江苏中职数学学业水平测试指导用书第五章三角函数

第五章第五章 三角函数三角函数 5 1 角的概念推广角的概念推广 知识要点 1 角的概念的推广 1 角的概念 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形 射 线的端点称为角的顶点 射线旋转的开始位置和终止位置分别称为角的始边和终边 2 正角 负角和零角 一条射线绕着端点按逆时针方向旋转形成的角叫做正角 按顺时针方向旋转形成的角 叫做负角 如果一条射线没有做任何旋转 那么也把它看成一个角 叫做零角 2 象限角和非象限角 为了方便 经常在平面直角坐标系中研究角 让角的顶点与坐标原点重合 角的始边与 x 轴正半轴重合 规定 角的终边在第几象限 就称这个角是第几象限角 角的终边在坐 标轴上时 这个角不属于任何象限 称为非象限角 3 终边相同的角 所有与角 终边相同的角 连同角 在内 可组成一个集合 k 360 k Z 即任一与角 终边相同的角 都可以表示成角 与周角的整数倍的和的形式 基础训练 1 一条射线绕着端点按 方向旋转形成的角叫做正角 按 方向旋 转形成的角叫做负角 如果一条射线没有做任何旋转 那么把它看成 角 2 30 角是第 象限角 120 角是第 象限角 315 角是第 象限角 60 角是第 象限角 3 0 角的终边在 90 角的终边在 180 角的 终边在 270 角的终边在 90 角的终边在 4 与 90 终边相同的角的集合是 与 820 终边相同 的角的集合是 与 496 终边相同的角的集合是 能力训练 1 下列命题中正确的是 A 终边在 y 轴正半轴上的角是直角 B 终边相同的角一定相等 C 第四象限角一定是负角 D 锐角一定是第一象限角 2 下列角中与 130 角终边相同的角是 A 1000 B 630 C 950 D 150 5 2 弧度制弧度制 知识要点 1 角度制和弧度制 用角度作单位来度量角的制度叫做角度制 用弧度作单位来度量角的制度叫做弧度制 2 1 弧度的角 长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角 记作 1rad 规定 正角的弧度数为正数 负角的弧度数为负数 零角的弧度数为 0 3 弧度与角度的换算关系 180 rad 1 rad 0 01745 rad 1 rad 57 3 180 180 4 弧长公式及扇形面积公式 1 弧长公式 l r 2 扇形面积公式 1 2 Slr 基础训练 1 角度与弧度的互化 1 18 2 67 5 3 4 3 5 4 3 2 是第 象限角 是第 象限角 是第 6 3 2 4 7 象限角 是第 象限角 3 3 0 的终边在 的终边在 的终边在 2 的终边在 2 3 4 与终边相同的角的集合是 6 5 1 已知扇形的半径为 10cm 圆心角为 则该扇形的弧长是 cm 面积是 4 cm2 2 已知扇形的半径为 6cm 圆心角为 30 则该扇形的弧长是 cm 面积是 cm2 能力训练 1 下列角中为第四象限角的是 A 490 B C D 630 9 4 9 2 下列各角中与角终边相同角的是 6 A B C D 7 6 23 6 23 6 19 6 5 3 任意角的三角函数任意角的三角函数 知识要点 1 任意角的三角函数的定义 设角 是任意角 在角 的终边上任取除原点以外的任一点 P x y 点 P 到原点的 距离为 r r OP 0 22 yx 则比值叫做 的正弦 记作 sin 即 sin r y r y 比值叫做 的余弦 记作 cos 即 cos x r x r 比值叫做 的正切 记作 tan 即 tan y x y x 正弦函数和余弦函数的定义域都是 R 正切函数的定义域是 k k Z 2 2 三角函数值在各象限内的符号如图 3 利用计算器求三角函数值 操作步骤为 按 D R 键 设定角的计算模式为角度 D 或弧度 R 按 sin 键 y x O sinx y x O cosx y x O tanx cos 键 tan 键 输入相应的角度值或弧度值 按 键 显示三角函数值 基础训练 1 已知角 的终边过下列点 求 sin cos tan 1 P1 3 4 2 P2 1 1 3 P3 5 12 4 P4 1 3 2 求下列各角的正弦值 余弦值 正切值 1 60 2 3 确定三角函数值的符号 用 填空 1 sin70 0 2 0 3 tan 46 0 7 cos 12 4 已知 sin 0 且 cos 0 则角 的是第 象限角 已知 sin 0 则角 的是第 象限角 能力训练 1 已知角 为第四象限角 且终边过点 P 3 y 若 OP 5 求 sin cos tan 2 已知 sin cos 0 则角 的是第 象限角 已知 sin tan 0 则角 的是第 象限角 5 4 同角三角函数的基本关系同角三角函数的基本关系 知识要点 同角三角函数的基本关系 1 sin2 cos2 1 2 tan cos sin 基础训练 1 化简 1 sin2 70 cos270 2 sin23 cos23 3 22 sincos 22 4 5 cos60 tan60 sin45 cos45 2 1 已知 sin 0 6 是第二象限角 求 cos tan 2 已知 cos 0 6 是第三象限角 求 sin tan 能力训练 1 下列等式中 正确的是 A sin2 40 cos250 1 B sin tan cos C sin4 cos4 1 D cos tan sin 2 已知 sin 求 cos tan 2 3 3 已知 tan 是第三象限角 求 sin 和 cos 3 5 5 三角函数的诱导公式三角函数的诱导公式 知识要点 三角函数的诱导公式 k Z 公式 1 sin 2k sin cos 2k cos tan 2k tan 公式 2 sin sin cos cos tan tan 公式 3 sin sin cos cos tan tan 公式 4 sin sin cos cos tan tan 基础训练 1 化简 1 sin 2 2 cos 180 3 sin 180 4 tan 5 cos 6 tan 2 下列结论中 错误的是 A cos cos B sin sin C tan tan D sin 180 sin 3 求三角函数值 1 sin 30 2 cos150 3 tan210 4 sin405 5 cos 6 tan 6 13 4 11 能力训练 化简 1 sin 210 tan240 cos 210 2 sin 180 cos 360 tan 360 cos 5 6 正弦函数的图象与性质正弦函数的图象与性质 知识要点 1 正弦函数的图象 1 正弦函数在 0 2 上的图象 如右 图 有五个关键点 0 0 1 2 O x y 2 2 2 3 1 1 0 1 2 0 2 3 常用 五点法 作正弦函数在 0 2 上的简图 2 正弦函数 y sinx x R 的图象称为正弦曲线 2 正弦函数的性质 1 周期函数 对于函数 y f x 如果存在一个不为零的常数 T 当 x 取定义域 D 内 的每一个值时 都有 x T D 并且等式 f x T f x 成立 那么函数 y f x 叫做周期函数 常数 T 叫做这个函数的周期 2 正弦函数的图象和性质 函 数y sinx x R 图 象 定义域R 值 域 1 1 最 值 当 x 2k k Z 时 ymax 1 2 当 x 2k k Z 时 ymin 1 2 3 周期性y sinx x R 是周期函数 其周期 T 2 奇偶性y sinx x R 是奇函数 性质 单调性 在 2k 2k k Z 上是增函数 2 2 在 2k 2k k Z 上是减函数 2 2 3 基础训练 1 函数 y sinx 的定义域是 值域是 周期是 当 x 时 ymax 当 x 时 ymin 2 函数 y 3 sinx 的最大值是 最小值是 周期是 y O x 2 3 4 5 3 2 1 y O x 2 3 4 5 3 2 1 4 5 3 函数 y sinx 3 的最大值是 最小值是 周期是 4 比较大小 sin34 sin47 sin sin 9 2 9 5 在下列区间中 函数 y sinx 单调递增的是 A 0 B C D 0 2 2 2 3 能力训练 1 用 五点法 作下列函数在 0 2 上的简图 1 y sinx 2 y sinx 1 3 y sinx 1 5 7 余弦函数的图象与性质余弦函数的图象与性质 知识要点 1 余弦函数的图象 1 余弦函数在 0 2 上的图象 如右图 有五 个关键点 0 1 0 1 0 2 2 3 2 1 常用 五点法 作余弦函数在 0 2 上的简 图 2 余弦函数 y cosx x R 的图象称为余弦曲 线 2 余弦函数的图象和性质 函 数y cosx x R O x y 2 2 2 3 1 1 x y 2 3 4 3 1 O 2 1 图 象 定义域R 值 域 1 1 最 值 当 x 2k k Z 时 ymax 1 当 x 2k k Z 时 ymin 1 周期性y cosx x R 是周期函数 其周期 T 2 奇偶性y cosx x R 是偶函数 性 质 单调性 在 2k 2k k Z 上是减函数 在 2k 2 2k k Z 上是增函数 基础训练 1 函数 y cosx 的定义域是 值域是 周期是 当 x 时 ymax 当 x 时 ymin 2 函数 y cosx 2 的最大值是 最小值是 周期是 3 函数 y cosx 2 的最大值是 最小值是 周期是 4 比较大小 cos230 cos250 cos cos 10 9 5 在下列区间中 函数 y cosx 单调递增的是 A 0 B C D 0 2 2 2 3 能力训练 下列结论中正确的是 A y sinx 和 y cosx 都是偶函数 B y sinx 和 y cosx 都是周期函数 C y sinx 和 y cosx 在 0 都是增函数 2 D y sinx 和 y cosx 在 x 2k k Z 时有最大值 1 5 8 已知三角函数值求角已知三角函数值求角 知识要点 1 已知任意一个角 可以求出它的三角函数值 角必须属于这个函数的定义域 反 x y 2 3 4 3 1 O 2 1 4 之 已知一个三角函数值 也可以求出与它对应的角 2 一些常用特殊角的三角函数值 rad 0 6 4 3 2 0 30 45 60 90 180 sin 0 2 1 2 2 2 3 10 cos 1 2 3 2 2 2 1 0 1 tan 0 3 3 1 3不存在 0 3 用计算器求值 1 已知正弦函数值 可利用计算器求出 内的角 操作步骤为 2 2 按 D R 键 设定角的计算模式为角度 D 或弧度 R 按 2ndF 键 按 sin 1键 输 入正弦函数值 按 键 显示 内的角 2 2 2 已知余弦函数值 可利用计算器求出 0 内的角 操作步骤为 按 D R 键 设定角的计算模式为角度 D 或弧度 R 按 2ndF 键 按 cos 1键 输 入余弦函数值 按 键 显示 0 内的角 3 已知正切函数值 可利用计算器求出 内的角 操作步骤为 2 2 按 D R 键 设定角的计算模式为角度 D 或弧度 R 按 2ndF 键 按 tan 1键 输 入正切函数