【优化方案】2012高中数学 第5章5.1.2知能优化训练 湘教版选修1-2

用心 爱心 专心 1 1 下列平面图形中与空间的平行六面体作为类比对象较合适的是 A 三角形 B 梯形 C 平行四边形 D 矩形 解析 选 C 因为平行六面体相对的两个面互相平行 类比平面图形 则相对的两条边互 相平行 故选 C 2 在 R 上定义运算 x y x 1 y 若不等式 x a x a 1 对任意实数x成立 则 A 1 a 1 B 0 a 2 C a D a 1 2 3 2 3 2 1 2 解析 选 C 由题意得 x a 1 x a 0 对于任意x恒成立 所以 1 4 a2 a 1 0 解得 a0 x2 a2 y2 b2 在 Rt ABF中 用心 爱心 专心 3 2 c2 b2 FB 2 a2 b2 c2 AB 2 a c 2 由勾股定理得 FA a c 2 c2 b2 c2 即c2 a2 ac 0 2 1 0 解得e c a c a 5 1 2 二 填空题 7 2011 年长春模拟 有如下真命题 若数列 an 是一个公差为d的等差数列 则数 列 an an 1 an 2 是公差为 3d的等差数列 把上述命题类比到等比数列中 可得真命题 是 填上你认为可以成为真命题的一种情形即可 解析 可将加法类比为乘法 将公差中的倍数类比成公比的乘方得出相应结论 答案 若数列 bn 是公比为q的等比数列 则数列 bn bn 1 bn 2 是公比为q3的等比 数列 8 2011 年湛江模拟 设直角三角形的两直角边的长分别为a b 斜边长为c 斜边上 的高为h 则有a bc2 h2 a3 b3 c3 h3 a4 b4c5 h5 其中正确结论的序号是 进一步类比得到的一般结论是 解析 可以证明 正确 观察 a3 b3 c3 h3 a4 b4 c4 h4的项与系数的关系 还有不等号的方向可得 an bn cn hn n N 答案 an bn cn hn n N 9 设等差数列 an 的前n项和为Sn 则S4 S8 S4 S12 S8 S16 S12成等差数列 类 比以上结论有 设等比数列 bn 的前n项积为Tn 则T4 成等比 T16 T12 数列 解析 由于等差数列与等比数列具有类比性 且等差数列与和差有关 等比数列与积商 有关 因此当等差数列依次每 4 项之和仍成等差数列时 类比等比数列为依次每 4 项的积成 等比数列 下面证明该结论的正确性 设等比数列 bn 的公比为q 首项为b1 则T4 b q6 T8 b q1 2 7 b q28 4 18 18 1 T12 bq1 2 11 bq66 12 112 1 b q22 b q38 T8 T44 1 T12 T84 1 即 2 T4 故T4 成等比数列 T8 T4 T12 T8 T8 T4 T12 T8 同理可得 成等比数列 T8 T4 T12 T8 T16 T12 答案 T8 T4 T12 T8 三 解答题 10 在 ABC中 余弦定理可叙述为a2 b2 c2 2bccosA 其中a b c依次为角 A B C的对边 类比上述定理 给出空间四面体性质的猜想 解 如图 S1 S2 S3 S分别表示 PAB PBC PCA ABC的面积 依次 表示平面PAB与平面PBC 平面PBC与平面PCA 平面PCA与平面ABP之间所成二面角的大 小 故猜想余弦定理类比推理到三维空间的表现形式为 S2 S S S 2S1S2cos 2S2S3cos 2S3S1cos 2 12 22 3 11 用心 爱心 专心 4 如图所示为m行m 1 列的士兵方阵 m N m 2 1 写出一个数列 用它表示当m分别是 2 3 4 5 时 方阵中士兵的人数 2 若把 1 中的数列记为 an 归纳该数列的通项公式 3 求a10 并说明a10表示的实际意义 4 已知an 9900 问an是数列的第几项 解 1 当m 2 时 表示一个 2 行 3 列的士兵方阵 共有 6 人 依次可以得到当 m 3 4 5 时的士兵人数分别为 12 20 30 故所求数列为 6 12 20 30 2 因为a1 2 3 a2 3 4 a3 4 5 所以猜想an n 1 n 2 n N 3 a10 11 12 132 a10表示有 11 行 12 列的士兵方阵的人数为 132 4 令 n 1 n 2 9900 所以n 98 即an是数列的第 98 项 此时方阵有 99 行 100 列 12 2011 年北京模拟 点P为斜三棱柱ABC A1B1C1的侧棱BB1上一点 PM BB1交AA1 于点M PN BB1交CC1于点N 1 求证 CC1 MN 2 在任意 DEF中有余弦定理 DE2 DF2 EF2 2DF EF cos DFE 拓展到空间 类比三角形的余弦定理 写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所 成的二面角之间的关系式 并予以证明 解 1 证明 PM BB1 PN BB1 又PM PN P BB1 平面PMN BB1 MN 又CC1 BB1 CC1 MN 2 在斜三棱柱ABC A1B1C1中 有 S2ABB1A1 S2BCC1B1 S2ACC1A1 2SBCC1B1SACC1A1cos 其中 为平面CC1B1B与平面CC1A1A所成的二面角 CC1 平面PMN 上述的二面角的平面角为 MNP 在 PMN中 PM2 PN2 MN2 2PN MNcos MNP PM2 CC PN2 CC MN2 CC 2 PN CC1 MN CC1 c