ABE ABCD AB BC S P SAB BC A 5 2011 新课标全国高考理科 4 有 3 个兴趣小组 甲 乙两位同学各自参加其中一 个小组 每位同学参加各个小组的可能性相同 则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率 为 A 1 3 B 1 2 C 2 3 D 3 4 答案 选 A 先从 3 个兴趣小组中选 1 个 有 1 3 3C 种方法 乙两位同学都参加这个兴趣小组的概率为 111 339 故这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 12 3 11 33 C 6 2011 新课标全国高考文科 6 有 3 个兴趣小组 甲 乙两位同学各自参加其中一 个小组 每位同学参加各个小组的可能性相同 则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率 为 A 1 3 B 1 2 C 2 3 D 3 4 答案 选 A 先从 3 个兴趣小组中选 1 个 有3种方法 乙两位同学都参加这个兴趣小组的概率为 111 339 故这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 2 11 3 33 7 2011 辽宁高考理科 5 从 1 2 3 4 5 中任取 2 个不同的数 事件 A 取到的 2 个 数之和为偶数 事件 B 取到的 2 个数均为偶数 则 P B A A 1 8 B 1 4 C 2 5 D 1 2 答案 选 B 从 1 2 3 4 5 中任取 2 个不同的数 共有 10 个基本事件 1 2 1 3 1 4 1 5 2 3 2 4 2 5 3 4 3 5 4 5 事件 A 发生共 有 4 个基本事件 1 3 1 5 3 5 2 4 事件 B 发生共有 1 个基本事件 3 5 事件 A B 同时发生也只有 1 个基本事件 3 5 根据条件概率公式得 1 4 P AB P B A P A 8 2011 陕西高考理科 T10 甲乙两人一起去游 2011 西安世园会 他们约定 各自 独立地从 1 到 6 号景点中任选 4 个进行游览 每个景点参观 1 小时 则最后一小时他们同 在一个景点的概率是 A 1 36 B 1 9 C 5 36 D 1 6 答案 选 D 甲乙两人各自独立任选 4 个景点的情形共有 44 66 AA 种 最后一小时他们 同在一个景点的情形有 33 55 6AA 种 所以 33 55 44 66 61 6 AA P AA 9 2011 浙江高考理科 9 有 5 本不同的书 其中语文书 2 本 数学书 2 本 物理书 1 本 若将其随机地并摆放到图书架的同一层上 则同一科目的书都不相邻的概率是 A 1 5 B 2 5 C 3 5 D 4 5 答案 选 B 解法一 基本事件总数为 5 5 120A 同一科目中有相邻情况的有 4242322 4242322 72A AA AA A A 个 故同一科目都不相邻的概率是 120722 1205 解法二 由古典概型的概率公式得 5 22 1 5 5 2 2 2 2 3 3 2 3 2 2 2 2 A AAAAAA P 10 2011 浙江高考文科 8 从装有 3 个红球 2 个白球的袋中任取 3 个球 则所取 的 3 个球中至少有 1 个白球的概率是 A 1 10 B 3 10 C 3 5 D 9 10 答案 选 D 从装有 3 个红球 2 个白球的袋中任取 3 个球共有 3 5 10C 个基本事件 所取的 3 个球中至 少有 1 个白球的反面为 3 个球均为红色 有 1 个基本事件 所以所取的 3 个球中至少有 1 个白球的概率是 19 1 1010 11 2011 江西高考理科 12 小波通过做游戏的方式来确定周末活动 他随机地往单 位圆内投掷一点 若此点到圆心的距离大于 1 2 则周末去看电影 若此点到圆心的距离小 于 1 4 则去打篮球 否则 在家看书 则小波周末不在家看书的概率为 答案 3 16 1 记 看电影 为事件 A 打篮球 为事件 B 不在家看书 为事件 C 22 11 131 24 1 144116 3113 41616 P P A A 1 1 P P B B P P C C P P A A P P B B 12 2011 湖南高考理科 T15 如图 4 EFGH 是以 O 为圆心 半径为 1 的 圆的内接正方形 将一颗豆子随机地扔到该圆内 用 A 表示事件 豆子落在正 方形 EFGH 内 B 表示事件 豆子落在扇形 OHE 阴影部分 内 则 1 P A 2 P B A 答案 4 12 关键是计算出正方形的面积和扇形的面积 13 2011 湖南高考文科 T15 已知圆 C yx12 22 直线 l 4x 3y 25 1 圆 C 的圆心到直线 l 的距离为 2 圆 C 上任意一点 A 到直线l的距离小于 2 的概率为 答案 5 6 1 1 12 22 yx 的圆心 0 0 到直线 4x 3y 25 的距离为 d 5 34 250304 22 2 作一条与 4x 3y 25 平行而且与 4x 3y 25 的距离为 2 的直线 交圆于 A B 两点 则 ACB ABCBCA 6032 32 6 1 360 60 概率 14 2011 福建卷理科 13 盒中装有形状 大小完全相同的 5 个球 其中红色球 3 个 黄色球 2 个 若从中随机取出 2 个球 则所取出的 2 个球颜色不同的概率等于 答案 3 5 由题易知 从 5 个球中随机取出 2 个球共有 2 5 10C 种不同取法 而取出的球 颜色不同共有 11 32 6C C 种不同取法 故所取出的 2 个球颜色不同的概率为 11 32 2 5 63 105 C C p C 15 2011 江苏高考 5 从 1 2 3 4 这四个数中一次随机地取两个数 则其中一个 数是另一个的两倍的概率是 答案 从 1 2 3 4 这四个数中一次随机取两个数 共有 1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4 6 个基本事件 其中一个数是另一个的两倍的有 1 2 2 4 2 个基本事件 所以其中一个数是另一个的两倍的概率是 21 63 16 2011 福建卷文科 19 某日用品按行业质量标准分成五个等级 等级系数 X 依次 为 1 2 3 4 5 现从一批该日用品中随机抽取 20 件 对其等级系数进行统计分析 得到频率分 布表如下 X12345 f a0 20 45bc I 若所抽取的 20 件日用品中 等级系数为 4 的恰有 3 件 等级系数为 5 的恰有 2 件 求 a b c 的值 II 在 1 的条件下 将等级系数为 4 的 3 件日用品记为 x1 x2 x3 等级系数为 5 的 2 件 日用品记为 y1 y2 现从 x1 x2 x3 y1 y2 这 5 件日用品中任取两件 假定每件日用品被取出 的可能性相同 写出所有可能的结果 并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率 答案 由频率分布表得 0 20 451abc 即 0 35abc 因为抽取的 20 件日用品中 等级系数为 4 的恰有 3 件 所以 3 0 15 20 b 等级系数为 5 的恰有 2 件 所以 2 0 1 20 c 从而 0 350 1abc 所以 0 1 0 15 0 1 abc II 从日用品 12312 x xxy y 中任取两件 所有可能情况为 12131112 x xx xx yx y 232122 x xxyxy 313212 xyxyy y 设事件 A 表示 从日用品 12312 x xxy y 中任取两件 其等级系数相等 则 A 包含的基 本事件为 12132312 x xx xx xy y 共 4 个 又基本事件的总数为 10 故所求的概率 4 0 4 10 P A 17 2011 新课标全国高考文科 19 某种产品的质量以其质量指标值衡量 质量指标 值越大表明质量越好 且质量指标值大于或等于 102 的产品为优质产品 现用两种新配方 分别称为 A 分配方和 B 分配方 做试验 各生产了 100 件这种产品 并测量了每件产品 的质量指标值 得到下面试验结果 A 配方的频数分布表 指标值分组 90 94 94 98 98 102 102 106 106 110 频数82042228 B 配方的频数分布表 指标值分组 90 94 94 98 98 102 102 106 106 110 频数412423210 分别估计用 A 配方 B 配方生产的产品的优质品率 II 已知用 B 配方生成的一件产品的利润 y 单位 元 与其质量指标值 t 的关系式为 2 2 4 94 94102 102 t t t y 估计用 B 配方生产的一件产品的利润大于 0 的概率 并求用 B 配方生产的上述 100 件产品 平均一件的利润 答案 由实验结果知 用 A 配方生产的产品中优质品的频率为 100 822 0 3 所以用 A 配方生产的产品中优质品率的估计值为 0 3 由实验结果知 用 B 配方生产的产品中优质品的频率为 100 1032 0 42 所以用 B 配方生产的产品中优质品率的估计值为 0 42 II 由条件知 用 B 配方生产的一件产品的利润大于 0 的概率当且仅当 t 94 由试验结 果知 t 94 的频率为 0 96 所以用 B 配方生产的一件产品的利润大于 0 的概率估计值为 0 96 用 B 配方生产的上述 100 件产品平均一件的利润为 4422542 4 100 1 2 68 元 18 2011 山东高考文科 18 甲 乙两校各有 3 名教师报名支教 其中甲校 2 男 1 女 乙校 1 男 2 女 I 若从甲校和乙校报名的教师中各任选 1 名 写出所有可能的结果 并求选出的 2 名教 师性别相同的概率 II 若从报名的 6 名教师中任选 2 名 写出所有可能的结果 并求选出的 2 名教师来自 同一学校的概率 答案 I 从甲校和乙校报名的教师中各任选 1 名 所有可能的结果为 甲男 1 乙男 甲男 2 乙男 甲男 1 乙女 1 甲男 1 乙女 2 甲 男 2 乙女 1 甲男 2 乙女 2 甲女 乙女 1 甲女 乙女 2 甲女 乙男 共 9 种 选出的 2 名教师性别相同的结果有 甲男 1 乙男 甲男 2 乙男 甲女 1 乙女 1 甲女 1 乙女 2 共 4 种 所以选出的 2 名教师性别相同的概率为 4 9 II 从报名的 6 名教师中任选 2 名 所有可能的结果为 甲男 1 乙男 甲男 2 乙男 甲男 1 乙女 1 甲男 1 乙女 2 甲男 2 乙女 1 甲男 2 乙女 2 甲女 乙女 1 甲女 乙女 2 甲女 乙男 甲男 1 甲男 2 甲男 1 甲女 甲男 2 甲女 乙男 乙女 1 乙男 乙女 2 乙女 1 乙女 2 共 15 种 选出的 2 名教师来自同一学校的所有可能的结果为 甲男 1 甲男 2 甲男 1 甲女 甲男 2 甲女 乙男 乙女 1 乙男 乙女 2 乙女 1 乙女 2 共 6 种 所以选出的 2 名教师来自同一学校的概率为 62 155 19 2011 湖南高考文科 T18 某河流上的一座水力发电站 每年六月份的发电量 Y 单 位 万千瓦时 与该河上游在六月份的降雨量 X 单位 毫米 有关 据统计 当 X 70 时 Y 460 X 每增加 10 Y 增加 5 已知近 20 年 X 的值为 140 110 160 70 200 160 140 160 220 200 110 160 160 220 140 110 160 220 140 160 完成如下的频率分布表 近 20 年六月份降雨量频率分布表 降雨量70110140160200220 频率 20 1 20 4 20 2 II 假定今年六月份的降雨量与近 20 年六月份降雨量的分布规律相同 并将频率视为概 率 求今年六月份该水力发电站的发电量低于 490 万千瓦时 或超过 530 万千瓦时 的 概率 答案 I 在所给数据中 降雨量为 110 毫米的有 3 个 为 160 毫米的有 7 个 为 200 毫米的有 3 个 故近 20 年六月份降雨量频率分布表为 降雨量70110140160200220 频率 1 20 3 20 4 20 7 20 3 20 2 20 II 1323 20202010 P 发电量低于490万千瓦时或超过530万千瓦时 P Y530 P X210 故今年六月份该水力发电站的发电量低于 490 万千瓦时 或超过 530 万千瓦时 的概率 为 3 10 20 2011 江西高考文科 16 某饮料公司对一名员工进行测试以便确定其考评级别 公司准备了两种不同的饮料共 5 杯 其颜色完全相同 并且其中 3 杯为 A 饮料 另外 2 杯 为 B 饮料 公司要求此员工一一品尝后 从 5 杯饮料中选出 3 杯 A 饮料 若该员工 3 杯都 选对 则评为优秀 若 3 杯选对 2 杯 则评为良好 否则评为合格 假设此人对 A 和 B 两 种饮料没有鉴别能力 1 求此人被评为优秀的概率 2 求此人被评为良好及以上的概率 答案 将 5 杯饮料编号为 1 2 3 4 5 编号 1 2 3 表示 A 饮料 编号 4 5 表示 B 饮料 则从 5 杯饮料中选出 3 杯的所有可能情况为 123 124 125 134 135 145 234 235 245 345 可见共有 10 种 令 D 表示此人被评为优秀的事件 E 表示此人被评为良好的事件 F 表示此人被评为良好及以上的事件 则 P D 1 10 P E 3 5 P F P D P E 7 10 21 2011 陕西高考文科 T20 如图 A 地到火车站共有两条 路径 1 L 和 2 L 现随机抽取 100 位从 A 地到达火车站的人进行调 查 调查结果如下 所用时间 分钟 10 2020 3030 4040 5050 60 选择 1 L 的人数 612181212 选择 2 L 的人数 0416164 试估计 40 分钟内不能赶到火车站的概率 分别求通过路径 1 L 和 2 L 所用时间落在上表中各时间段内的频率 现甲 乙两人分别有 40 分钟和 50 分钟时间用于赶往火车站 为了尽量大可能在允 许的时间内赶到火车站 试通过计算说明 他们应如何选择各自的路径 答案 由已知共调查了 100 人 其中 40 分钟内不能赶到火车站的有 12 12 16 4 44 人 用频率估计相应的概率为 0 44 选择 1 L 的有 60 人 选择 2 L 的有 40 人 故由调查结果得频率为 所用时间 分钟 10 2020 3030 4040 5050 60 选择 1 L 的人数 0 10 20 30 20 2 选择 2 L 的人数 00 10 40 40 1 用 1 A 2 A 分别表示甲选择 1 L 和 2 L 时 在 40 分钟内赶到火车站 用 1 B 2 B 分别表 示乙选择 1 L 和 2 L 时 在 50 分钟内赶到火车站 由 知 P A1 0 1 0 2 0 3 0 6 P A2 0 1 0 4 0 5 P A1 P A2 甲应选择路径 1 L P B1 0 1 0 2 0 3 0 2 0 8 P B2 0 1 0 4 0 4 0 9 P B2 P B1 乙应选择路径 2 L 22 2011 天津高考文科 15 编号为 1216 A AA 的 16 名篮球运动员在某次训练比 赛中的得分记录如下 运动员编号 1 A 2 A 3 A 4 A 5 A 6 A 7 A 8 A 得分1535212825361834 运动员编号 9 A 10 A 11 A 12 A 13 A 14 A 15 A 16 A 得分1726253322123138 将得分在对应区间内的人数填入相应的空格 从得分在区间 20 30 内的运动员中随机抽取 2 人 i 用运动员的编号列出所有可能的抽取结果 ii 求这 2 人得分之和大于 50 的概率 答案 解析 4 6 6 i 解析 得分在区间 20 30 内的运动员编号为 345101113 A A A AAA 从中随机 抽取 2 人 所有可能的抽取结果有 343531031131345 A AA AA AA AA AA A 410 A A 411413510511513101110131113 A AA AA AA AA AAAAAAA 共 15 种 ii 解析 从得分在区间 20 30 内的运动员中随机抽取 2 人 这 2 人得分之和大 于 50 记为事件 B 的所有可能结果有 454104115101011 A AA AA AA AAA 共 5 种 所以 51 153 P B 23 2011 北京高考文科 T16 以下茎叶图记录了甲 乙两组各四名同学的植树棵数 乙 组记录中有一个数据模糊 无法确认 在图中以 X 表示 区间 10 20 20 30 30 40 人数 如果 X 8 求乙组同学植树棵数的平均数和方差 如果 X 9 分别从甲 乙两组中随机选取一名同学 求这两名同学的植树总棵数为 19 的概率 注 方差 2222 12 1 n sxxxxxx n 其中x为 12 n x xx 的平均数 答案 当 X 8 时 由茎叶图可知 乙组同学的棵数是 8 8 9 10 所以平均数为 889 1035 44 x 方差为 222228 8 9 10 4444416 s 记甲组四名同学为 1234 A A A A 他们植树的棵数依次为 9 9 11 11 乙组四名 同学为 1234 B B B B 他们植树的棵数依次为 9 8 9 10 分别从甲 乙两组中随机选取 一名同学 所有可能的结果有 16 个 它们是 1112131421222324 3132333441424344 A BA BA BA BA BA BA BA B A BA BA BA BA BA BA BA B 用 C 表示 选出的两名同学的植树总棵数为 19 这一事件 则 C 中的结果有 4 个 它 们是 14243242 A BA BA BA B 故所求概率为 41 164 P C 24 2010 辽宁理数 3 两个实习生每人加工一个零件 加工为一等品的概率分别为 2 3和 3 4 两个零件是否加工为一等品相互独立 则这两个零件中恰有一个一等品的概率为 A 1 2 B 5 12 C 1 4 D 1 6 答案 B 命题立意 本题考查了相互独立事件同时发生的概率 考查了有关概率的计算问题 解析 记两个零件中恰好有一个一等品的事件为 A 则 P A P A1 P A2 211 3 35 43412 25 2010 江西理数 11 一位国王的铸币大臣在每箱 100 枚的硬币中各掺入了一枚劣币 国 王怀疑大臣作弊 他用两种方法来检测 方法一 在 10 箱子中各任意抽查一枚 方法二 在 5 箱中各任意抽查两枚 国王用方法一 二能发现至少一枚劣币的概率分别为 1 p 和 2 p 甲组 乙组 9 9 0 X 8 9 1 1 1 0 则 A 1 p 2 p B 1 p 2 p D 以上三种情况都有可能 答案 B 解析 考查不放回的抽球 重点考查二项分布的概率 本题是北师大版新课标的课堂作 业 作为旧大纲的最后一年高考 本题给出一个强烈的导向信号 方法一 每箱的选中的 概率为 1 10 总概率为 0010 10 1 0 1 0 9 C 同理 方法二 每箱的选中的概率为 1 5 总事 件的概率为 005 5 14 1 55 C 作差得 1 p a 的概率是 A 4 5 B 3 5 C 2 5 D 1 5 答案 D 27 2010 上海文数 10 从一副混合后的扑克牌 52 张 中随机抽取 2 张 则 抽出的 2 张均为红桃 的概率 为 3 51 结果用最简分数表示 解析 考查等可能事件概率 抽出的 2 张均为红桃 的概率为 51 3 2 52 2 13 C C 28 2010 湖南文数 11 在区间 1 2 上随即取一个数 x 则 x 0 1 的概率为 答案 1 3 命题意图 本题考察几何概率 属容易题 29 2010 重庆理数 13 某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同 且在两次罚球中 至多命中一次的概率为 16 25 则该队员每次罚球的命中率为 解析 由 25 16 1 2 p 得 5 3 p 30 2010 安徽理数 15 甲罐中有 5 个红球 2 个白球和 3 个黑球 乙罐中有 4 个红球 3 个白球和 3 个黑球 先从甲罐中随机取出一球放入乙罐 分别以 12 A A 和 3 A 表示由甲罐 取出的球是红球 白球和黑球的事件 再从乙罐中随机取出一球 以B表示由乙罐取出的 球是红球的事件 则下列结论中正确的是 写出所有正确结论的编号 2 5 P B 1 5 11 P B A 事件B与事件 1 A 相互独立 123 A A A 是两两互斥的事件 P B 的值不能确定 因为它与 123 A A A 中哪一个 发生有关 15 解析 易见 123 A A A 是两两互斥的事件 而 123 5524349 10111011101122 P BP B AP B AP B A 方法总结 本题是概率的综合问题 掌握基本概念 及条件概率的基本运算是解决问题 的关键 本题在 123 A A A 是两两互斥的事件 把事件 B 的概率进行转化 123 P BP B AP B AP B A 可知事件 B 的概率是确定的 31 2010 陕西文数 19 本小题满分 12 分 为了解学生身高情况 某校以 10 的比例对全校 700 名学生按性别进行出样检查 测得身 高情况的统计图如下 估计该校男生的人数 估计该校学生身高在 170 185cm 之间的概率 从样本中身高在 180 190cm 之间的男生中任选 2 人 求至少有 1 人身高在 185 190cm 之间的概率 解 样本中男生人数为 40 由分层出样比例为 10 估计全校男生人数为 400 有统计图知 样本中身高在 170 185cm 之间的学生有 14 13 4 3 1 35 人 样本容 量为 70 所以样本中学生身高在 170 185cm 之间的频率故有 f 估 计该校学生身高在 170 180cm 之间的概率 样本中身高在 180 185cm 之间的男生有 4 人 设其编号为 样本中身高在 185 190cm 之间的男生有 2 人 设其编号为 从上述 6 人中任取 2 人的树状图为 故从样本中身高在 180 190cm 之间的男生中任选 2 人得所有可能结果数为 15 求至少有 1 人身高在 185 190cm 之间的可能结果数为 9 因此 所求概率 考点模拟演练 一 选择题 1 某射手在一次射击中 射中 10 环 9 环 8 环的概率分别是 0 20 0 30 0 10 则此射手在 一次射击中不够 8 环的概率为 A 0 40 B 0 30 C 0 60 D 0 90 解析 依题意 射中 8 环及以上的概率为 0 20 0 30 0 10 0 60 故不够 8 环的概率为 1 0 60 0 40 答案 A 2 5 张卡片上分别写有数字 1 2 3 4 5 从这 5 张卡片中随机抽取 2 张 则取出的 2 张卡片上 数字之和为奇数的概率为 A B 3 5 2 5 C D 3 4 2 3 解析 从 5 张卡片中随机抽取 2 张 共有 10 个基本事件 1 2 1 3 1 4 1 5 2 3 2 4 2 5 3 4 3 5 4 5 其中卡片上数字之和为奇数的有 1 2 1 4 2 3 2 5 3 4 4 5 共 6 个基本事件 因此所求的概率为 6 10 3 5 答案 A 3 把红 黑 蓝 白 4 张纸牌随机地分给甲 乙 丙 丁四个人 每人分得 1 张 事件 甲分得红牌 与事件 乙分得红牌 是 A 对立事件 B 不可能事件 C 互斥事件但不是对立事件 D 以上答案都不对 解析 由互斥事件和对立事件的概念可判断 答案 C 4 已知某厂的产品合格率为 90 抽出 10 件产品检查 则下列说法正确的是 A 合格产品少于 9 件 B 合格产品多于 9 件 C 合格产品正好是 9 件 D 合格产品可能是 9 件 解析 因为产品的合格率为 90 抽出 10 件产品 则合格产品可能是 10 90 9 件 这 是随机的 答案 D 5 2011 德州模拟 一个袋子中有 5 个大小相同的球 其中有 3 个黑球与 2 个红球 如果 从中任取两个球 则恰好取到两个同