高三数学奥赛提升训练题（2）

高三数学奥赛提升训练题 高三数学奥赛提升训练题 2 2 1 已知数列 n a的前 n 项和为 Sn a1 1 Sn 4an Sn 1 an 1 2Nnn 且 1 求证 数列 n a是等比数列 2 若 bn nan 求数列 bn 的前 n 项和 Tn b1 b2 bn 3 若 cn 0 lg lg3 lg 1 tatnt n n 且数列 cn 中的每一项总小于它后面的项 求实数 t 的取值范围 解析 1 2 3 1 3 4 1 11 1 11 Nnn a a aa SSa aSaS n n n nnn nnnn an 是以 3 1 为公比的等比数列 4 分 2 由 1 知 1 3 1 n n a 1 3 1 n n b 12 33 3 3 2 1 n n n T nn n nn T 33 1 3 2 3 1 3 1 12 3 1 1 3 1 1 33 1 3 1 3 1 1 3 2 12 n nn n n T nn n n n 3 1 3 1 2 1 2 3 3 1 nn n n T 3 1 2 3 3 1 4 3 4 9 1 8 分 3 tnttnntatntc nnn n n n lg 3 1 lg lg3lg lg lg3 lg 1 由题意知 2 1 0 1 ncc nn 恒成立 即 0 1 lglglg 1 1 1 nnn nn tntnttntttncc 对任意自然数 n 恒成立 t 0 tn 0 若 t 1 则 lgt 0 且0 1 01 ntnt 2 1 1 1 1 t t t n t t n 恒成立对任意 t 1 10 分 若 t 1 lgt 0 不合题意 11 分 若 0 t 1 时 lgt 0 1 0 1 t t nntn 恒成立 2 1 0 2 1 0 1 1 tt t t 解得 13 分 综上 0 t1 14 分 2 已知函数 2 1f xxx 是方程f x 0 的两个根 fx是f x 的导 数 设 1 1a 1 n nn n f a aa fa n 1 2 1 求 的值 2 证明 对任意的正整数 n 都有 n a a 3 记ln n n n a b aa n 1 2 求数列 bn 的前 n 项和 Sn 解析 1 2 1f xxx 是方程f x 0 的两个根 1515 22 2 21fxx 2 1 115 21 21 1 244 2121 nnn nn nnn nn aaa aa aaa aa 5 11 4 21 4212 n n a a 1 1a 有基本不等式可知 2 51 0 2 a 当且仅当 1 51 2 a 时取等号 2 51 0 2 a 同 样 3 51 2 a 51 2 n a n 1 2 3 1 1 2121 nnn nnn nn aaa aaa aa 而1 即1 2 1 21 n n n a a a 同理 2 1 21 n n n a a a 1 2 nn bb 又 1 13535 lnln2ln 1235 b 35 2 21 ln 2 n n S 3 某厂生产某种零件 每个零件的成本为 40 元 出厂单价定为 60 元 该厂为鼓励销售商订 购 决定当一次订购量超过 100 个时 每多订购一个 订购的全部零件的出厂单价就降低 0 02 元 但实际出厂单价不能低于 51 元 当一次订购量为多少个时 零件的实际出厂单价恰降为 51 元 设一次订购量为 x 个 零件的实际出厂单价为 P 元 写出函数 P xf的表达式 当销售商一次订购 500 个零件时 该厂获得的利润是多少元 如果订购 1000 个 利 润又是多少元 工厂售出一个零件的利润 实际出厂单价 成本 解 设每个零件的实际出厂价恰好降为 51 元时 一次订购量为 x0个 则 550 02 0 5160 100 0 x 因此 当一次订购量为 550 个时 每个零件的实际出厂价恰好降为 51 元 当时 当时 550100601000 xPx 50 62 100 02 060 x xP 当 51550 Px时 所以 550 51 550100 50 62 1000 60 x Nxx x x xfP 设销售商的一次订购量为 x 个时 工厂获得的利润为 L 元 则 500100 50 22 1000 20 40 2 Nx x x x xx xPL 当x 500 时 L 6000 当 x 1000 时 L 11000 因此 当销售商一次订购 500 个零件时 该厂获得的利润是 6000 元 如果订购 1000 个 利润是 11000 元 4 已知函数 0 1 1 x x xf 当1 0 abbfafba 求证 且 是否存在实数 baba 使得函数 y xf的定义域 值域都是 a b 若存在 则求出a b 的值 若不存在 请说明理由 解 1 1 1 10 1 1 1 1 x x x x x xf 故 1 0 在xf上是减函数 而在 1 上是增函数 由 2 111 11 1 10 0 baba babfafba 即 和得 且 而 1 1 2 11 2 ab abba 所以 不存在这样的实数a b 假设存这样的实数a b 使得函数 xfy 的定义域 值域是都是 a b 当 0 a b 1 时 函数 1 0 1 1 在 x xf 上是减函数 则 abf baf 即 a b b a 1 1 1 1 解得a b 与 0 a b 1 矛盾 故此时不存在满足条件的实数a b 当 1 a b 时 函数 1 1 1 在 x xf上是增函数 则 bb