江苏省南京市2016-2017学年高一(上)期末数学试卷(解析版)

第 1 页 共 19 页 2016 2017 学年江苏省南京市高一 上 期末数学试卷学年江苏省南京市高一 上 期末数学试卷 一 填空题 共一 填空题 共 14 小题 每小题小题 每小题 5 分 共分 共 70 分 分 1 若集合 A 1 0 1 2 B x x 1 0 则 A B 2 函数 f x log2 1 x 的定义域为 3 函数 f x 3sin 3x 的最小正周期为 4 已知角 的终边过点 P 5 12 则 cos 5 若幂函数 y xa a R 的图象经过点 4 2 则 a 的值为 6 若扇形的弧长为 6cm 圆心角为 2 弧度 则扇形的面积为 cm2 7 设 是不共线向量 4与 k 共线 则实数 k 的值为 8 定义在区间 0 5 上的函数 y 2sinx 的图象与 y cosx 的图象的交点个数为 9 若 a log32 b 20 3 c log2 则 a b c 的大小关系用 表示为 10 函数 f x 2x a 2 x是偶函数 则 a 的值为 11 如图 点 E 是正方形 ABCD 的边 CD 的中点 若 2 则 的值为 12 已知函数 f x 对任意实数 x R f x 2 f x 恒成立 且当 x 1 1 时 f x 2x a 若点 P 是该函数图象上一点 则实数 a 的值为 13 设函数 f x 3x2 2 则使得 f 1 f log3x 成立的 x 取值范围为 第 2 页 共 19 页 14 已知函数 f x 其中 m 0 若对任意实数 x 都有 f x f x 1 成立 则实数 m 的取值范围为 二 解答题 共二 解答题 共 6 题 题 90 分 分 15 已知 2 1 求 tan 2 求 cos cos 的值 16 已知向量 2 1 3 4 1 求 2 的值 2 求向量 与 的夹角 17 如图 在一张长为 2a 米 宽为 a 米 a 2 的矩形铁皮的四个角上 各剪 去一个边长是 x 米 0 x 1 的小正方形 折成一个无盖的长方体铁盒 设 V x 表示铁盒的容积 1 试写出 V x 的解析式 2 记 y 当 x 为何值时 y 最小 并求出最小值 18 已知函数 f x Asin x A 0 0 的最下正周期为 且点 P 2 是该函数图象的一个人最高点 1 求函数 f x 的解析式 2 若 x 0 求函数 y f x 的值域 第 3 页 共 19 页 3 把函数 y f x 的图线向右平移 0 个单位 得到函数 y g x 在 0 上是单调增函数 求 的取值范围 19 如图 在 ABC 中 已知 CA 1 CB 2 ACB 60 1 求 2 已知点 D 是 AB 上一点 满足 点 E 是边 CB 上一点 满足 当 时 求 是否存在非零实数 使得 若存在 求出的 值 若不存在 请说 明理由 20 已知函数 f x x a g x a x a R 1 设 F x f x g x 若 a 求函数 y F x 的零点 若函数 y F x 存在零点 求 a 的取值范围 2 设 h x f x g x x 2 2 若对任意 x1 x2 2 2 h x1 h x2 6 恒成立 试求 a 的取值范围 第 4 页 共 19 页 2016 2017 学年江苏省南京市高一 上 期末数学试卷学年江苏省南京市高一 上 期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一 填空题 共一 填空题 共 14 小题 每小题小题 每小题 5 分 共分 共 70 分 分 1 若集合 A 1 0 1 2 B x x 1 0 则 A B 0 1 2 考点 交集及其运算 分析 先分别求出集合 A B 由此利用交集定义能求出 A B 解答 解 集合 A 1 0 1 2 B x x 1 0 x x 1 A B 0 1 2 故答案为 0 1 2 2 函数 f x log2 1 x 的定义域为 x x 1 考点 对数函数的定义域 分析 要使函数 f x log2 1 x 有意义 只需对数的真数大于 0 建立不 等式解之即可 注意定义域的表示形式 解答 解 要使函数 f x log2 1 x 有意义 则 1 x 0 即 x 1 函数 f x log2 1 x 的定义域为 x x 1 故答案为 x x 1 3 函数 f x 3sin 3x 的最小正周期为 考点 三角函数的周期性及其求法 分析 利用利用函数 y Asin x 的周期为 得出结论 第 5 页 共 19 页 解答 解 函数 f x 3sin 3x 的最小正周期为 故答案为 4 已知角 的终边过点 P 5 12 则 cos 考点 任意角的三角函数的定义 分析 先求出角 的终边上的点 P 5 12 到原点的距离为 r 再利用任意 角的三角函数的定义 cos 求出结果 解答 解 角 的终边上的点 P 5 12 到原点的距离为 r 13 由任意角的三角函数的定义得 cos 故答案为 5 若幂函数 y xa a R 的图象经过点 4 2 则 a 的值为 考点 幂函数的概念 解析式 定义域 值域 分析 根据幂函数 y xa的图象过点 4 2 代入数据求出 a 的值 解答 解 幂函数 y xa a R 的图象经过点 4 2 所以 4a 2 解得 a 故答案为 6 若扇形的弧长为 6cm 圆心角为 2 弧度 则扇形的面积为 9 cm2 考点 扇形面积公式 分析 由题意求出扇形的半径 然后求出扇形的面积 解答 解 因为 扇形的弧长为 6cm 圆心角为 2 弧度 所以 圆的半径为 3 第 6 页 共 19 页 所以 扇形的面积为 6 3 9 故答案为 9 7 设 是不共线向量 4与 k 共线 则实数 k 的值为 考点 平行向量与共线向量 分析 e1 4e2与 ke1 e2共线 则存在实数 使得满足共线的充要条件 让它 们的对应项的系数相等 得到关于 K 和 的方程 解方程即可 解答 解 e1 4e2与 ke1 e2共线 k 1 4 故答案为 8 定义在区间 0 5 上的函数 y 2sinx 的图象与 y cosx 的图象的交点个数为 5 考点 正弦函数的图象 余弦函数的图象 分析 画出函数 y 2sinx 与 y cosx 在一个周期 0 2 上的图象 即可得出结 论 解答 解 画出函数 y 2sinx 与 y cosx 在一个周期 0 2 上的图象如图实数 第 7 页 共 19 页 由图可知 在一个周期内 两函数图象在 0 上有 1 个交点 在 2 上 有 1 个交点 所以函数 y 2sinx 与 y cosx 在区间 0 5 上图象共有 5 个交点 故答案为 5 9 若 a log32 b 20 3 c log2 则 a b c 的大小关系用 表示为 c a b 考点 对数值大小的比较 分析 利用指数函数与对数函数的单调性即可得出 解答 解 a log32 0 1 b 20 3 1 c log2 0 c a b 故答案为 c a b 10 函数 f x 2x a 2 x是偶函数 则 a 的值为 1 考点 函数奇偶性的判断 分析 根据函数奇偶性的定义进行求解即可 解答 解 f x 2x a 2 x是偶函数 f x f x 即 f x 2 x a 2x 2x a 2 x 则 2 x 2x a 2 x 2x 即 a 1 第 8 页 共 19 页 故答案为 1 11 如图 点 E 是正方形 ABCD 的边 CD 的中点 若 2 则 的值为 3 考点 平面向量数量积的运算 分析 建立直角坐标系 设出正方形的边长 利用向量的数量积求出边长 然后求解数量积的值 解答 解 以 A 为坐标原点 AB 为 x 轴 AD 为 y 轴 设正方形的边长为 2a 则 E a 2a B 2a 0 D 0 2a 可得 a 2a 2a 2a 若 2 可得 2a2 4a2 2 解得 a 1 1 2 1 2 则 的值 1 4 3 故答案为 3 12 已知函数 f x 对任意实数 x R f x 2 f x 恒成立 且当 x 1 1 第 9 页 共 19 页 时 f x 2x a 若点 P 是该函数图象上一点 则实数 a 的值为 2 考点 抽象函数及其应用 函数的图象 分析 求出函数的周期 然后利用点的坐标满足函数的解析式 推出结果即 可 解答 解 函数 f x 对任意实数 x R f x 2 f x 恒成立 可得函数 的周期为 2 f f 1 且当 x 1 1 时 f x 2x a 点 P 是该函数图象上一点 可得 21 a 8 解得 a 2 故答案为 2 13 设函数 f x 3x2 2 则使得 f 1 f log3x 成立的 x 取值范围为 0 x 3 或 x 3 考点 奇偶性与单调性的综合 分析 由题意 f x f x 函数是偶函数 x 0 递减 f 1 f log3x 1 log3x 即可得出结论 解答 解 由题意 f x f x 函数是偶函数 x 0 递减 f 1 f log3x 1 log3x 0 x 3 或 x 3 使得 f 1 f log3x 成立的 x 取值范围为 0 x 3 或 x 3 故答案为 0 x 3 或 x 3 14 已知函数 f x 其中 m 0 若对任意实数 x 都有 第 10 页 共 19 页 f x f x 1 成立 则实数 m 的取值范围为 0 考点 分段函数的应用 分析 由 f x 的解析式 可得 f x 1 的解析式 画出 f x 的图象 向 左平移一个单位可得 f x 1 的图象 由 x m f x 的图象与 x m 1 的图 象重合 可得 m 的一个值 进而通过图象可得 m 的范围 解答 解 由函数 f x 其中 m 0 可得 f x 1 作出 y f x 的简图 向左平移 1 个单位 可得 y f x 1 由对任意实数 x 都有 f x f x 1 成立 只要 f x 的图象恒在 f x 1 的图象上 由 x m f x 的图象与 x m 1 的图象重合 可得 2m 1 2m 解得 m 通过图象平移 可得 m 的范围为 0 m 故答案为 0 二 解答题 共二 解答题 共 6 题 题 90 分 分 15 已知 2 1 求 tan 第 11 页 共 19 页 2 求 cos cos 的值 考点 三角函数的化简求值 分析 1 直接利用同角三角函数的基本关系 求得 tan 的值 2 利用同角三角函数的基本关系 诱导公式 求得要求式子的值 解答 解 1 已知 2 tan 5 2 cos cos sin cos 16 已知向量 2 1 3 4 1 求 2 的值 2 求向量 与 的夹角 考点 平面向量数量积的运算 数量积表示两个向量的夹角 分析 1 利用向量的坐标求解所求向量的坐标 利用数量积运算法则求解 即可 2 利用数量积求解向量的夹角即可 解答 解 1 向量 2 1 3 4 1 3 2 7 6 所以 2 7 18 25 2 1 3 cos 向量 与 的夹角为 135 17 如图 在一张长为 2a 米 宽为 a 米 a 2 的矩形铁皮的四个角上 各剪 第 12 页 共 19 页 去一个边长是 x 米 0 x 1 的小正方形 折成一个无盖的长方体铁盒 设 V x 表示铁盒的容积 1 试写出 V x 的解析式 2 记 y 当 x 为何值时 y 最小 并求出最小值 考点 函数模型的选择与应用 分析 1 利用小反弹的体积公式 写出 V x 的解析式 2 记 y 利用配方法 即可得到当 x 为何值时 y 最小 并求出最小 值 解答 解 1 由题意 V x 2a 2x a 2x x 0 x 1 2 y 2a 2x a 2x a 2 0 x 1 x 1 时 y 最小 最小值为 2 a 1 a 2 18 已知函数 f x Asin x A 0 0 的最下正周期为 且点 P 2 是该函数图象的一个人最高点 1 求函数 f x 的解析式 2 若 x 0 求函数 y f x 的值域 3 把函数 y f x 的图线向右平移 0 个单位 得到函数 y g x 在 0 上是单调增函数 求 的取值范围 考点 函数 y Asin x 的图象变换 分析 1 由函数的图象的顶点坐标求出 A 由周期求出 由特殊点的坐 标求出 的值 可得函数的解析式 第 13 页 共 19 页 2 由 x 的范围可求 2x 利用正弦函数的性质可求其值域 3 利用三角函数平移变换规律可求 g x 2sin 2x 2 利用正弦函数 的单调性可求函数的单调递增区间 进而可得 k Z 结合范 围 0 可求 的取值范围 解答 解 1 由题意可得 A 2 2 再根据函数的图象经过点 M 2 可得 2sin 2 2 结合 可得 f x 2sin 2x 2 x 0 2x sin 2x 1 可得 f x 2sin 2x 2 1 3 把函数 y f x 的图线向右平移 0 个单位 得到函数 y g x 2sin 2 x 2sin 2x 2 令 2k 2x 2 2k k Z 解得 k x k k Z 可得函数的单调递增区间为 k k k Z 函数 y g x 在 0 上是单调增函数 第 14 页 共 19 页 解得 k Z 0 当 k 0 时 19 如图 在 ABC 中 已知 CA 1 CB 2 ACB 60 1 求 2 已知点 D 是 AB 上一点 满足 点 E 是边 CB 上一点 满足 当 时 求 是否存在非零实数 使得 若存在 求出的 值 若不存在 请说 明理由 考点 平面向量数量积的运算 分析 1 利用余弦定理求出 AB 的长即得 2 时 D E 分别是 BC AB 的中点 求出 的数量积即可 假设存在非零实数 使得 利用 分别表示出和 求出 0 时的 值即可 解答 解 1 ABC 中 CA 1 CB 2 ACB 60 由余弦定理得 第 15 页 共 19 页 AB2 CA2 CB2 2CA CB cos ACB 12 22 2 1 2 cos60 3 AB 即 2 时 D E 分别是 BC AB 的中点 12 1 2 cos120 2 1 cos60 22 假设存在非零实数 使得 由 得 1 又 1 1 1 2 1 4 1 1 2 1 3 2 2 0 解得 或 0 不合题意 舍去 即存在非零实数 使得 第 16 页 共 19 页 20 已知函数 f x x a g x a x a R 1 设 F x f x g x 若 a 求函数 y F x 的零点 若函数 y F x 存在零点 求 a 的取值范围 2 设 h x f x g x x 2 2 若对任意 x1 x2 2 2 h x1 h x2 6 恒成立 试求 a 的取值范围 考点 函数恒成立问题 函数零点的判定定理 分析 1 设 F x f x g x 若 a 由 F x 0 即可求得 F x 的零点 若函数 y F x 存在零点 则 x a a x 等号两端构造两个函数 当 a 0 时 在同一坐标系中作出两函数的图象 即可求得满足题意的 a 的取值范围的一部 分 同理可得当 a 0 时的情况 最后取并即可求得 a 的取值范围 2 h x f x g x x 2 2 对任意 x1 x2 2 2 h x1 h x2 6 恒成立 h x1 max h x2 min 6 分 a 1 1 a 1 a 1 三 类讨论 即可求得 a 的取值范围 解答 解 1 F x f x g x x a a x 若 a 则由 F x x x 0 得 x x 当 x 0 时 解得 x 1 当 x 0 时 解得 x 舍去 综上可知 a 时 函数 y F x 的零点为 1 若函数 y F x 存在零点 则 x a a x 当 a 0 时 作图如下 第 17 页 共 19 页 由图可知 当 0 a 1 时 折线 y a x 与直线 y x a 有交点 即函数 y F x 存在零点 同理可得 当 1 a 0