45 相似形 专项训练（三）

第五章第五章 相似形相似形 专项训练专项训练 三三 例题精选例题精选 例例 1 如图 已知ABC P 是 AB 上一点 连接 CP 还需添加什么条件 可以使ACP ABC 分析 分析 观察图形 可以发现 ACP ABC 有 一个公共角 所以根据判定定理 1 可以再添加一 A 对角相等 也可以根据判定定理 2 添加夹的两边 A 对应成比例 都可以使ACP ABC 解 解 1 可添加 ACPBAPCACB或 均可以使ACP ABC 2 可以添加 AC AP AB AC 所以ACP ABC AA 例例 2 已知 如图 O 为ABC 内一点 A B AB BC B C 求证 1 A C AC 2 A OC AOC 3 A B C ABC 分析 分析 已知条件给出两条平行线 使用平行线分线段成比例是定理的推论 及其逆命题 就可以得了 A C AC 从而证明A OC AOC 再利用平行线 的性质及三角形相似的判定定理 2 3 就可以证明A B C ABC 证明 证明 1 A BAB OA OA OB OB B CBC OB OB OC OC OA OA OC OC A CAC 2 A CACA OCAOC 3 A BABOA BOAB A B AB OB OB A B OABO 同理可证 B C BC OB OB OB COBC A B CABC A B AB B C BC A B CABC 也可以采用来证明 A B AB B C BC A C AC A B CABC 例例 3 已知 如图 D 为内一点 连结 ABC ED AD 以 BC 为边在外作 ABC CBE ABD BCE BAD 求证 DBE ABC 分析 分析 由已知条件ABD CBE DBC 公 用 所以DBE ABC 要证 DBE ABC 有一对角相等 要证两个三角形相似 或者再找一 对角相等 或者找夹这个角的两边对应成比例 从 已知条件中可看到 这样既有相等 CBE ABD 的角 又有成比例的线段 问题就可以得到解决 证明 证明 在和中 CBE ABD CBEABDBCEBAD CBEABD BC AB BE BD BC BE AB BD DBEABC CBEABDDBC CBEDBCABDDBC DBEABC 即 在和中 公用 且 BC BE AB BD DBEABC 例例 4 如图 ABC 中 连结 DE BD ACDCE ABE 于 于 求证 ADE ABC 分析 分析 证明两角相等 以前多采用它们所在的三 角形全等 但现在题目中并未给出线段相等的关系不 可能全等 就可以考虑证两个角所在的两个三角形相 似 而恰有一个公共角显然应再找夹这 ADE与 ABC 个角的两边对应成比例 联系已知条件 给出 可先证 即可完成此题的证明 BD ACDCE ABE 于 于 ADBAEC 证明 证明 在 ADBAEC和中 BD ACCE AB ADBAEC DABEAC ADBAEC AD AE AB AC AD AB AE AC 即 90 在和中 且 相似三角形对应角相等 ADEABC DAEBAC AD AB AE AC ADEABC ADEABC 例例 5 已知 如图 ABCBACAD BCDAF CEF中 于 于 点 90 E 是 AB 上一点 求证 CDFCBE 分析 分析 由求证观察到有 CDFCBE 一个公共角 再找一对角相 ECBFCD 等或证夹这个角的两边对应成比例 注意到 已知条件中 有直角三角形和斜边上的高这里有三对相似的三角形 可以得到 比例线段 也可以得到相等的角 问题就可以解决 证明 在中 Rt ABCBACAD BC 90 ADCBACACCDBC Rt CAE CAEAF CEFCAFCEA ACCFCE CDBCCFCE 同理 在中 于 2 2 90 即 CD CE CF BC 在和中 且 CDFCBE DCFECB CD CE CF BC CDFCBE 小结 小结 这个题目中两次用到了直角三角形中斜边上的高这个图形 大家应 引起重视 这里有三对相似三角形 三个比例中项 成比例的线段较多 而且 在以后的学习中会多次遇到要特别记忆 例例 6 已知 如图 中 矩形 DEFG ABC 内接于 若 DE DG 1 2 BC 16 ABC S ABC 80 求 DG 的长 分析 分析 求矩形一边的长联系已知条件 给出了 DE DG 1 2 显然求出 DE 的长即可由于矩形对边平行 所以可产生相似三角形 联系给出的面 ABC 积 即可以利用相似三角形的性质 对应高的比等于相似比 即可求出 解 解 DEDG 12 设 又为矩形 作交于 交于 即 DExDGx DEFGDGBC ADGABC DG BC AD AB AG AC AM BCBCMDGN DG BC AN AM SBC AM xx x DG ABC 2 8016 10 2 16 10 10 2 80 9 80 9 例例 7 已知 如图 ABCADBC CDABE AEEBEFBC中交于 12S ADE 1 求 S AEF 分析 分析 因为 EF BC AD BC 所以 利 AEDBECAEFABC 用相似三角形的性质 面积的比等于相似比的平方 只要根据已知条件 求得 那么的面积就可求得S ABC AEF 解 解 AEEBADBC 12 DEECS S S AE EB S ADE ADE EBC EBC 121 1 4 4 2 又 与等高DEECADEAEC S S DE EC S ADE AEC AEC 12 1 2 2 SSS EFBCAEFABC AEEB S S AE AB S S ABCAECEBC AEF ABC AEF AEF 6 12 1 3 1 9 6 1 9 2 3 22 而 例例 8 已知 如图 正方形 ABCD 中 点 P 在 BC 上 且 BP 3PC Q 是 CD 的中点 求证 1 AQ 2QP 2 3 AQ QP AQDAP平分 证明 证明 1 在 ADQQCP和中 DC QCDDQCDADBPPC PCBC AD DQ CQ CP ADQQCP AQ QP AQQP 90 1 2 1 2 3 1 4 2 1 2 1 2 为中点 即 2 ADQQCPCQPDAQ DAQAQDCQPAQD AQPAQ QP 9090 90即 3 在 ADQAQP和中 ADQAQP AQ QP AD DQ AQ AD QP DQ ADQAQP DAQQAP AQDAP 90 2 1 即 平分 例例 9 已知 如图 1 在四边形 ABCD 和四边形 A B C D 中 AABB 且 CCDD AB A B AD A D 求证 四边形 ABCD 四边形 A B C D 分析 分析 已知四组对应角相等 根据相似多边形定义 只需证四组对应边成 比例 由已知 故连结 BD B D 可证 AB A B AD A D ABDA B D 证明 证明 连结 BD B D 在 ABDA B D和中 AB A B AD A D AA 两边对应成比例且夹角相等 两三角形相似 ABDA B D ABDA B D AB A B BD B D ABCA B C DBCD B C CC 又 两角对应相等 两三角形相似 DBCD B C BD B D BC B C CD C D AB A B BC B C CD C D AD A D 四边形 四边形ABCDA B C D 例例 10 已知 如图 2 梯形 ABCD 中 AD BC E 是 AB 上一点 EF BC 且 EF 将梯形 ABCD 分成的两个梯形 AEFD EBCF 相似 若 AD 4 BC 9 S 梯形 AEFD a 求 S梯形 ABCD 分析 分析 已知梯形 AEFD 的面积 故只需求出梯形 EBCF 的面积 又梯形 AEFD 梯形 EBCF 则它们的面积比等于相似比的平方 关键是求出两个相似 梯形的相似比 即对应边的比 根据对应关系 可知 AE 与 EB DF 与 FC AD 与 EF EF 与 BC 是对应边 解 解 梯形 梯形AEFDEBCF AD EF EF BC AE EB ADBCEF EF AE EB AD EF S S Sa AEFD EBCF AEFD 由 梯形 梯形 梯形 490 496 4 6 2 3 2 3 2 Sa SSS aa a EBCF ABCDAEFDEBCF 梯形 梯形梯形梯形 9 4 9 4 13 4 专项训练专项训练 一 选择题 在以下给出的四个答案中 只有一个是正确的 一 选择题 在以下给出的四个答案中 只有一个是正确的 1 如图 可证得的条件是 ACDBCA A AC CD AB BC B AC AB CD BD C D CDADBD 2 ACCDBC 2 2 在 要使 ABCABACA中 36 ABC 需添加的条件是 BCD A B BCCD BD AC CD BC C D BA BC BC DC CA CB BD CD 3 如图 D E 是边上的点 ABC 则图中相似的三角形共有 B123 A 四组B 三组 C 二组D 一组 4 如图 CD 是斜边上的高Rt ABC DE BC 则下列结论中正确的是DF AC A B AC BC EC FC AC BC FC EC C D DA DC DC AD AD DB FC EC 5 如图 ABCDEBC AEEC中 12 则 SS ADEABC A 1 2B 1 3 C 1 4D 1 9 6 如图 ABCDEBCDEBC中 47 SS DBCEADE四边形 则 49 A B 196 3 784 33 C D 1628 7 两个相似三角形对应角平分线的比为 16 25 那么它们的面积比为 A 4 5B 16 25 C 196 225D 256 625 8 如图 梯形 ABCD 中 AB CD 如果 那么SS ODCBDC 13 为SS ODCABC A 1 5B 1 6 C 1 7D 1 9 二 填空题 二 填空题 1 两个相似三角形对应角平分线的比为 则相似比为 面积比510 为 2 两个相似三角形周长的和等于 48cm 对应中线的比为 3 5 则这两个三角 形的周长各是 3 两个相似三角形的面积之差为 9 且它们的相似比为 2 3 那么这两个三角 形的面积是 4 已知 Rt ABCACBCD ABDADBDCD 中 于 则 9068 AC 5 中 DE BC DE 交 AB AC 于 D E 且 ABCADDB 14 则 Scm ABC 15 2 S梯形DBCE 三 证明与计算题 三 证明与计算题 1 如图 中 D 是 AB 上一点 E 是 AC 上 ABC 一点 若 AE 5 DE 3 AD 4 且 AC BD 16 求证 ACB90 2 已知 如图 在梯形 ABCD 中 AD BC E F 是 A B 上两点 分别满足 A90 CED90 BCFDCE 求证 AE BF 3 已知 如图 在中 AD 为中线 E 在 AB ABC 上 AE AC CE 交 AD 于 F EF FC 2 3 EB 6cm 求 AB AC 的长 相似多边形相似多边形 一 判断一 判断 1 所有的平行四边形都相似 2 所有的矩形都相似 3 所有的菱形都相似 4 所有正方形都相似 5 有一个角对应相等的平行四边形都相似 6 有一个角对应相等的菱形都相似 7 有一个角对应相等的等腰梯形都相似 8 等腰梯形的中位线将梯形分成的两个梯形相似 二 选择二 选择 1 下列判断正确的是 A 对角线相等的两个矩形必相似 B 相邻两边的比都是 2 的两个平行四边形必相似 C 有一个角对应相等的两个菱形必相似 D 边长相同的正五边形和正六边形可能相似 2 两个相似多边形的一组对应边分别是 3cm 和 4 5cm 若它们的面积之和为 78cm2 则较大多边形的面积为 A 46 8cm2B 42cm2C 52cm2D 54cm2 三 解答题 三 解答题 1 两个相似多边形的最长边分别为 35cm 和 14cm 它们的周长差为 60cm 求这两个多边形的周长 2 两个相似多边形的面积比为 9 25 较小多边形的 周长为 36 求另一个多边形的周长 四 四 已知 如图 3 B C BC C D CD D E DE 求证 五边形 ABCDE A B C D E 答案答案 一 一 1 D2 A3 A4 A5 D 6 B7 D8 B 二 二 1 2 51051