理科数学2010-2019高考真题分类训练9专题四三角函数与解三角形第九讲 三角函数的概念、诱导公式与三角恒等变换—附解析答案

专题四 三角函数与解三角形 第九讲 三角函数的概念 诱导公式与三角恒等变换 2019 年 1 2019 北京 9 函数f x sin22x的最小正周期是 2 2019 全国 理 12 设函数 f x sin 5 x 0 已知 f x在 0 2 有且仅 有 5 个零点 下述四个结论 f x在 0 2 有且仅有 3 个极大值点 f x在 0 2 有且仅有 2 个极小值点 f x在 0 10 单调递增 的取值范围是 12 29 5 10 其中所有正确结论的编号是 A B C D 3 2019 天津理 7 已知函数 sin 0 0 f xAxA 是奇函数 将 yf x 的图像上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍 纵坐标不变 所得图像对应的函 数为 g x 若 g x的最小正周期为2 且 2 4 g 则 3 8 f A 2 B 2 C 2 D 2 4 2019 全国 理 10 已知 0 2 2sin 2 cos 2 1 则 sin A 1 5 B 5 5 C 3 3 D 2 5 5 5 2019 江苏 13 已知 tan2 3 tan 4 则 sin 2 4 的值是 6 2019 浙江 18 设函数 sin f xx x R 1 已知 0 2 函数 f x 是偶函数 求 的值 2 求函数 22 124 yf xf x 的值域 2010 2018 年 一 选择题 1 2018 全国卷 若 1 sin 3 则cos2 A 8 9 B 7 9 C 7 9 D 8 9 2 2016 年全国 III 若 3 tan 4 则 2 cos2sin2 A 64 25 B 48 25 C 1 D 16 25 3 2016 年全国 II 若 3 cos 45 则sin2 A 7 25 B 1 5 C 1 5 D 7 25 4 2015 新课标 sin20 cos10cos160 sin10 A 3 2 B 3 2 C 1 2 D 1 2 5 2015 重庆 若tan2tan 5 则 3 cos 10 sin 5 A 1 B 2 C 3 D 4 6 2014 新课标 若0tan 则 A 0sin B 0cos C 02sin D 02cos 7 2014 新课标 设 0 2 0 2 且 1 sin tan cos 则 A 3 2 B 2 2 C 3 2 D 2 2 8 2014 江西 在ABC 中 内角 A B C 所对应的边分别为 cba 若32ab 则 22 2 2sinsin sin BA A 的值为 A 1 9 B 1 3 C 1 D 7 2 9 2013 新课标 已知 2 sin2 3 则 2 cos 4 A 1 6 B 1 3 C 1 2 D 2 3 10 2013 浙江 已知 2 10 cos2sin R 则 2tan A 3 4 B 4 3 C 4 3 D 3 4 11 2012 山东 若 2 4 8 73 2sin 则 sin A 5 3 B 5 4 C 4 7 D 4 3 12 2012 江西 若 sincos1 sincos2 则 tan2 A 3 4 B 3 4 C 4 3 D 4 3 13 2011 新课标 已知角 的顶点与原点重合 始边与x轴的正半轴重合 终边在直线 2yx 上 则cos2 A 4 5 B 3 5 C 3 5 D 4 5 14 2011 浙江 若0 2 0 2 1 cos 43 3 cos 423 则 cos 2 A 3 3 B 3 3 C 5 3 9 D 6 9 15 2010 新课标 若 4 cos 5 是第三象限的角 则 1tan 2 1tan 2 A 1 2 B 1 2 C 2 D 2 二 填空题 16 2018 全国卷 已知函数 2sinsin2 f xxx 则 f x的最小值是 17 2018 全国卷 已知sincos1 cossin0 则sin 18 2017 新课标 函数 2 3 sin3cos 4 f xxx 0 2 x 的最大值是 19 2017 北京 在平面直角坐标系xOy中 角 与角 均以Ox为始边 它们的终边关 于y轴对称 若 1 sin 3 则cos 20 2017 江苏 若 1 tan 46 则tan 21 2015 四川 75sin15sin 22 2015 江苏 已知tan2 1 tan 7 则tan 的值为 23 2014 新课标 函数 sin22sincosf xxx 的最大值为 24 2013 新课标 设 为第二象限角 若 1 tan 42 则sincos 25 2013 四川 设sin2sin 2 则tan2 的值是 26 2012 江苏 设 为锐角 若 4 cos 65 则sin 2 12 的值为 三 解答题 27 2018 江苏 已知 为锐角 4 tan 3 5 cos 5 1 求cos2 的值 2 求tan 的值 28 2018 浙江 已知角 的顶点与原点O重合 始边与x轴的非负半轴重合 它的终边过 点 34 55 P 1 求sin 的值 2 若角 满足 5 sin 13 求cos 的值 29 2017 浙江 已知函数 22 sincos2 3sin cosf xxxxx x R 求 2 3 f 的值 求 f x的最小正周期及单调递增区间 30 2014 江苏 已知 2 5 5 sin 1 求 4 sin 的值 2 求 2 6 5 cos 的值 31 2014 江西 已知函数 xxaxf2coscos2 2 为奇函数 且0 4 f 其 中 0 Ra 1 求 a的值 2 若 25 2 4 f 求 3 sin 的值 32 2013 广东 已知函数 2cos 12 f xxxR 1 求 3 f 的值 2 若 33 cos 2 52 求 6 f 33 2013 北京 已知函数 2 1 2cos1 sin2cos4 2 f xxxx 1 求 f x的最小正周期及最大值 2 若 2 且 2 2 f 求 的值 34 2012 广东 已知函数 2cos 6 f xx 其中0 xR 的最小正周期为 10 1 求 的值 2 设 0 2 56 5 35 f 516 5 617 f 求cos 的值 专题四 三角函数与解三角形 第九讲 三角函数的概念 诱导公式与三角恒等变换 答案部分 2019 年 1 解析解析 因为 2 1 cos411 sin 2cos4 222 x f xxx 所以f x 的最小正周期 2 42 T 2 解析解析 当 0 2 x 时 2 555 x 因为 f x在 0 2 有且仅有 5 个零点 所以526 5 所以12 29 510 故 正确 因此由选项可知只需判断 是否正确即可得到答案 下面判断 是否正确 当 0 10 x 时 2 5510 x 若 f x在0 10 单调递增 则 2 102 即3 因为12 29 510 故 正确 故选 D 3 解析解析 因为 f x是奇函数 所以0 sinf xAx 将 yf x 的图像上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍 纵坐标不变 所得图像对应的 函数为 g x 即 1 sin 2 g xAx 因为 g x的最小正周期为2 所以 2 2 1 2 得2 所以 sing xAx sin2f xAx 若2 4 g 即 2 sin2 442 gAA 即2A 所以 2sin2f xx 332 2sin 22sin22 8842 f 故选 C 4 解析 由2sin2cos21 得 2 4sincos2cos 因为 0 2 所以cos2sin 由 22 cos2sin sincos1 得 5 sin 5 故选 B 5 解析解析 由 tan2 3 tan 4 得 tan2 3 tantan 4 1tan tan 4 所以 tan 1 tan 2 1tan3 解得tan2 或 1 tan 3 当tan2 时 2 2tan4 sin2 1tan5 2 2 1 tan3 cos2 1tan5 42322 sin 2 sin2 coscos2 sin 444525210 当 1 tan 3 时 2 2tan3 sin2 1tan5 2 2 1 tan4 cos2 1tan5 所以 32422 sin 2 sin2 coscos2 sin 444525210 综上 sin 2 4 的值是 2 10 6 解 析 1 因 为 s i n fxx 是 偶 函 数 所 以 对 任 意 实 数 x 都 有 s i n s i n xx 即sin coscos sinsin coscos sinxxxx 故2sin cos0 x 所以cos0 又 0 2 因此 2 或 3 2 2 22 22 sinsin 124124 yfxfxxx 1 cos 21 cos 2 13362 1cos2sin2 22222 xx xx 3 1cos 2 23 x 因此 函数的值域是 33 1 1 22 2010 2018 年 1 B 解析 22 17 cos21 2cos1 2 39 故选 B 2 A 解析 由 sin3 tan cos4 22 cossin1 得 3 sin 5 4 cos 5 或 3 sin 5 4 cos 5 所以 24 sin22sincos 25 则 2 164864 cos2sin2 252525 故选 A 3 D 解析 因为 23 cos sincos 425 所以 3 2 sincos 5 所以 18 1sin2 25 所以 7 sin2 25 故选 D 4 D 解析 原式 1 sin20 cos10cos20 sin10sin 2010 sin30 2 5 C 解析 3 cos 10 sin 5 33 coscossinsin 1010 sincoscossin 55 33 costansin 1010 tancossin 55 33 cos2tansin 10510 2tancossin 555 33 coscos2sinsin 510510 sincos 55 155 coscos coscos 210101010 12 sin 25 3cos 10 3 cos 10 选 C 6 C 解析 tan0 知 的终边在第一象限或第三象限 此时sin 与cos 同号 故sin22sincos0 选 C 7 B 解析 由条件得 sin1 sin coscos 即sincoscos 1 sin 得sin cossin 2 又因为 22 0 22 所以 2 所以2 2 8 D 解析 22 2 2sinsin sin BA A 22 sin 2 12 1 sin Bb Aa 32ab 上式 7 2 9 A 解析 因为 2 1 cos2 1 cos 2 1 sin2 42 cos 4222 所以 2 2 1 1 sin21 3 cos 4226 选 A 10 C 解析 由 22 10 sin2cos 2 可得 22 22 sin4cos4sincos10 sincos4 进一步整理可得 2 3tan8tan30 解得tan3 或 1 tan 3 于是 2 2tan3 tan2 1 tan4 11 D 解析 由 4 2 可得 2 2 8 1 2sin12cos 2 4 3 2 2cos1 sin 答案应选 D 另解 由 4 2 及 3 7 sin2 8 可得sincos1 sin 3 7166 796 7773 1 8161644 而当 4 2 时 cossin 结合选项即可得 4 7 cos 4 3 sin 12 B 解析 分子分母同除cos 得 sincostan11 sincostan12 tan3 2 2tan3 tan2 1 tan4 13 B 解析 由角 的终边在直线2yx 上可得 tan2 222 22 222 cossin1 tan3 cos2cossin cossin1tan5 14 C 解析 cos cos 2442 cos cos 442 sin sin 442 而 3 444 424 2 因此 2 2 sin 43 6 sin 423 则 132 265 3 cos 233339 15 A 解析 4 cos 5 且 是第三象限 3 sin 5 1tan 2 1tan 2 2 cossin cossin 2222 cossin cossin cossin 222222 22 1 sin1 sin1 cos2 cossin 22 16 3 3 2 解析 解法一 因为 2sinsin2 f xxx 所以 2 1 2cos2cos24cos2cos24 cos cos1 2 fxxxxxxx 由 0 fx得 1 cos1 2 x 即22 33 kxk 由 0 fx得 1 1cos 2 x 即22 3 kxk 或22 3 kxk Zk 所以当2 3 xk Zk 时 f x取得最小值 且 min 3 3 2 2sin 2 sin2 2 3332 f xfkkk 解法二 因为 2sinsin22sin 1 cos f xxxxx 所以 2223 4sin 1 cos 4 1 cos 1 cos f xxxxx 4 43 1 cos 1 cos 1 cos 1 cos 27 344 xxxx 当且仅当3 1 cos 1 cos xx 即 1 cos 2 x时取等号 所以 2 27 0 4 f x 所以 f x的最小值为 3 3 2 17 1 2 解析 sincos1 cossin0 22 sincos2sincos1 22 cossin2cossin0 两式相加可得 2222 sincossincos2 sincoscossin 1 1 sin 2 18 1 解析 化简三角函数的解析式 则 22 31 1 cos3coscos3cos 44 f xxxxx 2 3 cos 1 2 x 由 0 2 x 可得cos 0 1 x 当 3 cos 2 x 时 函数 f x取得最大值 1 19 7 9 解析 角 与角 的终边关于y轴对称 所以2k 所以 1 sinsin 2 sin 3 k coscos 222 cos coscossinsincossin2sin1 2 17 2 1 39 20 7 5 解析 tan tan 7 44 tantan 445 1tan tan 44 21 6 2 解析 6 sin15sin75sin15cos152sin 1545 2 22 3 解析 1 2 tan tan 7 tantan 3 2 1tan tan 1 7 23 1 解析 sin 2sincos f xxx sin coscos sinxx sin sinxx xR 所以 f x的最大值为 1 24 10 5 解析 1 tan 42 可得 1 tan 3 12 sin cos 1010 sincos 10 5 25 3 解析 sin22sincossin 则 1 cos 2 又 2 则tan3 2 2tan2 3 tan23 1 tan1 3 26 50 217 解析 因为 为锐角 cos 6 4 5 sin 6 3 5 sin2 25 24 6 cos2 7 625 所以 sin 50 217 25 17 2 2 4 6 2sin 12 2 27 解析 1 因为 4 tan 3 sin tan cos 所以 4 sincos 3 因为 22 sincos1 所以 2 9 cos 25 因此 2 7 cos22cos1 25 2 因为 为锐角 所以 0 又因为 5 cos 5 所以 2 2 5 sin 1cos 5 因此tan 2 因为 4 tan 3 所以 2 2tan24 tan2 1tan7 因此 tan2tan 2 tan tan 2 1 tan2 tan 11 28 解析 1 由角 的终边过点 34 55 P 得 4 sin 5 所以 4 sin sin 5 2 由角 的终边过点 34 55 P 得 3 cos 5 由 5 sin 13 得 12 cos 13 由 得coscos cossin sin 所以 56 cos 65 或 16 cos 65 29 解析 由 23 sin 32 21 cos 32 2 3 f 22 3131 2 3 2222 得 2 2 3 f 由 22 cos2cossinxxx 与sin22sin cosxxx 得 cos23sin22sin 2 6 f xxxx 所以 f x的最小正周期是 由正弦函数的性质得 3 222 262 kxk k Z 解得 2 63 kxk k Z 所以 f x的单调递增区间是 2 63 kk k Z 30 解析 1 5 sin 25 22 5