【志鸿优化设计】2014届高考数学一轮复习 第14章 计数原理、二项式定理、概率14．1两个基本计数原理练习（含解析）苏教版

1 课时作业课时作业 6161 两个基本计数原理两个基本计数原理 一 填空题 1 若三角形的三边均为正整数 其中一边长为 4 另外两边长分别为b c 且满足 b 4 c 则这样的三角形有 个 2 某同学有同样的画册 2 本 同样的集邮册 3 本 从中取出 4本赠送给 4 位朋友 每 位朋友一本 则不同的赠送方法共有 种 3 在数字 1 2 3 4 5 6 中取两个不同的数相加 其和为偶数的取法有 种 4 4 位同学每人从甲 乙 丙 3门课程中选修 1 门 则恰有 2 人选修课程甲的不同选 法共有 种 5 从集合 1 2 3 4 10 中任意选出三个不同的数 使这三个数成等比数列 这 样的等比数列的个数为 6 在某种信息传输过程中 用 4 个数字的一个排列 数字允许重复 表示一个信息 不 同排列表示不同信息 若所用数字只有 0 和 1 则与信息 0110 至多有两个对应位置上的数 字相同的信息个数为 7 只用 1 2 3 三个数字组成一个四位数 规定这三个数必须同时使用 且同一数字不 能相邻出现 则这样的四位数有 个 8 如图所示 在连接正八边形的三个顶点而成的三角形中 与正八边形有公共边的 三角形有 个 9 从 6 人中选 4 人分别到张家界 韶山 衡山 桃花源四个旅游景点游览 要求每个 旅游景点只有一人游览 每人只游览一个旅游景点 且 6 个人中甲 乙两人不去张家界游 览 则不同的选择方案共有 种 二 解答题 10 某电视节目的现场观众来自四个不同的单位 分别在图中的 A B C D 四个区域 落座 现有四种不同颜色的服装 每个单位的观众必须穿同色服装 且相邻区域不能同色 则不同的着装方法共有多少种 11 有一项活动 需在 3 名老师 8 名男生和 5 名女生中选人参加 1 若只需 1 人参加 有多少种不同选法 2 若需老师 男生 女生各一人参加 有多少种不同的选法 3 若需一名老师 一名学生参加 有多少种不同的选法 12 如图所示 将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色 并使同一条棱上的两端异 色 如果只有 5 种颜色可供使用 求不同的染色方法种数 2 参考答案参考答案 一 填空题 1 10 解析 解析 当b 1 时 c 4 当b 2 时 c 4 5 当b 3 时 c 4 5 6 当 b 4 时 c 4 5 6 7 故共有 10 个这样的三角形 2 10 解析 解析 赠送一本画册 3 本集邮册 共 4 种方法 赠送 2 本画册 2 本集邮册 共 C 种方法 由分类计数原理知不同的赠送方法共 4 C 10 种 2 42 4 3 6 解析 解析 将这 6 个数分成两类 1 3 5 2 4 6 和为偶数时两数必须都是奇 数或都是偶数 所以要么都在 1 3 5 中选 要么都在 2 4 6 中选 故共有 3 3 6 种 4 24 解析 解析 4 位同学恰有 2 人选修甲的选法有 C 种 另外两人可在乙 丙中任选 2 4 一门 所以不同的选法有 C 2 2 24 种 2 4 5 8 解析 解析 以 1 为首项的等比数列为 1 2 4 1 3 9 以 2 为首项的等比数列为 2 4 8 以 4 为首项的等比数列为 4 6 9 共 4 个 把这四个数列顺序颠倒 又得到 4 个数列 故所求数列有 8 个 6 11 解析 解析 完成这件事有三类方法 第一类 有两个对应位置上的数字相同 此时有 6 个信息 第二类 有一个对应位置上的数字相同 此时有 4 个信息 第三类 有零个对应位置上的数字相同 此时有 1 个信息 根据分类计数原理 至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为 6 4 1 11 7 18 解析 解析 由题意知 1 2 3 中必有某一个数字重复使用 2 次 第一步确定谁被使 用 2 次 有 3 种方法 第二步把这 2 个相等的数放在四位数不相邻的两个位置上 也有 3 种方法 第三步将余下的 2 个数放在四位数余下的 2 个位置上 有 2 种方法 故共可组成 3 3 2 18 个不同的四位数 8 40 解析 解析 把与正八边形有公共边的三角形分为两类 第一类 有一条公共边的三角形共有 8 4 32 个 第二类 有两条公共边的三角形共有 8 个 由分类加法计数原理知 与正八边形有公共边的三角形共有 32 8 40 个 9 240 解析 解析 能去张家界的有 4 人 依此能去韶山 衡山 桃花源的有 5 人 4 人 3 人 则由分步乘法计数原理得 不同的选择方案有 4 5 4 3 240 种 二 解答题 10 解 当 A B C D 四个区域的观众服装颜色全不相同时 有 4 3 2 1 24 种 不同的方法 当 A 区与 C 区同色 B 区与 D 区不同色且不与 A C 同色时 或 B 区与 D 区同色 A 区 与 C 区不同色且不与 B D 同色时 有 2 4 3 2 48 种不同的方法 当 A 区与 C 区同色 B 区与 D 区也同色且不与 A C 同色时 有 4 3 12 种不同的方 法 由分类计数原理知共有 24 48 12 84 种不同的着装方法 11 解 1 分三类 选老师有 3 种选法 选男生有 8 种选法 选女生有 5 种选法 故 共有 3 8 5 16 种选法 2 分三步 第一步选老师 第二步选男生 第三步选女生 故共有 3 8 5 120 种 选法 3 分两步 第一步选老师 第二步选学生 对第二步 又分为两类 第一类选男生 第二类选女生 故共有 3 8 5 39 种选法 12 解 方法一 可分为两大步进行 先将四棱锥一侧面三顶点染色 然后再分类考 虑另外两顶点的染色数 用分步乘法原理即可得出结论 由题设 四棱锥SABCD的顶点 S A B所染的颜色互不相同 它们共有 5 4 3 60 种染色方法 当S A B染好时 不妨设其颜色分别为 1 2 3 若C染 2 则D可染 3 或 4 或 5 有 3 种染法 若C染 4 则D可染 3 或 5 有 2 种染法 若C染 5 则D可染 3 或 4 有 2 种 染法 可见 当S A B已染好时 C D还有 7 种染法 故不同的染色方法有 60 7 420 种 方法二 以S A B C D顺序分步染色 3 第一步 S点染色 有 5 种方法 第二步 A点染色 与S在同一条棱上 有 4 种方法 第三步 B点染色 与S A分别在同一条棱上 有 3 种方法 第四步 C点染色 也有 3 种方法 但考虑到D点与S A C相邻 需要针对A与C 是否同色进行分类 当A与C同色时 D点有 3 种染色方法 当A与C不同色时 因为C 与S B也不同色 所以C点有 2 种染色方法 D点也有 2种染色方法 由分步乘法 分类 加法计数原理得不同的染色方法共有 5 4 3 1 3 2 2 420 种 方法三 按所用颜色种数分类 第一类 5 种颜色全用 共有 A 种