江苏省南通市通州区2016-2017学年高一(下)期末数学试卷(解析版)

第 1 页 共 21 页 2016 2017 学年江苏省南通市通州区高一 下 期末数学试卷学年江苏省南通市通州区高一 下 期末数学试卷 一 填空题 共一 填空题 共 14 小题 每小题小题 每小题 5 分 满分分 满分 70 分 分 1 设集合 A 1 2 B a 1 2 若 A B 1 2 3 则实数 a 的值为 2 若向量 2 1 4 x 且 则 x 的值为 3 在 ABC 中 已知 AB 2 AC 3 A 120 则 ABC 的面积为 4 函数 f x lg 2 x x2 的定义域为 5 若指数函数 f x a 1 x是 R 上的单调减函数 则实数 a 的取值范围是 6 已知直线 x y 0 与圆 x 2 2 y2 6 相交于 A B 两点 则弦 AB 的长为 7 已知两曲线 f x cosx 与 g x sinx 的一个交点为 P 则点 P 到 x 轴的 距离为 8 已知长方体 ABCD A1B1C1D1中 AB AD 2 AA1 4 则该长方体外接球的表面 积为 9 如图 D E 分别是 ABC 的边 AC BC 上的点 且 若 R 则 的值为 10 如图 已知正三棱柱 ABC A1B1C1的所有棱长均为 2 DEF 为平行于棱柱底 面的截面 O1 O 分别为上 下底面内一点 则六面体 O1DEFO 的体积为 第 2 页 共 21 页 11 将函数 f x sin x 0 6 图象向右平移个单位后得到函数 g x 的图象 若 g x 图象的一个对称中心为 0 则 f x 的最小正 周期为 12 在 ABC 中 已知 AB AC 4 BC 2 B 的平分线交 AC 于点 D 则 的值为 13 已知 f x 是定义在 R 上的奇函数 当 x 0 时 f x x2 3x 若方程 f x x t 0 恰有两个相异实根 则实数 t 的所有可能值为 14 在平面直角坐标系 xOy 中 已知点 A 2a 0 a 0 直线 l1 mx y 2m 2 0 与直线 l2 x my 0 m R 相交于点 M 且 MA2 MO2 2a2 16 则实数 a 的取值范围是 二 解答题 共二 解答题 共 6 小题 满分小题 满分 90 分 分 15 已知 tan 1 求 tan 的值 2 求 cos2 的值 16 在四棱锥 P ABCD 中 已知 DC AB DC 2AB E 为棱 PD 的中点 1 求证 AE 平面 PBC 2 若 PB PC PB AB 求证 平面 PAB 平面 PCD 第 3 页 共 21 页 17 如图 在平面直角坐标系 xOy 中 边长为 1 的正 OAB 的顶点 A B 均在 第一象限 设点 A 在 x 轴的射影为 C AOC 1 试将 表示 的函数 f 并写出其定义域 2 求函数 f 的值域 18 如图 海平面某区域内有 A B C 三座小岛 岛 C 在 A 的北偏东 70 方向 岛 C 在 B 的北偏东 40 方向 且 A B 两岛间的距离为 3 海里 1 求 B C 两岛间的距离 2 经测算海平面上一轮船 D 位于岛 C 的北偏西 50 方向 且与岛 C 相距 3 海里 求轮船在岛 A 的什么位置 注 小岛与轮船视为一点 19 在平面直角坐标系 xOy 中 圆 x2 y2 4 直线 l 4x 3y 20 0 A 为圆 O 内一点 弦 MN 过点 A 过点 O 作 MN 的垂线交 l 于点 P 1 若 MN l 求直线 MN 的方程 第 4 页 共 21 页 求 PMN 的面积 2 判断直线 PM 与圆 O 的位置关系 并证明 20 已知函数 f x a x b 1 其中 a b R 1 若 a 0 b 1 求函数 f x 的所有零点之和 2 记函数 g x x2 f x 若 a 0 b 0 解不等式 g 2x 1 g x 1 若 b 1 g x 在 0 2 上的最大值为 0 求 a 的取值范围 第 5 页 共 21 页 2016 2017 学年江苏省南通市通州区高一 下 期末数学年江苏省南通市通州区高一 下 期末数 学试卷学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一 填空题 共一 填空题 共 14 小题 每小题小题 每小题 5 分 满分分 满分 70 分 分 1 设集合 A 1 2 B a 1 2 若 A B 1 2 3 则实数 a 的值为 2 考点 1D 并集及其运算 分析 由并集定义得 a 1 3 由此能求出实数 a 的值 解答 解 集合 A 1 2 B a 1 2 A B 1 2 3 a 1 3 解得实数 a 的值 2 故答案为 2 2 若向量 2 1 4 x 且 则 x 的值为 2 考点 9K 平面向量共线 平行 的坐标表示 分析 利用向量共线定理即可得出 解答 解 4 2x 0 解得 x 2 故答案为 2 3 在 ABC 中 已知 AB 2 AC 3 A 120 则 ABC 的面积为 考点 HP 正弦定理 分析 由已知利用三角形面积公式求解即可得答案 解答 解 AB 2 AC 3 A 120 S ABC AB AC sinA 故答案为 第 6 页 共 21 页 4 函数 f x lg 2 x x2 的定义域为 2 1 考点 33 函数的定义域及其求法 分析 根据函数 y 的解析式 列出使解析式有意义的不等式 求出解集即 可 解答 解 函数 f x lg 2 x x2 2 x x2 0 即 x2 x 2 0 解得 2 x 1 函数 f x 的定义域为 2 1 故答案为 2 1 5 若指数函数 f x a 1 x是 R 上的单调减函数 则实数 a 的取值范围是 1 2 考点 48 指数函数的定义 解析式 定义域和值域 分析 根据指数函数的图象和性质 列出不等式求出 a 的取值范围 解答 解 指数函数 f x a 1 x是 R 上的单调减函数 0 a 1 1 解得 1 a 2 实数 a 的取值范围是 1 2 故答案为 1 2 6 已知直线 x y 0 与圆 x 2 2 y2 6 相交于 A B 两点 则弦 AB 的长为 4 考点 J9 直线与圆的位置关系 分析 先求出圆心为 C 2 0 半径 r 再求出圆心 C 2 0 到直线 第 7 页 共 21 页 x y 0 的距离 d 从而弦 AB 的长 AB 2 由此能求出结果 解答 解 圆 x 2 2 y2 6 的圆心为 C 2 0 半径 r 圆心 C 2 0 到直线 x y 0 的距离 d 直线 x y 0 与圆 x 2 2 y2 6 相交于 A B 两点 弦 AB 的长 AB 2 2 4 故答案为 4 7 已知两曲线 f x cosx 与 g x sinx 的一个交点为 P 则点 P 到 x 轴的 距离为 考点 H7 余弦函数的图象 H2 正弦函数的图象 分析 由题意根据 cosx sinx 求得 x 的值 可得 y 的值 从而得到点 P 到 x 轴的距离为 y 的值 解答 解 两曲线 f x cosx 与 g x sinx 的一个交点为 P 设点 P 的 坐标为 x y 由 cosx sinx 可得 tanx x k k Z y 点 P 到 x 轴的距离为 y 故答案为 8 已知长方体 ABCD A1B1C1D1中 AB AD 2 AA1 4 则该长方体外接球的表面 积为 24 考点 LG 球的体积和表面积 LR 球内接多面体 分析 由长方体的对角线公式 算出长方体对角线 AC1的长 从而得到长方 体外接球的直径 结合球的表面积公式即可得到 该球的表面积 第 8 页 共 21 页 解答 解 长方体 ABCD A1B1C1D1中 AB 3 AD 4 AA1 5 长方体的对角线 AC1 2 长方体 ABCD A1B1C1D1的各顶点都 在同一球面上 球的一条直径为 AC1 可得半径 R 因此 该球的表面积为 S 4 R2 4 2 24 故答案为 24 9 如图 D E 分别是 ABC 的边 AC BC 上的点 且 若 R 则 的值为 考点 9H 平面向量的基本定理及其意义 分析 即 可求得 解答 解 则 故答案为 10 如图 已知正三棱柱 ABC A1B1C1的所有棱长均为 2 DEF 为平行于棱柱底 面的截面 O1 O 分别为上 下底面内一点 则六面体 O1DEFO 的体积为 第 9 页 共 21 页 考点 LF 棱柱 棱锥 棱台的体积 分析 六面体的体积为上下两个棱锥的体积和 根据体积公式化简即可得出 答案 解答 解 设三棱锥 O1 DEF 的高为 h1 三棱锥 O DEF 的高为 h2 则 h1 h2 AA1 2 VO DEF V S DEF h1 h2 故答案为 11 将函数 f x sin x 0 6 图象向右平移个单位后得到函数 g x 的图象 若 g x 图象的一个对称中心为 0 则 f x 的最小正 周期为 考点 HJ 函数 y Asin x 的图象变换 分析 求出 g x 的解析式 利用对称中心得出 再代入周期公式得出答 案 解答 解 g x f x sin x sin x g sin 0 即 k k Z 3k 又 0 6 第 10 页 共 21 页 3 f x 的最小正周期为 T 故答案为 12 在 ABC 中 已知 AB AC 4 BC 2 B 的平分线交 AC 于点 D 则 的值为 考点 9R 平面向量数量积的运算 分析 由余弦定理求得 cosA 可得 4 4 14 再由内角平分线定 理 可得 AD 再由向量的加减运算和数量积的性质 向量的平方即为模 的平方 计算即可得到所求值 解答 解 由余弦定理可得 cosA 可得 4 4 14 由 BD 为 ABC 的平分线 可得 2 AD 即有 2 16 14 故答案为 第 11 页 共 21 页 13 已知 f x 是定义在 R 上的奇函数 当 x 0 时 f x x2 3x 若方程 f x x t 0 恰有两个相异实根 则实数 t 的所有可能值为 1 1 考点 54 根的存在性及根的个数判断 分析 求出 f x 的解析式 分离参数可得 t f x x 作出 g x f x x 的函数图象 根据图象可得 t 1 解答 解 当 x 0 时 f x f x x2 3x x2 3x 由 f x x t 0 得 t 令 g x 作出 g x 的函数图象如图所示 方程 f x x t 0 恰有两个相异实根 即 g x t 有两个实根 t 1 或 t 1 故答案为 1 1 14 在平面直角坐标系 xOy 中 已知点 A 2a 0 a 0 直线 第 12 页 共 21 页 l1 mx y 2m 2 0 与直线 l2 x my 0 m R 相交于点 M 且 MA2 MO2 2a2 16 则实数 a 的取值范围是 2 1 考点 IJ 直线的一般式方程与直线的垂直关系 分析 两直线方程联立 消去 m 可得 M 的轨迹方程 再设 M x y 运 用两点的距离公式 可得 M 的又一轨迹方程 由两圆有公共点 可得 a 的不等 式 解不等式即可得到 a 的范围 解答 解 由题意 将 m 代入 l1 mx y 2m 2 0 化简可得 x2 y2 2x 2y 0 即有 M 在以圆心 C1 1 1 半径为的圆上 又点 A 2a 0 a 0 设 M x y MA2 MO2 2a2 16 可得 x 2a 2 y2 x2 y2 2a2 16 即有 x2 y2 2ax a2 8 0 可得 M 在以圆心 C2 a 0 半径为 2的圆上 由两圆相交可得 C1C2 3 即为 3 解得 2 a 1 故答案为 2 1 二 解答题 共二 解答题 共 6 小题 满分小题 满分 90 分 分 15 已知 tan 1 求 tan 的值 2 求 cos2 的值 考点 GR 两角和与差的正切函数 GU 二倍角的正切 分析 1 由已知利用两角差的正切函数公式 特殊角的三角函数值即可计 算得解 第 13 页 共 21 页 2 由 tan 利用同角三角函数基本关系式 二倍角的余弦函数公式即可 计算得解 解答 解 1 tan 解得 tan 2 tan cos2 16 在四棱锥 P ABCD 中 已知 DC AB DC 2AB E 为棱 PD 的中点 1 求证 AE 平面 PBC 2 若 PB PC PB AB 求证 平面 PAB 平面 PCD 考点 LY 平面与平面垂直的判定 LS 直线与平面平行的判定 分析 1 取 PC 中点 E 连结 EF BF 推导出四边形 ABFE 是平行四边形 从而 AE BF 由此能证明 AE 平面 PBC 2 由 DC AB PB PC PB AB 得 PB CD 从而 PB 平面 PCD 由此能 证明平面 PAB 平面 PCD 解答 证明 1 取 PC 中点 E 连结 EF BF 在四棱锥 P ABCD 中 DC AB DC 2AB E 为棱 PD 的中点 EFCD AB EFAB 四边形 ABFE 是平行四边形 AE BF AE 平面 PBC BF 平面 PBC 第 14 页 共 21 页 AE 平面 PBC 2 DC AB PB PC PB AB PB CD PC CD C PB 平面 PCD PB 平面 PAB 平面 PAB 平面 PCD 17 如图 在平面直角坐标系 xOy 中 边长为 1 的正 OAB 的顶点 A B 均在 第一象限 设点 A 在 x 轴的射影为 C AOC 1 试将 表示 的函数 f 并写出其定义域 2 求函数 f 的值域 考点 9R 平面向量数量积的运算 36 函数解析式的求解及常用方法 分析 1 根据题意 用 表示出 求出 利用数量积个数计算 f 并化简 写出 的取值范围 2 根据 的取值范围即可求出函数 f 的值域 解答 解 1 根据题意 1 AOC cos sin cos sin 第 15 页 共 21 页 cos 0 cos cos sin f cos cos cos sin sin cos cos2 cos2 其中 0 2 由 1 知 f cos2 0 时 2 0 cos2 1 cos2 函数 f 的值域为 18 如图 海平面某区域内有 A B C 三座小岛 岛 C 在 A 的北偏东 70 方向 岛 C 在 B 的北偏东 40 方向 且 A B 两岛间的距离为 3 海里 1 求 B C 两岛间的距离 2 经测算海平面上一轮船 D 位于岛 C 的北偏西 50 方向 且与岛 C 相距 3 第 16 页 共 21 页 海里 求轮船在岛 A 的什么位置 注 小岛与轮船视为一点 考点 HU 解三角形的实际应用 分析 1 在 ABC 中使用正弦定理得出 BC 2 在 ABC 中求出 AC 再在 ACD 中利用余弦定理求出 AD 利用正弦定理 求出 DAC 得出结论 解答 解 1 由题意可得 ABC 105 BAC 45 AB 3 ACB 30 在 ABC 中 由正弦定理得 即 解得 BC 3 海里 2 由题意可知 CD 3 ACD 60 在 ABC 中 由余弦定理得 AC 3 在 ACD 中 由余弦定理 AD 3 由正弦定理得 即 解得 sin DAC DAC 45 D 船在 A 岛北偏东 25 方向上 距离 A 岛 3海里处 第 17 页 共 21 页 19 在平面直角坐标系 xOy 中 圆 x2 y2 4 直线 l 4x 3y 20 0 A 为圆 O 内一点 弦 MN 过点 A 过点 O 作 MN 的垂线交 l 于点 P 1 若 MN l 求直线 MN 的方程 求 PMN 的面积 2 判断直线 PM 与圆 O 的位置关系 并证明 考点 J9 直线与圆的位置关系 分析 1 求出直线 MN 的斜率 k kAB 由此能求出直线 MN 的方程 求出点 O 0 0 到直线 MN 的距离 d 1 从而 MN 2 2 点 O 到 直线 l 的距离 OP 4 P 到 MN 的距离 h 4 1 3 由此能求出 PMN 的面积 S PMN 2 设 M x0 y0 则直线 MN 的斜率 k 直线 OP 的斜率为 直线 OP 的方程为 y 联立 得点 P 求出 推导出 0 从而 PM OM 进 而直线 PM 与圆 O 相切 解答 解 1 圆 x2 y2 4 直线 l 4x 3y 20 0 A 为圆 O 第 18 页 共 21 页 内一点 弦 MN 过点 A MN l 直线 MN 的斜率 k kAB 直线 MN 的方程为 y x 整理 得 4x 3y 5 0 点 O 0 0 到直线 MN 的距离 d 1 MN 2 2 2 点 O 到直线 l 的距离 OP 4 P 到 MN 的距离 h 4 1 3 PMN 的面积 S PMN 3 2 直线 PM 与圆 O 相切 证明如下 设 M x0 y0 则直线 MN 的斜率 k OP MN 直线 OP 的斜率为 直线 OP 的方程为 y 联立 解得点 P 的坐标为 x0 y0 第 19 页 共 21 页 4 0 PM OM 直线 P