八年级数学专题培优竞赛 总结方法

八年级数学专题培优竞赛八年级数学专题培优竞赛 总结方法总结方法 专题一 相似三角形专题一 相似三角形 一 基础检测一 基础检测 1 如图1 ADC ACB 900 1 B AC 5 AB 6 则AD 2 如图2 AD EF BC 则图的相似三角形共有 对 3 如图3 正方形ABCD中 E是AD的中点 BM CE AB 6 CE 3 则BM 4 ABC的三边长为 2 A B C 的两边为1和 若 ABC A B C 则 A B C 的笫三边长为 5 两个相似三角形的面积之比为1 5 小三角形的周长为4 则另一个三角形的周 长为 6 如图4 Rt ABC中 C 900 D为AB的中点 DE AB AB 20 AC 12 则四边形ADEC 的面积为 7 如图5 Rt ABC中 ACB 900 CD AB AC 8 BC 6 则AD CD 8 如图6 矩形ABCD中 AB 8 AD 6 EF垂直平分BD 则EF 9 如图7 ABC中 A DBC BC S BCD S ABC 2 3 则CD 10 如图8 梯形ABCD中 AD BC 两腰BA与CD的延长线相交于P PF BC AD 3 6 BC 6 EF 3 则PF 11 如图9 ABC中 DE BC AD DB 2 3 则S ADE S ABE 12 如图10 正方形ABCD内接于等腰 PQR P 900 则PA AQ 13 如图11 ABC中 DE FG BC AD DF FB 1 2 3 则S四边形DFGE S四边形FBCG 14 如图12 ABC中 中线BD与CE相交于O点 S ADE 1 则S四边形BCDE 二 简单解答二 简单解答 15 已知 如图 ABC中 CE AB BF AC 求证 AEF ACB 16 已知 如图 ABC中 ABC 2 C BD平分 ABC 求证 AB BC AC CD 17 已知 ACB 为等腰直角三角形 ACB 900 延长 BA 至 E 延长 AB 至 F ECF 1350 求证 EAC CBF 18 已知 如图 ABC中 AD DB 1 2 求证 ABC EAD 19 已知 如图 CE是Rt ABC的斜边AB上的高 BG AP 求证 1 CE2 AE EB 2 AE EB ED EP 专题二 多边形与平行四边形专题二 多边形与平行四边形 1 我们给出如下定义 如果四边形中一对顶点到另一对顶点所连对角线的距离相等 则把 这对顶点叫做这个四边形的一对等高点 例如 如图 1 平行四边形 ABCD 中 可证点 A C 到 BD 的距离相等 所以点 A C 是 平行四边形 ABCD 的一对等高点 同理可知点 B D 也是平行四边形 ABCD 的一对等高点 1 如图 2 已知平行四边形 ABCD 请你在图 2 中画出一个只有一对等高点的四边形 ABCE 要求 画出必要的辅助线 2 已知 P 是四边形 ABCD 对角线 BD 上任意一点 不与 B D 点重合 请分别探究 图 3 图 4 中 S1 S2 S3 S4四者之间的等量关系 S1 S2 S3 S4分别表示 ABP CBP CDP ADP 的面积 如图 3 当四边形 ABCD 只有一对等高点 A C 时 你得到的一个结论是 如图 4 当四边形 ABCD 没有等高点时 你得到的一个结论是 2 四边形一条对角线所在直线上的点 如果到这条对角线的两端点的距离不相等 但到另 一对角线的两个端点的距离相等 则称这点为这个四边形的准等距点 如图 1 点 P 为四 边形 ABCD 对角线 AC 所在直线上的一点 PD PB PA PC 则点 P 为四边形 ABCD 的 准等距点 1 如图 2 画出菱形 ABCD 的一个准等距点 2 如图 3 作出四边形 ABCD 的一个准等距点 尺规作图 保留作图痕迹 不要求写作法 3 如图 4 在四边形 ABCD 中 P 是 AC 上的点 PA PC 延长 BP 交 CD 于点 E 延长 DP 交 BC 于点 F 且 CDF CBE CE CF 试说明 点 P 是四边形 AB CD 的准等距 点 4 试研究四边形的准等距点个数的情况 说出相应四边形的特征及准等距点的个数 不必证 明 A BC D S2 S1 S4 S3 S4 S3 S2 A B C P D A B C P D S1 3 如图 1 P 为 Rt ABC 所在平面内任意一点 不在直线 AC 上 ACB 90 M 为 AB 边中点 操作 以 PA PC 为邻边作平行四边形 PADC 连续 PM 并延长到点 E 使 ME PM 连结 DE 探究 请猜想与线段 DE 有关的三个结论 请你利用图 2 图 3 选择不同位置的点 P 按上述方法操作 经历 之后 如果你认为你写的结论是正确的 请加以证明 如果你认为你写的结论是 错误的 请用图 2 或图 3 加以说明 注意 错误的结论 只要你用反例给予说明 若将 Rt ABC 改为 任意 ABC 其他条件不变 利用图 4 操作 并写出与线段 DE 有关的结论 直接写答案 4 如图 在平行四边形 ABCD 中 AD 4 cm A 60 BD AD 一动点 P 从 A 出发 以每秒 1 cm 的速度沿 A B C 的路线匀速运动 过点 P 作直线 PM 使 PM AD 1 当点 P 运动 2 秒时 设直线 PM 与 AD 相交于点 E 求 APE 的面积 2 当点 P 运动 2 秒时 另一动点 Q 也从 A 出发沿 A B C 的路线运动 且在 AB 上以每 秒 1 cm 的速度匀速运动 在 BC 上以每秒 2 cm 的速度匀速运动 过 Q 作直线 QN 使 QN PM 设点 Q 运动的时间为 t 秒 0 t 10 直线 PM 与 QN 截平行四边形 ABCD 所得 图形的面积为 S cm2 求 S 关于 t 的函数关系式 求 S 的最大值 P M E D C BA 图 1 M M M AB C AB C C BA 5 如图 ABCD 是矩形纸片 翻折 B D 使 BC AD 恰好落在 AC 上 设 F H 分 别是 B D 落在 AC 上的两点 E G 分别是折痕 CE AG 与 AB CD 的交点 1 试说明 四边形 AECG 是平行四边形 2 若 AB 4cm BC 3cm 求线段 EF 的长 专题三 不等式与不等式组专题三 不等式与不等式组 一 基础探究一 基础探究 1 下列四个命题 若 a b 则 a 1 b 1 若 a b 则 a l b 1 若 a b 则 2a 2b 若 a b 则 2a 2b 其中正确的有 A l 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 2 如果 2 1 这三个实数在数轴上所对应的点从左到右依次排列 那么的mmmm 取值范围是 A 0B 0 5C 0D 0 0 5mmmm 3 若不等式组 0 122 xa xx 有解 则 a 的取值范围是 A B C D 1a 1a 1a 1a 4 如图 直线经过点和点 直线过点 A 则不等式ykxb 12 A 2 0 B 2yx 的解集为 20 xkxb AB CD E F G H A B C D 2x 21x 20 x 10 x 5 不等式组的解集是 3 2 4 12 1 3 xx x x 6 如果不等式组的解集是 那么的值为 2 2 23 x a xb 01x ab 7 已知 1 若 则的取值范围是 2 若 且2ab 3 b1 a0b 则 22 5ab ab 8 已知关于的不等式组只有四个整数解 则实数的取值范围是 x 0 521 xa x a 9 已知关于 x y 的方程组的解满足 x y 0 求 m 的范围 134 123 myx myx 10 小刚想给小东打电话 但忘了电话号码中的一位数字 只记得号码是 表示忘记的数字 若位置的数字是不等式组的整数解 求284 9456 2110 1 4 2 x xx 可能表示的数字 11 已知不等式组的整数解 a 满足 求 x y x2 xy y2 的值 aa aa 2 3 71 2 1 1 315 432 72 yx yax 12 我国东南沿海某地的风力资源丰富 一年内日平均风速不小于3m s 的时间共约 160 天 其中日平均风速不小于 6m s 的时间约占 60 天 为了充分利用风能这种 绿 色能源 该地拟建一个小型风力发电场 决定选用 A B 两种型号的风力发电机 根 据产品说明 这两种风力发电机在各种风速下的日发电量 即一天的发电量 如下表 日平均风速 v m s v 33 v 6 v 6 y O x B A A 型发电机 0 36 150 日发电量 kW h B 型发电机 0 24 90 根据上面的数据回答 1 若这个发电场购 x 台 A 型风力发电机 则预计这些A 型风力发电机一年的发电总量至少为 kW h 2 已知 A 型风力发电机每台 0 3 万元 B 型风力发电机每台 0 2 万元 该发电场 拟购置风力发电机共 10 台 希望购置的费用不超过 2 6 万元 而建成的风力发电场每 年的发电总量不少于 102000 kW h 请你提供符合条件的购机方案 13 我县农业结构调整取得了巨大成功 今年水果又喜获丰收 某乡组织 30 辆汽车装运 A B C 三种水果共 64 吨到外地销售 规定每辆汽车只装运一种水果 且必须装满 又 装运每种水果的汽车不少于 4 辆 同时 装运的 B 种水果的重量不超过装运的 A C 两种 水果重量之和 1 设用 x 辆汽车装运 A 种水果 用 y 辆汽车装运 B 种水果 根据下表提供的信息 求 y 与 x 之间的函数关系式并写出自变量的取值范围 水果品种ABC 每辆汽车运装量 吨 2 22 12 每吨水果获利 百元 685 2 设此次外销活动的利润为 Q 万元 求 Q 与 x 之间的函数关系式 请你提出一个获 得最大利润时的车辆分配方案 二 能力提升二 能力提升 14 解方程 由绝对值的几何意义知 该方程表示求在数轴上与 1 1 2 5xx 和 2 的距离之和为 5 的点对应的 x 的值 在数轴上 1 和 2 的距离为 3 满足方程的 x 对 应点在 1 的右边或 2 的左边 若 x 对应点在 1 的右边 由图 17 可以看出 x 2 同理 若 x 对应点在 2 的左边 可得 x 3 故原方程的解是 x 2 或 x 3 参考阅读材料 解答下列问题 1 方程的解为 3 4x 2 解不等式 9 3 4 xx 4 02 21 1 3 若 a 对任意的 x 都成立 求 a 的取值范围 3 4 xx 15 小杰到学校食堂买饭 看到 A B 两窗口前面排队的人一样多 设为 a 人 a 8 就 站在 A 窗口队伍的后面 过了 2 分钟 他发现 A 窗口每分钟有 4 人买了饭离开队伍上 B 窗口每分钟有 6 人买了饭离开队伍 且 B 窗口队伍后面每分钟增加 5 人 1 此时 若小杰继续在 A 窗口排队 则他到达窗口所花的时间是多少 用含 a 的代数 式表示 2 此时 若小杰迅速从 A 窗口队伍转移到 B 窗口后面重新排队 且到达 B 窗口所花的 时间比继续在 A 窗口排队到达 A 窗口所花的时间少 求 a 的取值范围 不考虑其它因素 16 5 12 四川汶川大地震的灾情牵动全国人民的心 某市 B两个蔬菜基地得知四川 C D两个灾民安置点分别急需蔬菜240吨和260吨的消息后 决定调运蔬菜支援灾区 已知 蔬菜基地有蔬菜200吨 B蔬菜基地有蔬菜300吨 现将这些蔬菜全部调往C D两个灾民安 置点 从A地运往C D两处的费用分别为每吨20元和25元 从B地运往C D两处的费用分别 为每吨15元和18元 设从B地运往C处的蔬菜为x吨 请填写下表 并求两个蔬菜基地调运蔬菜的运费相等时x的值 总计 200吨 x吨300吨 总计240吨260吨500吨 设A B两个蔬菜基地的总运费为w元 写出w与x之间的函数关系式 并求总运费最小的调运 方案 经过抢修 从B地到C处的路况得到进一步改善 缩短了运输时间 运费每吨减少元 m 其余线路的运费不变 试讨论总运费最小的调运方案 m 17 某公司有型产品 40 件 型产品 60 件 分配给下属甲 乙两个商店销售 其中 70AB 件给甲店 30 件给乙店 且都能卖完 两商店销售这两种产品每件的利润 元 如下表 型利润A型利润B 甲店 200170 乙店 160150 1 设分配给甲店型产品件 这家公司卖出这 100 件产品的总利润为 元 求AxW 关于的函数关系式 并求出的取值范围 Wxx 2 若公司要求总利润不低于 17560 元 说明有多少种不同分配方案 并将各种方案设计 出来 3 为了促销 公司决定仅对甲店型产品让利销售 每件让利元 但让利后型产AaA 品的每件利润仍高于甲店型产品的每件利润 甲店的型产品以及乙店的型产品BBAB 的每件利润不变 问该公司又如何设计分配方案 使总利润达到最大 专题四 综合几何专题四 综合几何 总结方法总结方法 一 几何证明题中的几种基本方法 一 几何证明题中的几种基本方法 1 等量代换法 如图 已知中 点 P 为 BC 边上的一动点 CP ABCA90BAC ABAC BP 分别过点 B C 作 BE AP 于 E CF AP 于 F 1 求证 EF CF BE 2 若点 P 为 BC 延长线上一点 其它条件不变 则线段 BE CF EF 是否存在某种确 定的数量关系 画图并直接写出你的结论 E F C A B P 2 倍长中线法 1 如图 AD 是的角平分线 M 为 BC 中点 ME AD 交 AB CA 的延长线于ABCA E F 求证 BE CF F D E M A B C 2 如图 AD 是的中线 AE AC AF AB 且 AE AC AF AB 求证 AD ABCA 1 2 EF D B C A E F 3 截长补短法 1 如图 正方形 ABGE 四边相等 四个角都等于 90 点 D 在 BG 上 且 45 DAC 求证 CD CE CB AB EGD C 2 如图 在上题中 若点 D 在 EG 的延长线上 点 C 在 GB 的延长线上 其余条件 不变 求证 DE BC CD A B E G D C 综合运用 综合运用 1 点 C 为线段 AB 上一点 分别以 AC BC 为边在线段 AB 同侧作 ACD 和 BCE 且 CA CD CB CE 直线 AE 与 BD 交于点 F ACDBCE ACDBCE F E D C B A F E D C B A A FE D C B 图 1 图 2 图 3 1 如图 1 若 则 0 60ACD AFB 2 如图 若 则 用含的式子表示 ACD AFB 3 将图 中的 ACD 绕点 顺时针旋转任意角度 交点 至少在 中的一 条线段上 如图 试探究与的数量关系 并证明 AFB 2 如图 等腰 Rt ABC 中 BAC 900 AB AC 点 A C 分别在 y 轴 x 轴上 且点 A 点 C 的坐标分别为 A 0 2 5 0 1 如图 24 求点 B 的坐标 2 如图 25 点 P 是第一 三象限的平分线 PQ 上的一动点 是否存在点 P 使得 PAC 的面积是 12 若存在 求出 P 点的坐标 若不存在 说明理由 图 25 Q P A B C O x y N M F A B C O x y 图 26 图 24 y xO C B A 3 如图 26 BF 在 ABC 内部且过 B 点的任意一条射线 分别过 A 作 AM BF 于 M 点 过 C 作 NC BF 于 N 点 写出 BM AM 与 NC 之间的数量关系 并证明你的结论 3 在平面直角坐标系中 点 B 的坐标为 1 0 点 C 的坐标为 1 0 点 D 为第一 象限内一点 且 ABD ACD AE CD 于 E 点 1 求证 DA 平分 BDE 2 判断 BD CD 与 DE 之间的数量关系 并证明你的结论 3 若 BD 5 AE CD 3 求 ACE 的面积 x y E D OC B A 图 19 4 如图 1 OA 2 OB 4 以 A 点为顶点 AB 为腰在第三象限作等腰 Rt ABC 1 求 C 点的坐标 y x A B C O 图1图2 O P A x y D E 图3 O x y F G H 2 如图 2 P 为 y 轴负半轴上一个动点 当 P 点向 y 轴负半轴向下运动时 以 P 为顶点 PA 为腰作等腰 Rt APD 过 D 作 DE x 轴于 E 点 求 OP DE 的值 3 如图 3 已知点 F 坐标为 4 4 当 G 在 y 轴的负半轴上沿负方向运动时 作 Rt FGH 始终保持 GFH 900 FG 与 y 轴负半轴交于点 G 0 m FH 与 x 轴正半轴 交于点 H n 0 当 G 点在 y 轴的负半轴上沿负方向运动时 求 m n 的值 二 基础篇 二 基础篇 1 如图 ABC 的顶点均在坐标轴上 A 4 0 D 0 1 且 OD OC AD BC 则 ADB 的面积是 D C B AO x y E F D A BC 图 1 图 2 2 如图 AD 是 ABC 的角平分线 DF AB 于 F DE AC 于 E AB AC 18 求 DF 的长 36 ABC S A 3 如图 点 P 为 ABC 角平分线上一点 D 点和 E 点分别在 AB 和 BC 上 且 PD PE 试探 究 BDP 和 BEP 的数量关系 并给出证明 C A B P E D E D A CB 图 4 图 3 4 如图 ABC 中 D 90 DE 垂直平分 AB 交 CE 于 E AB 2AC BC 18cm 则 BE 的 长度是 5 已知 如图所示 BD 为 ABC 的平分线 AB BC 点 P 在 BD 上 PM AD 于 M PN CD 于 N 判断 PM 与 PN