与圆有关的角

2 1 C A O O B A D C B D 相等的弧 相等的弦 相等的圆心角相等的圆周角 与圆有关的角与圆有关的角 教学设计教学设计 逯少锋 学习目标学习目标 1 熟练掌握弧 弦 圆心角 圆周角直接按的关系 及圆心角 圆周角定理及相关推论 2 理解并能灵活运用弧 弦 圆心角 圆周角之 间的关系进行角的转换和计算 一 一 知识积累 知识积累 一 圆心角 1 的角叫圆心角 2 圆心角定理 在 中 相等的圆心角所对的 相等 所对的 也相等 3 圆心角定理推论 在同圆或等圆中 两个 两条 两条 两条弦的 中有一组量相 等 其余各组量都相等 二 圆周角 1 顶点在 两条边 的角叫做圆周角 2 圆周角定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的 3 圆周角定理的推论 推论 1 同弧或等弧所对的圆周角 在同圆或等圆中 相等的圆周角所对的 弧 推论 2 或 所对的圆周角等于 90 90 的圆周角所对的弦是 4 圆内接四边形的性质定理 圆内接四边形的对角 推论 圆内接四边形的任何一个外角等于它的 二 巩固练习二 巩固练习 一 加深理解一 加深理解 1 对圆周角的理解 如图 AOB 与 ACB 是对的圆心角与圆周角 故有 A AB ACB AOB 反之 AOB ACB 定理的作用是勾通圆心角 圆周角之间的数量关系 2 对圆周角定理的两个推论的理解 1 推论 1 是圆中证角相等最常用的方法之一 若将推论 1 中的 同弧或等弧 改为 同弦或等弦 结论就不成立了 因为一条弦所对的圆 周角有两种可能 一般情况不相等 如图中的 1 与 2 推论 1 中 相等的圆周角所对的弧也相等 的前提条件是 在同圆或等圆中 离开这个 前提条件 结论不成立 如图中的 AC 与 BD 联系圆心角定理推论可得 在同圆或等圆中在同圆或等圆中 2 推论 2 应用广泛 一般地 如果题目中有直径有直径时 往往作出直径上的圆周角作出直径上的圆周角 直角 P B O A C D E D O C A B 如果需要直角或证明垂直需要直角或证明垂直时 也往往作出直径作出直径即可解决问题 推论也是证明弦是直径常用推论也是证明弦是直径常用 的办法的办法 3 对圆的内接四边形定理的理解 1 内对角 是圆内接四边形的专用名词 是指与四边形的一个外角相邻的内角的对角 2 定理的另一个含义是对角和相等 都为 180 3 定理是证明与圆有关的两角相等或互补关系的重要依据 4 使用定理时 要注意观察图形 不要弄错四边形的外角和它的内对角的位置 二 解题方法技巧点拨二 解题方法技巧点拨 1 圆心角和圆周角之间的换算 例例 1 已知 如图 AB 为 O 的直径 弦 CD 交 AB 于 P 且 APD 60 COB 30 求 ABD 的度数 例例 2 如图 ABC 中 AB AC A 80 以 AB 为直径的半圆交 AC 于 D 交 BC 于 E 求 AD BD DE 所对圆心角的度数 点拨 点拨 1 辅助线 AE 构造了 直径上的圆周角是直角 的基本图形 因此在关于直径的问题 中 常添辅助线使之构成直角三角形 即有直径 得直角 2 本题还有副产品 BE EC 你注意了吗 该副产品有时很有用 备用题 备用题 如图 BC 为半圆 O 的直径 点 F 是弧 BC 上一动点 点 F 不与 B C 重合 A 是弧 BF 上的中点 设 FBC ACB 当 50 时 求 的度数 猜想 与 之间的关系 并给与证明 2 圆内角 圆外角 圆周角之间的运算题 圆内角 角的顶点在圆内的角叫做圆内角 圆外角 角的顶点在圆外 并且两边都和圆相交的角 例例 3 如图 圆的弦 AB CD 延长线交于 P 点 AD BC 交于 Q 点 P 28 AQC 92 求 ABC 的度数 Q B D O P A C A OBC F 分析 圆内角和圆外角都是通过圆周角建立联系 故圆内角 AQC 与圆外角 P 可通过圆 周角 ABC ADC 与 A C 建立起联系 点拨 点拨 圆内角与圆外角都通过圆周角建立联系 同弧对的圆内角 圆外角 圆周角之间的大小关系是 圆内角 圆周角 圆外角 圆内角等于它所对弦对的圆周角与它对顶角所对的弧对的周角之和 如图 AQC ABC A 圆外角等于它所截两条弧所对的圆周角之差 如图 P ABC A 3 与圆周角有关的证明 例例 4 如图 ABC 内接于 O AE BC 于 D 交 O 于 E AF 为 O 的直径 求证 BAF CAE 2 求证 AB AC AD AF 3 若过 O 作 ON AB 于 N 则 ON 与 CE 之间有何数量关系 D FE O A BC 例例 5 如图 AB 是 ABC 外接圆 O 的直径 D 为 O 上一点 且 DE CD 交 BC 于 E 求证 EB CD DE AC E B O A C D 例例 6 如图 ABC 是 O 的内接三角形 O 的直径 BD 交 AC 于 E AF BD 于 F 延长 AF 交 BC 于 G 求证 AB2 BG BC 例例 7 已知 O1的圆心 O1在 O2上 且两圆交于 A B 两点 O1D 为 O2 的弦 交 O1于 C 求证 O1C2 O1E O1D E C B A O2 O1 D 点拨 点拨 在圆中有弧中点时 常用以下三种辅助线 过弧中点作半径 连等弧对的圆心角和圆周角 连等弧对的弦 G F D O A B C 4 与圆的内接四边形的有关计算问题 例例 8 如图 已知 AB 是半圆 O 的直径 BAC 40 D 是 AC 上任意一点 那么 D 的 度数是 C B AO D 备用题 如图 AB 是 O 的直径 BC 是弦 OD BC 于 E 交弧 BC 于 D 1 请写出四个不同类型的正确结论 2 若 BC 8 ED 2 求 O 的半径 3 连 CD 设 BDC ABC 探