思维参与和感悟的函数概念教学

第六章第六章 一次函数教学评价与建议一次函数教学评价与建议 一 内容概述雾岛奈津美一 内容概述雾岛奈津美 函数是刻画变量之间关系的常用模型 本章是在七年级下学期探索了变量之间关系的基础上 继续通 过对变量间关系的考察 让学生初步体会函数的概念 并进一步研 究其中最为简单的一种函数 一次函数 本章教材设计将正比例函数纳入一次函数的研究中去 在学习 一次函数的同时把正比例函数也完成了 在具体内容的呈现上 教科书力求为学生提供生动有趣的问题 情境 提供观察 操作 交流 归纳等数学活动 在活动中加深学 生对数学知识的理解 发展学生的数学思维 在新知的导入上 既 注重了与学生生活实际的联系 又注意了新旧知识的联系 在新旧 知识的比较与联系中 促进了学生新的认知结构的建立与完善 本章内容的框架图 二 教学目标二 教学目标 1 经历函数 一次函数等概念的抽象概括过程 体会函数的思 想 进一步发展学生抽象思维能力 经历一次函数的图象及其性质 的探索过程 在合作交流中发展学生的合作意识和能力 2 经历利用一次函数及其图象解决实际问题的过程 发展学生 的数学应用能力 经 历函数图象信息的识别与应用过程 发展学生的形象思维能力 3 初步理解函数的概念 理解一次函数极其图象的有关性质 初步体会方程和函数的关系 根据所给信息确定一次函数表达式 会作一次函数的图象 并利用它们解决简单的实际问题 三 教学建议三 教学建议 重视教学素材的应用和挖掘 充分挖掘贴近学生生活实际的素材 教学时要重视素材的作用 体现 问题情境 建立数学模型 概念 规律 应用与拓展 的 模式 使学生在实际问题情境中抽象出函数以及一次函数的概念 进而探索一次函数及其图象的性质 函数是和现实生活联系比较紧 的学习内容 应让学生在学习过程中体会到数学的广泛应用 鼓励学生自主探索和合作交流 函数是现实世界变化规律的一个重要模型 与学生的生活实际 紧密联系 学生有能力和条件进行探索 教学时要注重学生对学习 函数过程 方法的体验 引导学生主动从事观察 操作 交流 归 纳等活动 给予学生足够的时间和空间 使学生自己形成对数学知 识的理解和认识 不要以教师的讲解代替学生的探索 3 加强新旧知识的联系 促进学生新的认知结构的建构 七年级下册开始引入变量和变量之间关系的内容 非形式化地 开始对函数内容的学习 学生感受现实世界中变量和变量之间存在 的各种各样的关系及其规律 了解表示这些关系的基本方法 在此 基础上建立函数的概念 进一步构建 数 与 形 结合的函数模型 4 尊重学生的个体差异 满足多样化的学习需要 对于学习有困难的学生 教师要给予及时的帮助与指导 鼓励 他们主动参与数学学习活动 鼓励他们自主地解决问题 鼓励探索 方式 表达方式和解题方法的多样化 发表自己的看法 对于学有 余力的学生 鼓励他们探索问题的多种表述方式和解题方法 给他 们提供丰富的学习材料 拓宽他们的知识视野 发展他们的数学才 能 函数 一 教材分析 以摩天轮的高度和时间的关系图 堆放物体的总数和层数关系 的表格 滑行距离和速度的代数表达式三种形式呈现了三个生活化 的场景 使学生明确 给定其中某一个变量的值 相应地就确定了另 一个变量的值 这一共性 从而归纳出函数的概念 同时也暗示了函 数的三种表示方式 对于函数的概念 只要学生能结合具体情境 体会到函数的概念即可 不必作不必要的拓展和加深 二 教学目标 初步掌握函数概念 能判断两个变量间的关系是否可看作 函数 初步形成学生利用函数的观点认识现实世界的意识和能力 经历具体实例的抽象概括过程 进一步发展学生的抽象思 维能力 三 教学建议 1 摩天轮对于没有坐过的学生可能缺乏感性的认识 当然也可 以进行适当的想象 但也可以换成另外的情景 比如 正常人的体 温与时间的关系 物体抛射的距离与时间的关系等等 另外 此题 显示了在一定的条件下图象与表格之间可以互相转换 2 做一做中的第 2 题 在计算 s 的值时 一定要让学生明确 只有确定了一个 v 的值时才有 s 的值 所以在书写时一定要注意格 式 3 习题 中的第 1 题 它的目的是要求学生主动地观察生 活中的运动变化过程 体会函数的概念 培养学生利用函数的观点 去认识世界的良好意识 这也是我们教函数的最终目标 4 本节仅要求学生初步掌握函数的概念 因而未给出函数概念 的严格表达式 教学中只要学生能结合具体情境 体会到函数的概 念即可 而不必对函数概念作不必要的拓展和加深 其后也不必作 判断函数关系的抽象训练 一次函数 一 教材分析 本节通过弹簧长度与所挂物体质量 汽车行驶路程与油箱剩余 油量两个具体的一次函数的铺垫 引导学生概括出一次函数和正比 例函数的概念 明确了一次函数与正比例函数之间的关系 通过写 一些简单的函数表达式并判断它们是否为一次函数与正比例函数 进一步加深对一次函数的理解 通过学习能让学生利用一次函数解 决一些实际的问题 培养学生的函数意识 二 教学目标 经历一般规律的探索过程 发展学生的抽象思维能力 理解一次函数和正比例函数的概念 能根据所给条件写出 简单的一次函数表达式 发展学生的数学应用能力 三 教学建议 1 引例的 2 与做一做的 2 有一定的难度 学生出现一定 的差异在所难免 教学中应给予学生一定的思考空间 也可组织学 生进行交流讨论 教师千万不要简单地 告诉 2 对于一次函数与正比例函数 应让学生知道正比例函数是一 次函数的特例 一次函数包含了正比例函数 例 中两个 低于 应改成 不超过 对于 3 严格的讲 应该先判断出工资的范围是否在 800 元至 1300 元之间 如果有学生 提出超过 1300 元又该怎样计算的话 作为教师应该可以做一定的延 伸和扩展 当然教师首先应该了解个人所得税的征收办法 习题 6 2 中第 2 3 两题分别以两种手机收费方式为背景 虽然没有要求学生对这两种收费方式进行比较 但两题并列放置 必然给学生一个很好的心理暗示 有兴趣的学生必将完成试一试 无形中培养了学生良好的经济意识 如果觉得比较难也可以放到整 章的复习中 3 一次函数的图象 1 一 教材分析 通过学生自己动手 学习函数的一般画法即 列表 描点 连 线 然后通过图象上取点的坐标和函数表达式之间的关系 建立一 次函数的表达式与图象之间的对应关系 从而得到一次函数的图象 是一条直线 由此得到作一次函数图象简单方法 只要确定两个 点 再过这两个点作直线就可以了 二 教学目标 经历作图过程 初步了解作函数图象的一般步骤 理解函数图象和函数表达式之间的对应关系 体会图象中 的坐标与函数中自变量和因变量之间的对应关系 明确两点法作一次函数图象 进一步培养学生的数形结合的意识和能力 三 教学建议 此处交代函数图象的概念和例 交代作图的一般步骤 目 的是为后续学习其他函数 如反比例函数 二次函数等 的图象作 必要的知识准备 做一做应让学生动手操作体验 对图象中点的横坐标 纵 坐标和函数的表达式之间的关系有一个直观的认识 议一议是在前面的直观基础上的理性思考 但 可以 改成 图象是什么形状 这样学生更明确一次函数图象是一 条直线 建立一次函数的表达式与图象之间的对应关系 为后续学 习一次函数图象的应用以及函数与方程的关系打下基础 培养学生 数形结合的意识和能力 4 一次函数的图象 2 一 教材分析 学生通过亲手画正比例函数的图象 获得正比例函数 y kx 的图 象是经过原点 0 0 的一条直线 并利用在同一坐标系中 画多 个正比例函数图象得到正比例函数图象与 x 轴正方向所成锐角的大 小与 k 的关系 由图象得到了一次函数的增减性 并且由图象还涉 及到两直线的平行与相交 为高中的解析几何打下基础 二 教学目标 了解正比例函数的图象 明确一次函数的增减性 初步体会函数图象的倾斜程度与 k 的关系 初步体会直线的平行 相交以及增长的快慢与 k 的关系 进一步体会形数之间的关系 三 教学建议 1 这一节的重点还是画函数的图象 但要注意用形数结合的思 想方法组织和设计教学过程 2 正比例函数的图象比较简单 可由上一节的一次函数的图象 的画法的基础上 让学生探索得到 3 一次函数的性质可由学生根据图象讨论并完善 4 倾斜程度与 k 的关系 只要让学生体会 不要求抽象出一般 规律 5 直线的平行 相交以及增长的快慢 也只要让学生在具体的 函数中体会 不要求抽象出一般规律 确定一次函数表达式 一 教材分析 通过物体沿一个斜坡下滑 速度与下滑时间的函数图象 得到 确定正比例函数的表达式需要一个条件 利用弹簧的长度与所挂物 体质量之间的关系得到确定一次函数的表达式需要两个条件 它们 都采用待定系数法 二 教学目标 了解两个条件确定一个一次函数 能由两个条件求出一些简单 的一次函数的表达式 并解决有关现实问题 三 教学建议 1 求一次函数表达式时 应注意控制难度 至于一般的由两个 条件利用二元一次方程组确定函数表达式的问题 将放在下一章 二 元一次方程组 的最后一节 以加强方程与函数的联系 2 确定正比例函数和一次函数的表达式 问题虽然简单 但涉 及数学对象的一个本质概念 基本量 教学中 应鼓励学生经常 作这样的思考 必将增加对数学对象的理解 一次函数图象的应用 一 教材分析 通过一次函数的图象解决实际问题 培养学生良好的识图能力 从而让学生进一步体会函数与方程 数与形的关系 建立良好的知 识联系 二 教学目标 能通过函数图象获取信息 发展学生的形象思维 能利用函数图象解决简单的实际问题 发展学生的数学应 用能力 初步体会方程与函数的关系 建立良好的知识联系 三 教学建议 引例中配了干枯的河床图片 势必给学生一个很强的刺激 旨在培养学生良好的环保意识 教师也可以适当传授一些环保的知 识 对于本节中各题答案的获得 学生可能有多种方法 只要 正确 都应该鼓励 但本节的目的在于培养学生良好的识图能力 因而在教学中 建议不要引导学生用代数方法解题 应避免习惯的 代数化 倾向 议一议 可以让学生从 数 形 两个方面进行比较 进一 步让学生体会一般的函数与方程的关系 7 一次函数图象的应用 一 教材分析 通过一次函数的图象解决实际问题 比上一节较复杂 进一步 培养学生的识图能力 并让学生感悟到数形结合的威力 实际上是 函数与方程组和不等式组的关系 二 教学目标 通过两个函数图象 获取信息 进一步发展形象思维 能利用两个函数图象解决一些较复杂的实际问题 发展学 生的函数应用意识 初步体会方程组 不等式组与函数的关系 建立良好的知 识联系 三 教学建议 本节的题目综合性比较强 学生可能不易解答 在教学中 充分利用图象 引导学生从静态分析入手 关注动态变化 让学生 进行讨论交流 给学生时间与空间 并应多加鼓励 适当的时候教 师应作必要的指导 充分利用图象 使学生体会形数结合的作用 如有学生利 用代数的方法来解题 也应及时鼓励 但教师不必为了精确求值而 故意引导学生用代数的方法解题 注重学生思维参与和感悟的函数概念教学 一 人民教育出版社中数室 章建跃 为了推进高中课标教材的实验工作 使广大教师更好地理解新教材的编写意图 把握 新教材的教学工作 我们组织实施了 中学数学核心概念 思想方法结构体系及教学设计 的理论与实践 课题研究 就高中数学中的一些核心概念的教学开展深入研究 并以人教 A 版高中数学课标教材为蓝本 进行课堂教学实践研究 制作成课例光盘供广大教师观 摩 众所周知 函数概念是中学数学中的最重要概念之一 函数的思想和方法贯穿高中数 学课程的始终 理解函数概念及由其反映的数学思想方法 学会用函数的观点和方法解决 数学问题和现实问题 是高中阶段最重要的数学学习任务之一 因此 搞好函数概念的教 学至关重要 另一方面 函数概念因为其高度的抽象性而成为最难把握的概念之一 无论 是教师的教还是学生的学 都存在很大困难 有鉴于此 我们专门选择 函数概念 单元 内容包括函数的概念 表示和性质 单调性 请人教 A 版高中数学课标教材作者 南京 师范大学附中陶维林老师担任授课教师 制作成一个关于 函数概念 的完整课例 三课 时 本文是对这一实践活动的反思和总结 为了全面反映活动成果 我们从教材编写意图 课堂教学设计 课堂教学反思与评析等几个方面分篇介绍 敬请读者批评指正 一 人教一 人教 A A 版对函数概念的处理方法版对函数概念的处理方法 一 中学阶段函数概念的学习线索 一 中学阶段函数概念的学习线索 1 初中阶段 函数定义采用 变量说 介绍了三种表示法 以一次函数 包括正比例函数 反 比例函数和二次函数为具体函数模型 借助图象讨论了这些函数的一些简单性质 要求用 所学函数知识解决简单实际问题 不涉及抽象符号 f x 不强调定义域 值域 等 例如 二次函数的内容要求是 通过对实际问题的分析 确定二次函数的表达式 体会二次函数的意义 会利用待定系数法确定二次函数的表达式 会用描点法画出二次函数的图象 通过图象了解二次函数的性质 会用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为 y a x h 2 k 的形式 并能由此 写出二次函数图象的顶点坐标 说出图象的开口方向 画出图象的对称轴 并能解决简单 实际问题 初中所学的函数知识 与代数式 方程等联系紧密 而对 变量 变化 对应关 系 等涉及函数本质的内容 要求是初步的 2 高中阶段 函数定义采用 对应说 引进抽象符号 f x 表示函数 较全面地学习函数的表示与 性质 强调函数是刻画现实事物变化规律的一种数学模型 因此强调函数的背景 思想和 应用 强调与方程 不等式的联系 注重用函数观点理解和解决方程 不等式的有关问题 用导数为工具研究函数性质 使思想方法和研究手段都上升到一个全新高度 具体安排强 调螺旋上升 先从一般性角度研究函数概念 使学生在宏观上了解函数的内容和方法 起 到先行组织者的作用 然后通过基本初等函数的学习 以具体函数为载体 感受建立函数 模型的过程与方法 体会函数在数学和其他学科中的应用 学会用函数思想解决简单实际 问题 其具体结构是 必修 1 函数概念与基本初等函数 I 指数函数 对数函数 幂函数 必修 4 基本初等函数 II 三角函数 必修 5 数列 选修 1 1 2 2 导数及其应用 定义抽象 符号抽象 具体函数类型多复杂性提高 连续的 离散的 相关知识的 联系性增强 用更多的工具 导数 讨论函数性质等是高中阶段函数学习的特点 特别是 高中阶段引入具有一般性的抽象函数符号 f x 使学生能借助函数建立模型 刻画现实问 题的数量关系 并通过讨论函数的性质而获得现实问题的解释 认识和把握现实问题的规 律 所以 与初中阶段的函数学习比较 高中阶段的函数学习在内容的广度和深度上都有 很大提高 顺便提及 数学发展史上 函数概念的完善经历了很长时间 其间 欧拉在 18 世纪中 期 1755 年 给出函数的 变量说 黎曼在 19 世纪中期 1851 年 给出 对应说 从 变量说 到 对应说 整整经历一百年 由于 个体认识要 简略地 重演人类社会 认识过程 因此初 高中给出函数概念的不同定义方式 一定程度上反映了函数概念发 展的历史进程 二 教材编写意图 二 教材编写意图 众所周知 教材编写者的课程观不仅对教材编写指导思想有决定性影响 而且对构建 结构体系 选择教学素材以及教材的呈现方式等都有重大影响 我们 人教 A 版 编委会 所持的是一种显性课程和隐性课程并重的课程观 显性课程表现为由数学概念 公式 法 则 定义 定理 公理等组成的数学学科文本 一种数学知识结构体系 具有传承数学 知识的功能 为数学教学提供了基本线索 隐性课程是学生在教材引导 教师指导下 独 立地探索 体验数学的过程 学生可以从中感悟数学 领会数学思想方法 形成数学地看 待问题的眼光 积累用数学解决问题的直接经验 在显性课程与隐性课程并重的指导思想 下 形成了教材编写的一些基本理念 强调整体性 突出数学概念的本质及内容反映的思 想方法 夯实基础 讲背景 讲思想 讲应用 强调 问题性 思想性 联系性 处理好 过程与结果 具体与抽象 直观与逻辑 演绎与归纳 情境化与数学 化 等基本矛盾关系 这些理念在函数概念一节中 具体化为如下几个主要方面 1 1 突出函数概念的本质和建构过程 突出函数概念的本质和建构过程 许多老师对函数概念的本质 函数概念所反映的数学思想方法的认识比较模糊 我们 认为 如果用一句话来概括函数概念的本质 大概应该是 函数是两个变量之间的一种特 殊的对应关系 函数概念所反映的思想方法是 自变量 因变量都取实数值 这样才有可 能用数及其运算的知识来考察现实问题的变化规律 因变量的取值有唯一性 用数以外 的符号 f x 表示函数 具体表示形式可以是解析式 图象或表格 与以往教材比较 人教 A 版 对函数概念的处理方式有较大变化 主要目的就是为 了让学生有机会经历函数概念的概括过程 更好地体会其本质和思想方法 以往教材的内 容线索是从集合对应特殊化到映射 再将映射特殊化而给出函数概念 这是一种公理化 演绎式的内容组织方式 2003 年对大纲教材进行修订 为了使大纲与课标衔接 采用了先 复习初中学过的 变量说 然后提出问题 是函数吗 与是 同一个函数吗 由于用 变量说 很难回答此问题 引发从新的高度认识函数概念的需 求 接着 从一些非空数集元素之间对应关系的例子中概括出 对应说 人教 A 版 则通过一些具有真实背景的典型实例 从 变量说 出发 借助集合与对应的语言对它们 的共同本质特征进行分析 再概括出 对应说 这样既衔接了初中阶段将函数看成变量 间依赖关系的认识 又使学生结合实际问题 经历用集合与对应的语言刻画函数的过 程 为了理解函数概念的本质 教科书从函数的三要素 函数的符号和函数表示法三个方 面对函数概念进行 精致 最后将函数概念推广到映射 这是一种从具体到抽象的归纳 式结构体系 与个体认识事物本质的过程基本吻合 有利于引导学生经历函数概念的建构 过程而理解函数概念的本质 2 2 为学生概括和领悟函数概念搭建 为学生概括和领悟函数概念搭建 脚手架脚手架 函数概念是中学阶段最难理解的概念之一 其原因主要是 由 f x 的形式化表达方式 所带来的高度抽象性 变量的概念涉及到用运动 变化的观点看待和思考问题 具有辩证 思维特征 有许多下位概念 如自变量 因变量 定义域 值域 单调性 奇偶性 是派生数学概念的强大 固着点 具有广泛应用性 建立函数模型不仅需要具备较强的 数学能力 而且与学生的人生阅历有关 等 其中最根本的还是其高度抽象性 众所周知 越是基础性的概念 其包摄性就越强 应用范围就越广 学生从这些概念 的学习中所领悟到的数学就越本质 所形成的思维方式 养成的思维习惯对学生的终身发 展将具有根本性的影响 所以 对这些概念就越要强调理解的深刻性 基础的稳固性 但 事情都有两面性 这些概念的理解和掌握往往难度很大 需要较长的时间 需要较多的经 验积累 是非经过故知难 亲身经历过的事情感觉才会深刻 这些概念的教学要非常 讲究从简单到综合地组织学习内容 要特别耐心地进行循序渐进的渗透和提高 要特别强 调让学生经历从具体到抽象的概括过程 中学数学中 扮演这种奠基角色的概念不是很多 如数及其运算 空间观念 数形结合 向量 导数 统计观念 随机思想等 但函数 概念是当之无愧的一员 为此 教材特别注意以具体例证为载体化解函数的抽象性 为学 生搭建理解的平台 铺设概括的路线和阶梯 以帮助学生感悟到函数概念的 本来面目 其中特别注重典型实例 表格和图象直观等的作用 并强调在思想方法上给予明确 具 体的指导 1 铺设概括路线 教材在简要回顾初中函数概念的基础上 以三个有真实背景的实 例为载体 先从 变量说 出发 并用集合与对应的语言详细讲解第一个实例的对应关系 再引导学生通过模仿叙述后两个实例的对应关系 然后以 你能概括一下这三个实例的共 同特征吗 为引导 使学生用集合与对应语言概括实例的本质而形成 对应说 接着 在函数的表示 函数的性质等内容中 不断强化对函数这一类特殊 对应关系 的认识 强化对函数所研究的问题和思想方法的理解 教材希望通过这样的概括路线 引领学生逐 步领悟函数的本质 2 实例的作用 在实例的选择中 我们特别在意它们的典型性和丰富性 因为我们 相信这些例子在学生理解函数概念中能起到奠基性的 参照物 作用 教材在函数概念的 引入 表示 性质和应用等各阶段 都借助实例为学生提供思考 探究 交流的机会 以 便使学生在具体例子的支持下开展思维 形成函数概念理解活动的强大背景支撑 3 表格 图象的作用 表格 函数图象不仅是 表示法 的一种 从学生学习的角 度看 它们使抽象的函数符号形象化 为学生提供了直观的机会 例如图象的种种形象和 基本性质使得学生直观地 看到 想象到函数的定义域 值域 单调性等种种性质 看 到 a 的取值是如何决定 y ax的特性的 看到 y sin 2x 什么时候取正值或负值等 所以 图象是帮助学生理解函数概念的重要载体 另外 用函数图象分析和解决问题时体现出的 数形结合思想 是培养学生数学能力的重要载体 因此 与以往教材比较 人教 A 版 特别注重函数图象的使用 4 思想方法的明确和具体指导 从知识分类角度看 内容所反映的数学思想方法 属 隐性知识 是人类在认识客观世界中的 数量关系 空间形式 和 随机性中的 规律性 的过程中产生的 是指导人们研究数 形规律时需要遵循的规则和程序 与人的 世界观有紧密联系 因为数学思想方法的这种 隐蔽性 默会性 及其高层次性 但中 学生的认识能力 智慧水平正在发展中 因此数学思想方法的学习 一方面要强调让学生 在亲身体验中获得内心感悟 另一方面还要依靠明确具体的语言指引 这也是加速学生领 悟过程的需要 基于这样的认识 教材在数学思想方法指导上颇费心思 不遗余力 例如 在具体讨 论函数性质之前 教材有这样一段话 变化之中保持的 不变性 规律性 就是性质 函数是描述现实事物运动变化规律的数学 模型 现实事物的某些变化会随着时间的推移而有增有减 有快有慢 有时达到最大值有时 处于最小值 这些现象反映到函数中 就是函数值随自变量的增加而增加或减少 什么时 候函数值最大 什么时候函数值最小 这就是我们要研究的函数性质 知道了函数性质也 就把握了事物的变化规律 这段话的目的就是为了让学生明确函数性质的内容 研究方法和意义 3 3 加强建立函数模型的活动 深化函数概念理解 加强建立函数模型的活动 深化函数概念理解 前面已经谈到 为了有利于学生理解函数概念 教材采用 归纳式 安排学习内容 使学生在分析 归纳 概括实例共同本质属性的基础上 感悟函数概念及其蕴含的思想方 法 在学生初步领悟函数概念 知道了函数是对客观现实数量关系的抽象以后 教材安排 了建立实际问题的函数模型的内容 给学生提供建立模型 求解模型 再用模型描述 解 释实际问题的学习机会 古人云 纸上得来终觉浅 绝知此事要躬行 在用函数建模 的过程中 不但可以使学生更深入地感悟函数 而且还可以使学生形成用函数解决问题的 真实体验 对于函数这样抽象程度极高的概念 只有设法使学生卷入其中 强化他们的亲 身体验 注重他们的内心感悟 引起他们的心灵共鸣 才能真正转化为学生认识客观规律 解决实际问题的强大武器 注重学生思维参与和感悟的函数概念教学 二 人民教育出版社中数室 章建跃 二 课后的交流二 课后的交流 在本单元的教学结束后 我们马上进行了交流互动 这样做的目的是为了及时对照课 堂中发生的情况与教学设计的差异 增强教学反思的时效性 章 对这个单元的教学目标你是怎么认识的 你心中的核心目标是什么 陶 这个单元的教学目标 有 能用集合与对应的语言来刻画函数 体会对应关系在 刻画函数概念中的作用 了解构成函数的要素 会求一些简单函数的定义域和值域 了解映射的概念 会根据不同的需要选择恰当的方法 如图象法 列表法 解析法 表示函数 通过具体实例 了解简单的分段函数 并能简单应用 我以为 核心目 标是理解函数概念的本质 对应关系 通过教学要使学生体会到函数的对应法则 定义 域 值域是一个整体 这样才能准确 完整地刻画两个变量之间的数量关系 函数的各种 表示方法 函数的各种性质等 都是围绕函数概念展开的 当然 这个核心目标不是一节 课能够完成的 章 你认为高中学生理解函数概念的认知基础有哪些 陶 必须注意到 高中学生不是首次接触函数 在初中 学生已经学习过函数概念 认识到函数研究的是变量之间的依赖关系 学习过函数的表示方法 函数的图象 并且研 究过几个具体的函数 正比例 反比例 一次 二次 对函数已经有了不少的认识 函 数的定义域 值域虽然没有作为一个概念提出 但学生已从具体函数的应用中体验到自变 量的取值有范围的限制 从而 与自变量的取值相应的因变量的值也构成一定的取值范 围 由于年龄特点 学习要求不高等各种因素 初中对函数的认识角度不同 初中从运动 变化的观点出发刻画函数 而高中要求用集合 对应的语言来刻画函数概念 初中不涉及 抽象的符号 f x 而高中出现了 f x 这一抽象的符号 后面出现的复合函数就更难理 解 在高中 定义域可以人为给出 可以不再是 自然定义域 高中更加强调用函数的 观点看待和处理方程 不等式等问题 更注重函数模型思想 应用要求明显提高了 因此 函数概念的这一次螺旋上升不仅有知识方面的变化 也有提高理解深度的要求 还有应用 能力要求的提高 章 你认为学生理解函数概念的难点在哪里 可以怎样突破 陶 我以为 学生理解函数概念的难点在于 理解函数的抽象符号表示 即 f A B y f x x A f x B 关键是 抽象 尤其是对应关系 f 到底是 什么 突破的方法是 利用学生已有的认知基础 回顾初中关于函数的认识 通过大量具 体的实例 让学生体会对应法则 f 的含义 这是重中之重 体会到限制变量 x y 的取值 范围的必要性 逐步引导学生用严谨的数学语言 两个非空数集 A B 之间的对应关系 来刻画两个变量之间的数量关系 为了认识抽象的符号 f x 采用从具体到抽象 从特 殊到一般的方法 以大量的形式多样 三种表示 的实际问题为依托 使得抽象符号 f x 的引入具有更好的具体背景 使学生更好地体会它所包含的信息 即对应法则 f 自 变量 x 另外 它是数集 B 中的一个数 章 在教学设计中 你考虑最多的问题是什么 你认为把握好哪些就可以使学生理解 好函数概念了 陶 在教学中 我考虑最多的是 应该充分利用学生已有的知识基础与认识能力 注 意到与所要学习的内容 要求之间的差距在哪里 还有就是选择什么样教学方法来消除这 一差距 顺利实现从初中到高中的这一次螺旋上升 要使学生理解好函数概念 就要围绕 这个概念的核心来组织教学 这个概念的核心是对应法则 f 如何对应 就是对于集合 A 中的任意一个数 x 在集合 B 中有唯一确定的数 f x 与它对应 在这个对应中 任 意 唯一 是关键词 也是难点 而突破这一难点的方法 不是靠教师直接告诉学生 然后加以解释 要求引起注意 也不是教师自己举些例子来加以说明 应该通过学生自己 的举例 通过对所举实例的分析 讨论 让学生感受 体验这些关键词存在及其重要 性 陆游说过 纸上得来终觉浅 绝知此事要躬行 学习是学习者的体验与感受 需要 他们自己亲自来体验 来感受 因此 我十分注重把学生引导到概念定义的过程中来 十 分注重学生在课堂教学中的 参与度 章 我注意到 你在课堂中特别重视让学生自己举例 而且问了许多 为什么 凭 什么 请谈谈这样做的用意 陶 让学生举例是为了让学生参与到概念的形成过程中来 为概括函数的本质特征提 供丰富的背景基础 学生在举例时要考虑许多问题 比如举什么例子 论据 事实证明 他们从自己的生活中找 在自己所学习的学科中找 形式多样 内容丰富 企图说明什么 问题 论点 从这里正可以发现他们对概念理解的偏差 什么样的例子最好 最能切中 要害 他们在表述时还会考虑自己表达要准确 语言要精练 等等 总之 他们对自己 所举出的例子体会最深 在给出概念后再让学生举例 可以观察到学生对函数概念的理解 程度 发现理解不到位的地方 以便及时补救 询问学生 你凭什么这么说 你举的例子 表示一个函数 是为了促使学生运用已学概念来解释自己所举的例子 这样可以促进学 生更深入地思考 数学思维的特点是用概念思维 是逻辑思维 多问 为什么 可以暴 露学生解决问题背后的思维过程 而不是满足于解决问题 多问 为什么 是为了启发学 生思考 养成学生质疑的习惯 引导学生学会提出问题 研究问题 同时也培养创新精 神 数学是思维科学 数学教学是思维教学 数学教师应当把培养学生的思维能力作为数 学教学的终身任务 章 我看过你的教学设计 又听了你的课 教学设计中的有些内容在实际教学中并没 有出现 你是怎么考虑的 陶 是的 原来的教学设计中有求函数定义域的练习 由于时间来不及就没有做 了 也许有人认为这堂课的教学任务没有完成 毫无疑问 每一堂都应该有教学目的 要 求 有教学任务 什么是 教学任务 除了数学知识的教学任务之外还有能力培养的任 务 除了显性目标之外还有隐性目标 尤其要注意 育人 这个大目标 而不能仅关注 知识 这个目标 教学是一个动态生成的过程 有的事课前没有估计到但课堂上发生了 有的事课前有准备而课堂上并没有发生 比如 我没有预料到 同学们在 射击时脱靶是 否有成绩 这个问题上发生争论 而这个问题的讨论 对认识函数概念中的关键词 每一 个 唯一确定 很有意义 当时就觉得这个讨论很值得 再如 当同学们对函数概念 中的对应关系 f 到底是什么还存在模糊认识时 我舍得花时间 再通过实例来加以认 识 在 预设 与 生成 发生矛盾的时候 我会毫不犹豫地选择 生成 只要对发展 学生的知识 能力有意义 而不是无理取闹或者无谓的争论 教学越民主 越尊重学生认 知过程的课堂 教学任务没有完成 的事就越容易发生 在讨论 交流活动中 同学们 边讲边想 边想边讲 训练了思维 加深了对知识的理解 又培养了说理 表达的能力 还学会了倾听 学会了尊重 身心健康得到发展 所以我认为对 完成 两个字要有正确 理解 那种为了把知识 交 给学生而中断学生实质性数学思维活动的 完成 是得不 偿失的 注重学生思维参与和感悟的函数概念教学 三 人民教育出版社中数室 章建跃 三 实践基础上的理性反思三 实践基础上的理性反思 人们常用 功夫在诗外 来强调做好一件事情其实取决于一个人的经历 阅历 学识 见解 以及他的才智 精神乃至道德境界 我想我们的教学就更是如此了 听完陶老师的 课和他上面阐述的对本单元教学目的的理解 教学内容分析 学生认知分析 教学重点难 点和教学过程设计意图 以及他在课堂中根据学生学习对自己的教学设计作出的及时调整 让我充分感受到他的 课外功夫 之深厚 我认为 成功的课堂教学是以教师对数学 学 生 教学等的深刻理解为前提的 下面从教学内容的理解 教学目标的确定 概括过程的 设计 思维教学的落实等几个方面 谈谈我对陶老师的课的认识 一 教学内容的把握和教学目标的确定 一 教学内容的把握和教学目标的确定 从前面的分析可以看到 初中以 变量说 给出函数定义 重点是借助一次函数 二 次函数 反比例函数等与学生生活经验紧密相关的几类函数 帮助学生形成对函数的直接 体验 体会函数的意义 形成用函数解决问题的直接经验 本单元在一般意义上 用集合 对应的语言定义函数 引进数字以外的符号 y f x 中 f 不代表数 与 x y 的含义非常不 同 表达函数 进一步明确函数的表示法 以函数的单调性 奇偶性等典型性质为载体 给出研究函数性质的方法和过程的示范 进一步体验函数作为描述现实世界变化规律的基 本数学模型的作用 使学生形成用函数概念研究具体问题的 基本规范 在此基础上 再回到 基本初等函数 的学习 通过对指数函数 对数函数 三角函数等具体函数的研 究 逐步加深对函数概念的理解 在 基本初等函数 的应用中 不断体验函数是描述客 观世界变化规律的基本数学模型 体验指数函数 对数函数 三角函数等与现实世界的紧 密联系性 建立更加广泛 稳固的函数本质的理解 所以 本单元的核心任务就是 建立一般意义的函数概念 了解函数的抽象符号的意 义 了解函数中的问题 内容和方法 形成研究函数问题的 基本规范 我们看陶老师在 函数的概念 中确定的教学目标 我认为 其中的三项内容准确地 反映了本单元教学内容的地位和作用 要求适当 没有在一些细节上过分纠缠 因此显得 大气 而且也符合心理学的 先行组织者 策略 课堂观察发现 许多教师在这里都会强调概念的细节 如 函数是两个数集之间的对 应 任意性 唯一性 一一对应或多一对应 y f x 是一个整体 不是 f 与 x 的 乘积 它是一种符号 可以是解析式 也可以是图象 也可以是表格 y f x 如同一个加 工厂 输入 x 经过 f 而加工为另一个数值 y 定义域 值域都是一个集合且值域是集合 B 的子集 等 象这样 针对着定义进行的抽象讲解 似乎是一种围绕概念的 关键词 的 概念 精致 活动 但是由于学生刚刚接触抽象定义 他们头脑中理解这些细节的相应具 体例证 包括正例 反例 还不够 因此在这个时候强调 细节 其效果只能是 越讲 越糊涂 从陶老师的课堂教学看 在给出概念的文字表述后 他让学生自己举例 并通过 你 凭什么说自己举的例子就是函数 引导学生开展用概念解释事例的活动 推动学生深化 概念的理解 我想他采取的这些措施就是他对本单元教学目的准确把握的体现 二 如何设计 二 如何设计 概念的形成过程概念的形成过程 从教的角度看 概念教学的核心是引导学生开展概括活动 将凝结在数学概念中的数 学思维活动打开 以若干典型具体事例为载体 引导学生展开分析各事例的属性 抽象概 括共同本质属性 归纳得出数学概念等思维活动而获得概念 数学教学要 讲背景 讲思 想 讲应用 概念教学则要强调让学生经历概念的概括过程 其基本环节 背景引入 具体例证的属性分析 比较 综合 概括共同本质特征得到概念的本质属性 下定 义 准确的数学语言描述 概念的辨析 以实例 正例 反例 为载体分析关键词 的含义 用概念作判断 形成用概念作判断的 基本规范 概念的 精致 建立与相关概念的联系 从学的角度看 概念形成和概念同化是两种基本的概念获得方式 概念形成的实质是 抽象出一类对象的共同本质属性的过程 其思维活动的核心是概括 概念同化就是学生利 用已有认知结构中的相关知识理解新概念 理解的过程是新旧知识的相互作用过程 是将 新知识纳入已有认知结构的过程 思维活动的核心仍然是概括 对于概念学习的心理过程 我们借助当下比较流行的美国数学教育家杜宾斯基 Dubinsky 的 过程 对象 理论 加以说明 我认为 这一理论实质上是对人们认识客观事物过程中的 去粗取精 去伪存 真 由此及彼 由表及里 的进一步具体化 细化 根据这一理论 像函数这类数学核心 概念的掌握需要经历反复的 螺旋上升的建构过程 其基本结构是 在函数概念的学习中 不同阶段有不同的智力操作 首先 学生利用自己熟悉的运算 变换等作用于函数的具体例证 并进行操作 例如 以 正方形的边长与面积间的关系 为载体 通过具体图形 建立边长与面积间的对应关系 11 24 39 416 通过数的四则运算 体会 R R R 的对应 通过求 代数式的值体会由一个量的变化引起另一个量的变化的过程 通过解二元一次方程的操作 体会变量之间的依赖关系 另外 学生还在学习中接触了大量的通过图形 表格表示变量 之间依赖关系的实例 在这个过程中 学生逐渐地把作用于函数的操作 输入 输出 各种表示方法 箭头 表格 语言描述 符号表示 图形等 以及作为对象的函数一起 内化到头脑中 一个操作必须得到内化 而一个内化了的操作是一个过程 操作只有得到 内化 学生才会有自觉地反映它并把它和其他操作组合起来的可能 内化的过程需要经历 适当的训练 例如 学生在操作大量具体函数的基础上获得 对于数集 A 中的任意一个元 素 x 在数集 B 中都存在唯一的一个元素 y 与之对应 这一思想 它不依赖于任何特定的 函数 对集合 A B 以及对应关系 f 没有具体限制 但有 两个集合元素之间的依赖关系 的内涵 并能进行 输入 输出 的运算 这是一个由内化操作所得结果的过程 它是 建构过程的一条途径 另一条途径是用已有的过程去建构新的过程 它包含两种方式 一 种是通过逆 例如 已知函数值求自变量 作为一个操作 然后内化变成一个过程 另 一种是组织或协调两个或更多个过程 例如 函数单调性的认识 通过协调 函数图象 和 由函数解析式 通过运算或代数变换比较大小 数与形的结合 能够帮助学生更 好地领悟单调性的本质 在内化过程中 始终伴随着 一般化 活动 例如 学生将正方形的边长与面积间的 对应关系 11 24 39 416 一般化 为 xx2 实质是概括出 对应关系 这一核心 对 xx2 进一步 一般化 可以表示其他问题 如匀加速运动 的变化 规律 将各种具体事例的 对应关系 再概括 浓缩为一般性符号 xf x 得到一 个具有 一般性 的 对应关系 再用严谨的数学符号语言表述 得到形式化的函数概 念 这是一个更高层次的 一般化 活动 总之 通过大量的 从具体事例中概括出 对应关系 的操作 学生积累了用集合与 对应的语言刻画函数的活动经验 掌握了越来越多的函数具体例证 对 对应关系 描述 变量之间依赖关系的作用的体会也越来越深刻 对函数的本质理解得越来越透彻 进而逐 步明确函数研究的问题和方法 形成用函数思想研究问题的 基本套路 养成用函数观 点看待和处理现实问题和数学问题意识 理想的学习结果是形成一个包含大量具体函数实 例 清晰的函数下位概念 如变量 对应关系 定义域 值域 图象 函数性质等 用 函数观点处理问题的思想方法及 基本套路 与其它相关知识 方程 不等式 曲线等 建立紧密联系的 函数认知结构 我们再看陶老师设计的教学过程 第一课时 函数的概念 第一步 让学生回顾初中的函数概念并举例 第二步 学生举了许多能用解析式表示的例子 在问题 函数关系都是可以用解析式 表示的吗 的引导下 举出用图 表表示的函数实例 要求学生说明为什么它们是函数 第三步 引导学生用集合与对应语言描述实例 第四步 给出概念的定义 第五步 辨析概念中的关键词 第六步 用概念进行判断的练习 包括用 对应说 解释初中学过的几类函数 用概 念解释一个具体解析式是否为函数 求函数的定义域 值域 判断两个函数是否 相等 等 第二课时 函数的表示 第一步 通过具体问题引导学生体会三种表示法的特点 并进一步体会函数三要素的 整体性 第二步 通过三种表示法的优缺点比较 体会根据需要选择适当表示法的必要性 第三步 通过判断直角坐标系中的一个图形是否表示函数 进一步体会 y f x 中的对 应关系 f 的含义 从而进一步体会函数概念 第四步 通过转换函数表示法解决实际问题的活动 使学生学会根据问题的特点选择 函数表示法 第三课时 函数的单调性 第一步 给出 先行组织者 使学生明确研究函数性质的内容 方法和意义 第二步 观察图象 得到函数单调性的 直观定义 第三步 结合图 表 得到函数单调性的 描述性定义 第四步 通过 问题串 引导学生认识函数单调性的充要条件 得到函数单调性的 形式化定义 第五步 通过练习 小结等活动 使学生体会研究函数单调性的过程及其思想方法 即 图形直观 定性刻画 定量刻画 最后用不等式 即 大小比较 的方法刻画 一种变化规律 从知识的发生发展过程看 上述过程是循着 定义 表示 性质 的线索展开 的 实际上 这也是数学中研究问题的基本思路 研究某一数学对象 先要给它起一个反 映其本质特征的名字 然后要考察它有哪些表现形式 不同的表示方法 再要研究它的 性质 变化中的规律性 不变性 不变量等 和判定 研究的工具是数及其运算和运算律 包括等式的性质 不等式的性质 导数 向量 直角坐标系等 从对学生认知过程的预设看 较好地反映了 过程 对象 的概念学习需要 以第 一课时为例 首先 安排学生进行大量的操作 如 举例 说明 举出例子并用 变 量说 判断 用集合与对应的语言描述 关键词辨析 用新定义作判断 等 其次 通过 说理 反驳 活动 你凭什么说 等 将操作内化而使实例转化 为一个 对象 过程 的整体 通过概括各种具体事例的共同本质特征的操作 浓缩 一般化 而得到函数的 对应说 通过协调三种表示法而产生一般性符号表示 y f x 通过 直角坐标系中的图形是否为函数 两个函数是否相等 等 作为过程的逆 推进关键词的理解 等 注重学生思维参与和感悟的函数概念教学 四 人民教育出版社中数室 章建跃 三 如何落实 三 如何落实 思维的教学思维的教学 大家都认同 数学是思维的科学 数学教学是思维的教学 其理由已有大量讨 论 关键是 如何落实 观摩了陶老师的课堂教学后 我的一个强烈感受是 思维的教 学就该如此 1 1 树立正确的学生观 树立正确的学生观 我认为 陶老师的学生观很值得我们关注 他总是说 学习是学生自己的体验与感 受 因此学生在课堂教学中的参与度很重要 重视学生的课堂感受才能把握学生的思维 节奏 也才能使激发学生的思维积极性落在实处 为了推动学生的深度参与 陶老师采取 了许多切实有效的措施 例如 人的思维品质在敏捷性 灵活性上都有差异 因而学生的 思维有快有慢 为了面向全体 陶老师在提出问题后 要求学生 想好了就举手示意一下 让我了解大家的思考进度 并提醒那些速度快的学生 别着急 等一下其他同学 你自 己也再想想 待大多数同学都举手示意后 再请 愿意讲的学生 讲 然后提示 你讲 完了吗 大家听清楚了吗 还有没有不同意见 这种平等交流的氛围使学生在 不知不觉中放松了心情 自然而然地形成了大多数同学参与思考 讨论的局面 不同想法 的交流 补充在无形中推动了概念理解的深化 我认为 这些措施看似简单但教育寓意深 刻 这是陶老师在长期的教学实践中日积月累所形成的 习惯性动作 是一种自动化的 行为 这些习惯与行为是广大数学教师在专业化发展过程中应努力追求的 2 2 让学生真正 让学生真正 动起来动起来 从学习方式看 陶老师特别强调了让学生主动实践的重要性 众所周知 要使学生真 正理解书本知识 必须要有他们自己身体力行的实践 从自己亲历亲为的探索思考中获得 体验 从自己不断深入的概括活动中 获得对数学概念本质的深刻领悟 获得诗外的真功 夫 现在的关键是要把这些理念落实到课堂中 陶老师的做法是 以数学概念的发生发展 过程为线索 循序渐进地安排学生的观察 实践性探索 思维 理性思考 和迁移 知 识应用 活动 引导学生动手做 动眼看 动耳听 动口说 动笔写 动脑思 用心想 全身心地投入学习 在理解概念的过程中 实现数学能力的发展 培育理性精神 3 3 精心选择和使用例子 精心选择和使用例子 陶老师在例子的使用上可谓匠心独运 例如 根据教材编写意图以及学生的实际 他 在让学生举自己心目中的函数例子后 及时补充了两个例子 2009 年 2 月 20 日自上午 9 30 至下午 3 00 上海证券交易所的股指图 某射击运动员打靶的序数与环数对应 表 为了促进学生理解对应关系 他让学生对函数 y x2 y 赋予具体意义 等 榜样的力量是无穷的 一个好的例子胜过