上海市十校2012届高三数学第二次联考试题 理

用心 爱心 专心 1 上海市十校上海市十校 20112011 20122012 学年度高三第二学期考试学年度高三第二学期考试 数数 学学 试试 题 理 题 理 一 填空题 本大题满分 56 分 本大题共有 14 题 考生应在答题纸相应编号的空格内直接 填写结果 每个空格填对得 4 分 否则一律得零分 1 若函数的反函数为 则 f x 1 3 logfxx f x 2 若复数是纯虚数 i 是虚数单位 b 为实数 则 1 3 bii b 3 已知不等式的解集为 则实数的值为 2 0 1 xa x 1 b ba 4 已知线性方程组的增广矩阵为 若该线性方程组解为 则实数 116 12a 4 2 a 5 若向量 满足 且与的夹角为 则 a b 1 2ab a b 3 aab 6 已知圆锥的母线长为 侧面积为 则此圆锥的体积为 5 15 7 在中 已知 则 ABC sin sin sin2 3 4ABC cosC 8 已知直线 的参数方程是 则 在轴上的截距为 l 4 4 5 3 3 5 xt tR yt ly 9 若实数 且 则方程表示焦点在m n2 1 123nm 1 22 n y m x 轴上的双曲线的概率是 y 10 已知是奇函数 则的值域为 1 31 x f xa f x 11 数列中 对于任意 都有 Sn是的前 n a 1 2a mnN 2 m nmn aaa n a n 项和 则 lim 1 n n n na S 12 已知双曲线的两个焦点分别为 该双曲线与抛物线有一个公 22 22 1 xy ab 12 FF 2 8yx 用心 爱心 专心 2 共的焦点 且两曲线的一个交点为 则的大小为 结 1 FP 1 5FP 12 FPF 果用反三角函数表示 13 毛毛的计算器中的 开根号 键最近 感冒 了 输出的结果千奇百怪 细心的毛毛在 复习资料上发现有一个真命题 已知对于任意正数 则一定在和之间 并3 a ab b 3 a b 3ab ab 且比更接近 毛毛自己编制了一个算法来 3ab ab a b 3 求的近似值 如图 请你在 中填上适当赋值语3 句 y 14 下图展示了一个区间 0 k k 是一个给定的正实数 到实数集 R 的对应过程 区间 0 k 中的实数 m 对应 线段 AB 上的点 M 如图 1 将线段 AB 弯成半圆弧 圆 心为 H 如图 2 再将这个半圆置于直角坐标系中 使 得圆心 H 坐标为 0 1 直径 AB 平行 x 轴 如图 3 在图形变化过程中 图 1 中线段 AM 的长度对应于图 3 中的圆弧 AM 的长度 直线 HM 与直线相交与点 N1y 则与实数 m 对应的实数就是 n 记作 1 n 给出下列命题 nf m 1 2 函数是奇函数 3 是定义域上的单调递 6 4 k f nf m nf m 增函数 4 的图象关于点对称 5 方程的解是 nf m 0 2 k 2f m 3 4 mk 其中正确命题序号为 二 选择题 本大题满分 20 分 本大题共有 4 题 每题有且只有一个正确答案 考生必须 是 否 输出y 结束 开始 输入 x 1 xy 0 001yx y MAB m A M B O H x y 1 N n 2 y 2 x y 2 图 1 图 2 图 3 BA H M 用心 爱心 专心 3 在答题纸的相应编号上 将代表答案的小方格涂黑 选对得 5 分 否则一律得零分 15 是 直线与直线平行 的 2a 210 xay 220axy A 充要条件 B 充分不必要条件 C 必要不充分条件 D 既不充分也不必要条件 16 设事件 A B 已知 则 A B 之间的关系一定为 P A 1 4 P B 3 1 P AB 7 12 A 互斥事件 B 两个任意事件 C 非互斥事件 D 对立 事件 17 若M为ABC 所在平面内一点 且满足 则 02 MAMCMBMCMB ABC 的形状为 A 正三角形 B 直角三角形 C 等腰三角形 D 等腰直角三角 形 18 在平面直角坐标系中 设点 定义 其中 O 为坐标原点 对于 P x y OPxy 下列结论 1 符合的点 P 的轨迹围成的图形的面积为 2 1OP 2 设点 P 是直线 上任意一点 则 5220 xy min 2 5 5 OP 3 设点 P 是直线 上任意一点 则 使得最小的点 P 有无1 ykxkR OP 数个 的充要条件是 1k 4 设点 P 是椭圆上任意一点 则 2 2 1 4 x y max 5OP 其中正确的结论序号为 A 1 2 3 B 1 3 4 C 2 3 4 D 1 2 4 三 解答题 本大题满分 74 分 本大题共有 5 题 解答下列各题必须在答题纸相应编号的 规定区域内写出必要的步骤 19 本题满分 12 分 本题共有 2 个小题 第 1 小题满分 4 分 第 2 小题满分 4 分 第 3 小题满分 4 分 如图所示 在边长为 12 的正方形中 点在 11 ADD A B C 线段上 且 作 分别AD3AB 4BC 1 BB 1 AA 交 于点 作 分别交 11 AD 1 AD 1 BP 1 CC 1 AA 11 AD A B C D A1 B1 C1 D1 P Q 图1 用心 爱心 专心 4 于点 将该正方形沿 折叠 使得与重合 构成如图 2 1 AD 1 CQ 1 BB 1 CC 1 DD 1 AA 所示的三棱柱 http 111 ABCABC 1 求证 平面 AB 11 BCC B 2 求四棱锥的体积 ABCQP 3 求二面角的大小 APQC 20 本题满分 14 分 本题共有 2 个小题 第 1 小题满分 7 分 第 2 小题满分 7 分 如图 有一块边长为 1 百米 的正方形区域ABCD 在点A处有一个可转动的探照灯 其 照射角PAQ 始终为45 其中点P Q分别在边BC CD上 设 tanPABt 1 用t表示出 PQ 的长度 并探求CPQ 的周长l是否为定值 2 问探照灯照射在正方形ABCD内部区域阴影部分的 面积S最大为多少 平方百米 21 本题满分 14 分 本题有 2 个小题 第 1 小题满分 7 分 第 2 小题满分 7 分 已知数列的前项和 n an 1 2 3 nn aSn N 1 求的通项公式 n a A B C A1 B1 C1 P Q 图2 QC D AB P 45 QC D AB P 45 用心 爱心 专心 5 2 若对于任意的 有成立 求实数的取值范围 n N14 nak n k 22 本题满分 16 分 本题共有 3 个小题 第 1 小题满分 4 分 第 2 小题满分 6 分 第 3 小 题满分 6 分 已知过点的动直线 与圆相交于两点 是中 1 0 A l 22 3 4C xy P QMPQ 点 与直线相交于 l 360m xy N 1 求证 当 与垂直时 必过圆心 lmlC 2 当时 求直线 的方程 2 3PQ l 3 探索是否与直线 的倾斜角有关 若无关 请求出其值 若有关 请说明AMAN l 理由 23 本题满分 18 分 本题共有 3 个小题 第 1 小题满分 4 分 第 2 小题满分 6 分 第 3 小 题满分 8 分 已知函数 设函数 2 3 2f xmxg xxxm G x 1f xg x 1 求证 函数必有零点 f xg x 2 若在上是减函数 求实数的取值范围 G x 1 0 m 3 是否存在整数 使得的解集恰好是 若存在 求出的 a b aG xb a b a b 值 若不存在 说明理由 用心 爱心 专心 6 参考答案 一 填空题 本大题满分 56 分 本大题共有 14 题 考生应在答题纸相应编号的空格内直接 填写结果 每个空格填对得 4 分 否则一律得零分 1 若函数的反函数为 则 f x 1 3 logfxx f x 3x 2 若复数是纯虚数 i 是虚数单位 b 为实数 则 1 3 bii b3 3 已知不等式的解集为 则实数的值为 1 2 0 1 xa x 1 b ba 4 已知线性方程组的增广矩阵为 若该线性方程组解为 则实数 116 12a 4 2 a 1 5 若向量 满足 且与的夹角为 则 2 a b 1 2ab a b 3 aab 6 已知圆锥的母线长为 侧面积为 则此圆锥的体积为 5 1512 7 在中 已知 则 ABC sin sin sin2 3 4ABC cosC 1 4 8 已知直线 的参数方程是 则 在轴上的截距为 l 4 4 5 3 3 5 xt tR yt ly6 9 若实数 且 则方程表示焦点在m n2 1 123nm 1 22 n y m x 轴上的双曲线的概率是 y 3 10 10 已知是奇函数 则的值域为 1 31 x f xa f x 11 22 11 数列中 对于任意 都有 Sn是的前 n a 1 2a mnN 2 m nmn aaa n a n 项和 则 2 lim 1 n n n na S 用心 爱心 专心 7 12 已知双曲线的两个焦点分别为 该双曲线与抛物线有一个公 22 22 1 xy ab 12 FF 2 8yx 共的焦点 且两曲线的一个交点为 则的大小为 1 FP 1 5FP 12 FPF 结果用反三角函数表示 29 arccos 35 13 毛毛的计算器中的 开根号 键最近 感冒 了 输出的结果千奇百怪 细心的毛毛在 复习资料上发现有一个真命题 已知对于任意正数 则一定在和之间 并且3 a ab b 3 a b 3ab ab 比更接近 毛毛自己编制了一个算法来求的近 3ab ab a b 33 似值 如图 请你在 中填上适当赋值语句 y 3 1 x x 14 下图展示了一个区间 0 k k 是一个给定的正实数 到实数集 R 的对应过程 区间 0 k 中的实数 m 对应线段 AB 上的点 M 如图 1 将线段 AB 弯成半圆弧 圆心为 H 如图 2 再将这个半 圆置于直角坐标系中 使得圆心 H 坐标为 0 1 直径 AB 平行 x 轴 如图 3 在图形变化过程中 图 1 中线段 AM 的长度对应于 图 3 中的圆弧 AM 的长度 直线 HM 与直线相交与点 N1y 则与实数 m 对应的实数就是 n 记作 给出 1 n nf m 下列命题 1 2 函数是奇函数 3 是定义域上的单调递 6 4 k f nf m nf m 增函数 4 的图象关于点对称 5 方程的解是 nf m 0 2 k 2f m 3 4 mk 其中正确命题序号为 3 4 5 是 否 输出y 结束 开始 输入 x 1 xy 0 001yx y MAB m A M B O H x y 1 N n 2 y 2 x y 2 图 1 图 2 图 3 BA H M 用心 爱心 专心 8 二 选择题 本大题满分 20 分 本大题共有 4 题 每题有且只有一个正确答案 考生必须 在答题纸的相应编号上 将代表答案的小方格涂黑 选对得 5 分 否则一律得零分 15 是 直线与直线平行 的 B 2a 210 xay 220axy A 充要条件 B 充分不必要条件 C 必要不充分条件 D 既不充分也不必要条件 16 设事件 A B 已知 则 A B 之间的关系一定为 P A 1 4 P B 3 1 P AB 7 12 A A 互斥事件 B 两个任意事件 C 非互斥事件 D 对 立事件 17 若M为ABC 所在平面内一点 且满足 则 02 MAMCMBMCMB ABC 的形状为 C A 正三角形 B 直角三角形 C 等腰三角形 D 等腰直角三角形 18 在平面直角坐标系中 设点 定义 P x y OPxy 其中 O 为坐标原点 对于下列结论 1 符合的点 P 的轨迹围成的图形的面积为 2 1OP 2 设点 P 是直线 上任意一点 则 5220 xy min 2 5 5 OP 3 设点 P 是直线 上任意一点 则 使得最小的点 P 有无1 ykxkR OP 数个 的充要条件是 1k 4 设点 P 是椭圆上任意一点 则 2 2 1 4 x y max 5OP 其中正确的结论序号为 A A 1 2 3 B 1 3 4 C 2 3 4 D 1 2 4 三 解答题 本大题满分 74 分 本大题共有 5 题 解答下列各题必须在答题纸相应编号的 规定区域内写出必要的步骤 19 本题满分 12 分 本题共有 2 个小题 第 1 小题满分 4 分 第 2 小题满分 4 分 第 3 小 题满分 4 分 解 1 证明 在正方形中 因为 所以三棱柱 11 ADD A5CDADABBC 的底面三角形的边 111 ABCABC ABC5AC 因为 3AB 4BC 用心 爱心 专心 9 所以 所以 2 分 222 ABBCAC ABBC 因为四边形为正方形 所以 而 11 ADD A 11 AABBA 1 ABBB 1 BCBBB 所以平面 AB 11 BCC B 4 分 2 解 因为平面 AB 11 BCC B 所以为四棱锥的高 5 分ABABCQP 因为四边形为直角梯形 且 BCQP3BPAB 7CQABBC 所以梯形的面积为 7 分BCQP 1 20 2 BCQP SBPCQBC 所以四棱锥的体积 8 分 ABCQP 1 20 3 A BCQPBCQP VSAB 3 建系如图所示坐标系 则 A 0 0 3 P 0 3 0 Q 4 7 0 4 7 3 0 3 3 AQAP APQx y z 1 设平面的法向量n 0 0 AQAP AA 11 nn 330 4730 yz xyz 有x 1 y 1 z 1 1 1 1 0 0 1 12 n又平面BC Q 的法向量n 3 3 A 12 12 12 n n 设n与n 的夹角为 cos n n 10 分 APQC 由图可知二面角的平面角为锐角 11 分 12 3 3 APQC 所以二面角的大小为arccos 分 20 本题满分 14 分 本题共有 2 个小题 第 1 小题满分 7 分 第 2 小题满分 7 分 A B C A1 B1 C1 P Q 图2 x z y 01 1BPttCPt 解 1 设则 用心 爱心 专心 10 2 分 1 45 tan 45 1 t DAQDQ t 12 1 11 tt CQ tt 4 分 6 分 2222 21 1 11 tt PQCPCQt tt 2 定值 7 21 12 11 tt lCPPQQCt tt 2 分 10 分 1 1 2 1 22 1 ABPADQABCD tt SSSS t A 正方形 当 12 2 1 22 21 t t 12 分 当且仅当t 2 1时取等号 13 分 14 分22 探照灯照射在正方形ABC D 内部区域的面积S至少 为平方百米 21 本题满分 14 分 本题有 2 个小题 第 1 小题满分 7 分 第 2 小题满分 7 分 已知数列的前项和 n an 1 2 3 nn aSn N 1 求的通项公式 n a 2 若对于任意的 有成立 求实数的取值范围 n N14 nak n k 解 1 因为 所以 1 2 3 nn aSn N 1 2 3 11 nn aS 两式相减 得 即 2 3 11nnnn aaSS 2 3 11nnn aaa 4 分 nn aa3 1 n N 又 即 所以 1 2 3 11 aS 1 2 3 11 aa3 1 a 是首项为 3 公比为 3 的等比数列 6 分 n a 从而的通项公式是 7 分 n a n n a3 n N 2 由 1 知 对于任意的 有成立 n N14 nak n 用心 爱心 专心 11 等价于对任意的成立 等价于 9 分 n n k 3 14 n N max 3 14 n n k 而 11 分1 312 28 1 14 3 54 3 14 3 1 1 4 1 n n n n n n n n n N 注 也可以作差比较证明单调性 相应给分 是单调递减数列 12 分 n n 3 14 实数的取值范围是 14 分 3 5 3 114 3 14 1 max n n k 3 5 22 本题满分 16 分 本题共有 3 个小题 第 1 小题满分 4 分 第 2 小题满分 6 分 第 3 小 题满分 6 分 已知过点的动直线 与圆相交于两点 是中 1 0 A l 22 3 4C xy P QMPQ 点 与直线相交于 l 360m xy N 1 求证 当 与垂直时 必过圆心 lmlC 2 当时 求直线 的方程 2 3PQ l 3 探索是否与直线 的倾斜角有关 若AMAN l 无关 请求出其值 若有关 请说明理由 解 1 与垂直 且l m 1 1 3 3 m kk 故直线 方程为即 2 分l3 1 yx 330 xy 圆心坐标 0 3 满足直线 方程 l 当 与垂直时 必过圆心 4 分 lmlC 2 当直线 与轴垂直时 易知符合题意 6 分lx1x 当直线 与轴不垂直时 设直线 的方程为即 lxl 1 yk x 0kxyk 则由 得 8 分2 3 431PQCM 2 3 1 1 k CM k 4 3 k 直线 4340 lxy 故直线 的方程为或 10 分l1x 4340 xy 3 CMMNAM ANACCMANAC ANCM ANAC AN 用心 爱心 专心 12 11 分 当 与轴垂直时 易得 则又 lx 5 1 3 N 5 0 3 AN 1 3 AC 13 分5AM ANAC AN 当 的斜率存在时 设直线 的方程为ll 1 yk x 则由得 则 1 360 yk x xy 365 1 31 3 kk N kk 55 1 31 3 k AN kk 15 分 515 5 1 31 3 k AM ANAC AN kk 综上所述 与直线 的斜率无关 且 16 分AM AN l5AM AN 23 本题满分 18 分 本题共有 3 个小题 第 1 小题满分 4 分 第