高二数学 3.3.2《简单的线性规划》（3）教案（新人教A版必修5）

1 课题课题 3 3 2 3 3 2 简单的线性规划简单的线性规划 第第 3 3 课时课时 授课类型 授课类型 新授课 三维目标三维目标 1 知识与技能 使学生了解二元一次不等式表示平面区域 了解线性规划的意义以及约束 条件 目标函数 可行解 可行域 最优解等基本概念 了解线性规划问题的图解法 并能 应用它解决一些简单的实际问题 2 过程与方法 经历从实际情境中抽象出简单的线性规划问题的过程 提高数学建模能力 3 情态与价值 培养学生观察 联想以及作图的能力 渗透集合 化归 数形结合的数学 思想 提高学生 建模 和解决实际问题的能力 教学重点教学重点 用图解法解决简单的线性规划问题 教学难点教学难点 准确求得线性规划问题的最优解 教学过程教学过程 1 1 课题导入课题导入 复习提问 1 二元一次不等式0 CByAx在平面直角坐标系中表示什么图形 2 怎样画二元一次不等式 组 所表示的平面区域 应注意哪些事项 3 熟记 直线定界 特殊点定域 方法的内涵 2 2 讲授新课讲授新课 在现实生产 生活中 经常会遇到资源利用 人力调配 生产安排等问题 1 下面我们就来看有关与生产安排的一个问题 引例 引例 某工厂有 A B 两种配件生产甲 乙两种产品 每生产一件甲产品使用 4 个 A 配件耗 时 1h 每生产一件乙产品使用 4 个 B 配件耗时 2h 该厂每天最多可从配件厂获得 16 个 A 配 件和 12 个 B 配件 按每天 8h 计算 该厂所有可能的日生产安排是什么 1 用不等式组表示问题中的限制条件 设甲 乙两种产品分别生产 x y 件 又已知条件可得二元一次不等式组 28 416 412 0 0 xy x y x y 1 2 画出不等式组所表示的平面区域 如图 图中的阴影部分的整点 坐标为整数的点 就代表所有可能的日生产安排 3 提出新问题 进一步 若生产一件甲产品获利 2 万元 生产一件乙产品获利 3 万元 采用哪种生产安排利 润最大 4 尝试解答 2 设生产甲产品x件 乙产品y件时 工厂获得的利润为z 则z 2x 3y 这样 上述问题就转 化为 当 x y 满足不等式 1 并且为非负整数时 z的最大值是多少 把z 2x 3y变形为 2 33 z yx 这是斜率为 2 3 在 y 轴上的截距为 3 z 的直线 当 z 变化时 可以得到一族互相平行的直线 如图 由于这些直线的斜率是确定的 因此只要给 定一个点 例如 1 2 就能确定一条直线 28 33 yx 这说明 截距 3 z 可以由平 面内的一个点的坐标唯一确定 可以看到 直线 2 33 z yx 与不等式组 1 的区域的交 点满足不等式组 1 而且当截距 3 z 最大时 z 取得最大值 因此 问题可以转化为当直线 2 33 z yx 与不等式组 1 确定的平面区域有公共点时 在区域内找一个点 P 使直线经 过点 P 时截距 3 z 最大 5 获得结果 由上图可以看出 当实现 2 33 z yx 金国直线 x 4 与直线 x 2y 8 0 的交点 M 4 2 时 截距 3 z 的值最大 最大值为 14 3 这时 2x 3y 14 所以 每天生产甲产品 4 件 乙产品 2 件时 工厂可获得最大利润 14 万元 2 线性规划的有关概念 线性约束条件线性约束条件 在上述问题中 不等式组是一组变量 x y 的约束条件 这组约束条件 都是关于 x y 的一次不等式 故又称线性约束条件 线性目标函数线性目标函数 关于 x y 的一次式 z 2x y 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量 x y 的解析式 叫线 性目标函数 线性规划问题线性规划问题 一般地 求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题 统称为线性规划 问题 可行解 可行域和最优解可行解 可行域和最优解 满足线性约束条件的解 x y 叫可行解 由所有可行解组成的集合叫做可行域 使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解 3 变换条件 加深理解 3 探究 课本第 100 页的探究活动 1 在上述问题中 如果生产一件甲产品获利 3 万元 每生产一件乙产品获利 2 万元 有 应当如何安排生产才能获得最大利润 在换几组数据试试 2 有上述过程 你能得出最优解与可行域之间的关系吗 3 3 随堂练习随堂练习 1 请同学们结合课本P103练习 1 来掌握图解法解决简单的线性规划问题 1 求z 2x y的最大值 使式中的x y 满足约束 条件 1 1 y yx xy 解 不等式组表示的平面区域如图所示 当x 0 y 0 时 z 2x y 0 点 0 0 在直线 0 l 2x y 0 上 作一组与直线 0 l平行的直线 l 2x y t t R R 可知 在经过不等式组所表示的公共区域内的点且平行于l的直线中 以经过点A 2 1 的直线所对应的t最大 所以zmax 2 2 1 3 2 求z 3x 5y的最大值和最小值 使式中的 x y满足约束条件 3 5 1 1535 yx xy yx 解 不等式组所表示的平面区域如图所示 从图示可知 直线 3x 5y t在经过不等式组所表示 的公共区域内的点时 以经过点 2 1 的直线所对 应的t最小 以经过点 8 17 8 9 的直线所对应的t最 大 所以zmin 3 2 1 11 zmax 3 8 9 5 8 17 14 4 4 课时小结课时小结 用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤 1 寻找线性约束条件 线性目标函数 2 由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域 3 在可行域内求目标函数的最优解 5 5 评价设计评价设计 x y 1 2 1 2 1