理科数学2010-2019高考真题分类训练8专题三导数及其应用第八讲导数的综合应用—附解析答案

专题三 导数及其应用 第八讲 导数的综合应用 2019 年 1 2019 天津理 8 已知a R 设函数 2 22 1 ln 1 xaxax f x xaxx 若关于x的不等式 0f x 在R上恒成立 则a的取值范围为 A 0 1 B 0 2 C 0 e D 1 e 2 2019 全国 理 20 已知函数 32 2f xxaxb 1 讨论 f x的单调性 2 是否存在 a b 使得 f x在区间 0 1 的最小值为 1 且最大值为 1 若存在 求 出 a b的所有值 若不存在 说明理由 3 2019 浙江 22 已知实数0a 设函数 ln1 0 f xaxxx 1 当 3 4 a 时 求函数 f x的单调区间 2 对任意 2 1 e x 均有 2 x f x a 求a的取值范围 注 e 2 71828 为自然对数的底数 4 2019 全国 理 20 已知函数 sinln 1 f xxx fx 为 f x的导数 证明 1 fx 在区间 1 2 存在唯一极大值点 2 f x有且仅有 2 个零点 5 2019 全国 理 20 已知函数 1 1 ln x f xx x 1 讨论 f x 的单调性 并证明 f x 有且仅有两个零点 2 设 x0是 f x 的一个零点 证明曲线 y ln x 在点 A x0 ln x0 处的切线也是曲线 exy 的 切线 6 2019 江苏 19 设函数 f xxa xb xc a b c R f x为 f x 的导函 数 1 若 a b c f 4 8 求 a 的值 2 若 a b b c 且 f x 和 f x的零点均在集合 3 1 3 中 求 f x 的极小值 3 若0 01 1abc 且 f x 的极大值为 M 求证 M 4 27 7 2019 北京理 19 已知函数 32 1 4 f xxxx 求曲线 yf x 的斜率为 1 的切线方程 当 2 4x 时 求证 6xf xx III 设 F xf xxaa R 记 F x在区间 2 4 上的最大值为 M a 当 M a最小 时 求 a 的值 8 2019 天津理 20 设函数 e cos x f xxg x 为 f x的导函数 求 f x的单调区间 当 4 2 x 时 证明 0 2 f xg xx 设 n x为函数 1u xf x 在区间 2 2 42 mm 内的零点 其中n N 证 明 2 00 2 2sinc e os n n nx xx 2010 2018 年 一 选择题 1 2017 新课标 若2x 是函数 21 1 x f xxaxe 的极值点 则 21 1 x f xxaxe 的极小值为 A 1 B 3 2e C 3 5e D 1 2 2017 浙江 函数 yf x 的导函数 yfx 的图像如图所示 则函数 yf x 的图 像可能是 x y O O y xx y O A B x y O x y O C D 3 2016 全国 I 函数 2 2 x yxe 在 2 2 的图像大致为 A B C D 4 2015 四川 如果函数 2 1 28100 2 f xmxnxmn 在区间 1 2 2 单调递减 那么mn的最大值为 A 16 B 18 C 25 D 81 2 5 2015 新课标 设函数 fx 是奇函数 f x xR 的导函数 1 0f 当0 x 时 xfxf x 0 则使得 f x 0 成立的x的取值范围是 A 10 1 B 1 01 C 11 0 D 0 11 6 2015 新课标 设函数 21 x f xexaxa 其中1a 若存在唯一的整数 0 x 使得 0 0f x 则a的取值范围是 A 3 1 2e B 33 24e C 33 24e D 3 1 2e 7 2014 新课标 若函数 lnf xkxx 在区间 1 单调递增 则k的取值范围是 A 2 B 1 C 2 D 1 8 2014 陕西 如图 修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连续 相切 已知环湖弯曲路段为某三次函数图像的一部分 则该函数的解析式为 x y 千米 千米 湖面 2O y 3x 6 y x A 32 11 22 yxxx B 32 11 3 22 yxxx C 3 1 4 yxx D 32 11 2 42 yxxx 9 2014 新课标 设函数 3sin x f x m 若存在 f x的极值点 0 x满足 2 22 00 xf xm 则m的取值范围是 A 66 B 44 C 22 D 11 10 2014 陕西 如图 某飞行器在 4 千米高空水平飞行 从距着陆点A的水平距离 10 千 米处下降 已知下降飞行轨迹为某三次函数图像的一部分 则函数的解析式为 x y A 地面跑道 2 2 5 5 O A 3 13 1255 yxx B 3 24 1255 yxx C 3 3 125 yxx D 3 31 1255 yxx 11 2014 辽宁 当 2 1 x 时 不等式 32 430axxx 恒成立 则实数 a 的取值范 围是 A 5 3 B 9 6 8 C 6 2 D 4 3 12 2014 湖南 若 12 01xx 则 A 21 21 lnln xx eexx B 21 21 lnln xx eexx C 12 21 xx x exe D 12 21 xx x exe 13 2014 江西 在同一直角坐标系中 函数 2 2 a yaxx 与 232 2ya xaxxa aR 的图像不可能 的是 x y A O x y B O x y C O x y D O 14 2013 新课标 已知函数 32 f xxaxbxc 下列结论中错误的是 A 00 0 xR f x B 函数 yf x 的图像是中心对称图形 C 若 0 x是 f x的极小值点 则 f x在区间 0 x 单调递减 D 若 0 x是 f x的极值点 则 0 0fx 15 2013 四川 设函数 exf xxa aRe 为自然对数的底数 若曲线xysin 上存在点 00 yx 使得 00 yyff 则a的取值范围是 A e 1 B 11e 1 C 1e1 D 1 e1 e 1 16 2013 福建 设函数 f x的定义域为 R 00 0 x x 是 f x的极大值点 以下结论一 定正确的是 A 0 xR f xf x B 0 x 是 fx 的极小值点 C 0 x 是 f x 的极小值点 D 0 x 是 fx 的极小值点 17 2012 辽宁 函数xxyln 2 1 2 的单调递减区间为 A 1 1 B 0 1 C 1 D 0 18 2012 陕西 设函数 x f xxe 则 A 1x 为 f x的极大值点 B 1x 为 f x的极小值点 C 1x 为 f x的极大值点 D 1x 为 f x的极小值点 19 2011 福建 若0a 0b 且函数 32 422f xxaxbx 在1x 处有极值 则ab的最大值等于 A 2 B 3 C 6 D 9 20 2011 浙江 设函数 2 f xaxbxc a b cR 若1x 为函数 x f x e的一 个极值点 则下列图象不可能为 yf x 的图象是 A B C D 21 2011 湖南 设直线xt 与函数 2 f xx lng xx 的图像分别交于点 M N 则当MN达到最小时t的值为 A 1 B 1 2 C 5 2 D 2 2 二 填空题 22 2015 安徽 设 3 0 xaxb 其中 a b均为实数 下列条件中 使得该三次方程仅 有一个实根的是 写出所有正确条件的编号 3 3ab 3 2ab 3 2ab 0 2ab 1 2ab 23 2015 四川 已知函数 x xf2 axxxg 2 其中Ra 对于不相等的实数 21 x x 设 21 21 xx xfxf m 21 21 xx xgxg n 现有如下命题 对于任意不相等的实数 21 x x 都有0 m 对于任意的a及任意不相等的实数 21 x x 都有0 n 对于任意的a 存在不相等的实数 21 x x 使得nm 对于任意的a 存在不相等的实数 21 x x 使得nm 其中的真命题有 写出所有真命题的序号 24 2015 江苏 已知函数 ln xxf 1 2 4 10 0 2 xx x xg 则方程 1 xgxf实根的个数为 25 2011 广东 函数 32 31f xxx 在x 处取得极小值 三 解答题 26 2018 全国卷 已知函数 1 lnf xxax x 1 讨论 f x的单调性 2 若 f x存在两个极值点 12 x x 证明 12 12 2 f xf x a xx 27 2018 全国卷 已知函数 2 e x f xax 1 若1 a 证明 当0 x时 1 f x 2 若 f x在 0 只有一个零点 求a 28 2018 全国卷 已知函数 2 2 ln 1 2f xxaxxx 1 若0a 证明 当10 x 时 0f x 当0 x 时 0f x 2 若0 x 是 f x的极大值点 求a 29 2018北京 设函数 2 41 43 x f xaxaxae 1 若曲线 yf x 在点 1 1 f处的切线与x轴平行 求a 2 若 f x在2x 处取得极小值 求a的取值范围 30 2018 天津 已知函数 x f xa logag xx 其中1a 1 求函数 lnh xf xxa 的单调区间 2 若曲线 yf x 在点 11 xf x处的切线与曲线 yg x 在点 22 x g x处的切 线平行 证明 12 2lnln ln a xg x a 3 证明当 1 e ea 时 存在直线l 使l是曲线 yf x 的切线 也是曲线 yg x 的 切线 31 2018 江苏 记 fx g x 分别为函数 f x g x的导函数 若存在 0 x R 满足 00 f xg x 且 00 fxg x 则称 0 x为函数 f x与 g x的一个 S点 1 证明 函数 f xx 与 2 22g xxx 不存在 S点 2 若函数 2 1f xax 与 lng xx 存在 S点 求实数 a 的值 3 已知函数 2 f xxa e x b g x x 对任意0a 判断是否存在0b 使函 数 f x与 g x在区间 0 内存在 S点 并说明理由 32 2018 浙江 已知函数 lnf xxx 1 若 f x在 1 xx 2 x 12 xx 处导数相等 证明 12 8 8ln2f xf x 2 若3 4ln2a 证明 对于任意0k 直线ykxa 与曲线 yf x 有唯一 公共点 33 2017 新课标 已知函数 2 2 xx f xaeaex 1 讨论 f x的单调性 2 若 f x有两个零点 求a的取值范围 34 2017 新课标 已知函数 2 lnf xaxaxxx 且 0f x 1 求a 2 证明 f x存在唯一的极大值点 0 x 且 22 0 2ef x 35 2017 新课标 已知函数 1lnf xxax 1 若 0f x 求a的值 2 设m为整数 且对于任意正整数n 2 111 1 1 1 222n m 求m的最小值 36 2017 浙江 已知函数 21 x f xxxe 1 2 x 求 f x的导函数 求 f x在区间 1 2 上的取值范围 37 2017 江苏 已知函数 32 1f xxaxbx 0 ab R有极值 且导函数 fx 的极值点是 f x的零点 极值点是指函数取极值时对应的自变量的值 1 求b关于a的函数关系式 并写出定义域 2 证明 2 3ba 3 若 f x fx 这两个函数的所有极值之和不小于 7 2 求a的取值范围 38 2017 天津 设a Z 已知定义在 R 上的函数 432 2336f xxxxxa 在区 间 1 2 内有一个零点 0 x g x为 f x的导函数 求 g x的单调区间 设 00 1 2 mxx 函数 0 h xg x mxf m 求证 0 0h m h x 求证 存在大于 0 的常数A 使得对于任意的正整数 p q 且 00 1 2 p xx q 满足 0 4 1 p x qAq 39 2017 山东 已知函数 2 2cosf xxx cossin22 x g xexxx 其中 2 71828e 是自然对数的底数 求曲线 yf x 在点 f 处的切线方程 令 h xg xaf x aR 讨论 h x的单调性并判断有无极值 有极值 时求出极值 40 2016 年山东 已知 2 21 ln R x f xa xxa x I 讨论 f x的单调性 II 当1a 时 证明 3 2 f xfx 对于任意的 1 2x 成立 41 2016 年四川 设函数 2 lnf xaxax 其中aR I 讨论 f x的单调性 II 确定a的所有可能取值 使得 1 1 x f xe x 在区间 1 内恒成立 e 2 718 为自然对数的底数 42 2016 年天津 设函数 3 1 f xxaxb Rx 其中 Rba I 求 xf的单调区间 II 若 xf存在极值点 0 x 且 01 xfxf 其中 01 xx 求证 10 23xx 设0 a 函数 xfxg 求证 xg在区间 1 1 上的最大值不小于 4 1 43 2016 年全国 已知函数 2 2 1 x f xxea x 有两个零点 I 求 a 的取值范围 II 设 1 x 2 x是 f x的两个零点 证明 12 2xx 44 2016 年全国 I 讨论函数 2 e 2 x x f x x 的单调性 并证明当0 x 时 2 e20 x xx II 证明 当 0 1 a 时 函数 2 e 0 x axa g xx x 有最小值 设 g x的最小值为 h a 求函数 h a的值域 45 2016 年全国 设函数 cos2 1 cos1 f xxx 其中0 记 f x的最大值为A 求 fx 求A 证明 2fxA 46 2016 年浙江高考 已知3a 函数 F x 2 min 2 1 242 xxaxa 其中 min p q ppq q pq I 求使得等式 2 242F xxaxa 成立的x的取值范围 II i 求 F x的最小值 m a ii 求 F x在区间 0 6 上的最大值 M a 47 2016 江苏 已知函数 0 0 1 1 xx f xababab 1 设2a 1 2 b 求方程 2f x 的根 若对于任意x R 不等式 26fxmf x 恒成立 求实数m的最大值 2 若01a 1b 函数 2g xf x 有且只有 1 个零点 求ab的值 48 2015 新课标 设函数 2 mx f xexmx 证明 f x在 0 单调递减 在 0 单调递增 若对于任意 1 x 2 x 1 1 都有 12 f xf x 1e 求m的取值范围 49 2015 山东 设函数 2 ln 1 f xxa xx 其中aR 讨论函数 f x极值点的个数 并说明理由 若0 x 0f x 成立 求a的取值范围 50 2015 湖南 已知0a 函数 sin 0 ax f xex x 记 n x为 f x的从小到大 的第n nN 个极值点 证明 1 数列 n f x是等比数列 2 若 2 1 1 a e 则对一切 nN nn xf x 恒成立 51 2014 新课标 已知函数 32 32f xxxax 曲线 yf x 在点 0 2 处 的切线与x轴交点的横坐标为 2 求a 证明 当1k 时 曲线 yf x 与直线2ykx 只有一个交点 52 2014 山东 设函数 ln 2 2 x x k x e xf x k为常数 2 71828e 是自然对数 的底数 当0k 时 求函数 f x的单调区间 若函数 f x在 0 2内存在两个极值点 求k的取值范围 53 2014 新课标 设函数 2 1 ln1 2 a f xaxxbx a 曲线 yf x 在点 1 1 f处的切线斜率为 0 求b 若存在 0 1 x 使得 0 1 a f x a 求a的取值范围 54 2014 山东 设函数 1 ln 1 x f xax x 其中a为常数 若0a 求曲线 yf x 在点 1 1 f处的切线方程 讨论函数 f x的单调性 55 2014 广东 已知函数 32 1 1 3 f xxxaxaR 求函数 f x的单调区间 当0a 时 试讨论是否存在 0 11 0 1 22 x 使得 0 1 2 f xf 56 2014 江苏 已知函数 xx xf ee 其中 e 是自然对数的底数 证明 xf是 R 上的偶函数 若关于x的不等式 xmf 1e m x 在 0 上恒成立 求实数m的取值范围 已知正数a满足 存在 1 0 x 使得 3 0 3 00 xxaxf 成立 试比较 1 e a 与 1e a的大小 并证明你的结论 57 2013 新课标 已知函数 2 4 x f xe axbxx 曲线 yf x 在点 0 0 f 处切线方程为44yx 求 a b的值 讨论 f x的单调性 并求 f x的极大值 58 2013 新课标 已知函数 2 x f xx e 求 f x的极小值和极大值 当曲线 yf x 的切线l的斜率为负数时 求l在x轴上截距的取值范围 59 2013 福建 已知函数 1 x a f xx e aR e为自然对数的底数 若曲线 yf x 在点 1 1 f处的切线平行于x轴 求a的值 求函数 f x的极值 当1a 的值时 若直线 1l ykx 与曲线 yf x 没有公共点 求k的最大 值 60 2013 天津 已知函数 2 lnf xxx 求函数 f x的单调区间 证明 对任意的0t 存在唯一的s 使 tf s 设 中所确定的s关于t的函数为 sg t 证明 当 2 te 时 有 2ln 1 5ln2 g t t 61 2013 江苏 设函数 lnf xxax x g xeax 其中a为实数 若 f x在 1 上是单调减函数 且 g x在 1 上有最小值 求a的取值 范围 若 g x在 1 上是单调增函数 试求 f x的零点个数 并证明你的结论 62 2012 新课标 设函数 2 x f xeax 求 f x的单调区间 若1a k为整数 且当0 x 时 10 xk fxx 求k的最大值 63 2012 安徽 设函数 1 0 x x f xaeb a ae 求 f x在 0 内的最小值 设曲线 yf x 在点 2 2 f的切线方程为 3 2 yx 求 a b的值 64 2012 山东 已知函数 ln x xk f x e k为常数 71828 2 e是自然对数的底数 曲线 yf x 在点 1 1 f处的切线与x轴平行 求k的值 求 f x的单调区间 设 2 g xxx fx 其中 fx 是 f x的导数 证明 对任意的0 x 2 1g xe 65 2011 新课标 已知函数 ln 1 axb f x xx 曲线 yf x 在点 1 1 f处的切线方程 为230 xy 求a b的值 证明 当0 x 且1x 时 ln 1 x f x x 66 2011 浙江 设函数axxxaxf 22 ln 0 a 求 xf的单调区间 求所有实数a 使 2 1 ef xe 对 1 ex 恒成立 注 e为自然对数的底 数 67 2011 福建 已知a b为常数 且0a 函数 lnf xaxbaxx 2f e e 2 71828 是自然对数的底数 求实数b的值 求函数 f x的单调区间 当1a 时 是否同时存在实数m和M mM 使得对每一个t m M 直线yt 与曲线 yf x x 1 e e 都有公共点 若存在 求出最小的实数 m和最大的实数M 若不存在 说明理由 68 2010 新课标 设函数 2 1 x f xx eax 若 1 2 a 求 f x的单调区间 若当0 x 时 0f x 求a的取值范围 专题三 导数及其应用 第八讲 导数的综合应用 答案部分 2019 年 1 解析解析 当1x 时 11 2210faa 恒成立 当1x 时 2 2 2202 1 x f xxaxaa x 厖恒成立 令 22 22 1112 11 1111 xxxxx g x xxxx 11 122120 11 xx xx 所以 max20ag x 即0a 当1x 时 ln0 ln x f xxaxa x 厔恒成立 令 ln x h x x 则 22 1 ln ln1 lnln xx x x h x xx 当ex 时 0h x h x递增 当1ex 时 0h x h x递减 所以当ex 时 h x取得最小值 eeh 所以 mineah x 综上 a的取值范围是 0 e 2 解析解析 1 2 622 3 fxxaxxxa 令 0fx 得 x 0 或 3 a x 若 a 0 则当 0 3 a x 时 0fx 当0 3 a x 时 0fx 故 f x 在 0 3 a 单调递增 在0 3 a 单调递减 若 a 0 f x在 单调递增 若 a 0 则当 0 3 a x 时 0fx 当 0 3 a x 时 0fx 故 f x 在 0 3 a 单调递增 在 0 3 a 单调递减 2 满足题设条件的 a b 存在 i 当 a 0 时 由 1 知 f x在 0 1 单调递增 所以 f x在区间 0 l 的最小值为 0 fb 最大值为 1 2fab 此时 a b 满足题设条件当且仅当1b 21ab 即 a 0 1b ii 当 a 3 时 由 1 知 f x在 0 1 单调递减 所以 f x在区间 0 1 的最大值为 0 fb 最小值为 1 2fab 此时 a b 满足题设条件当且仅当21ab b 1 即 a 4 b 1 iii 当 0 a 3 时 由 1 知 f x在 0 1 的最小值为 3 327 aa fb 最大值为 b 或2ab 若 3 1 27 a b b 1 则 3 3 2a 与 0 a 3 矛盾 若 3 1 27 a b 21ab 则3 3a 或3 3a 或 a 0 与 0 a 3 矛盾 综上 当且仅当 a 0 1b 或 a 4 b 1 时 f x在 0 1 的最小值为 1 最大值为 1 3 解析 当 3 4 a 时 3 ln1 0 4 f xxx x 31 12 2 11 42 141 xx f x xxxx 所以 函数 f x的单调递减区间为 0 3 单调递增区间为 3 由 1 1 2 f a 得 2 0 4 a 当 2 0 4 a 时 2 x f x a 等价于 2 2 1 2ln0 xx x aa 令 1 t a 则2 2t 设 2 212ln 2 2g ttxtxx t 则 2 2 84 2 12lng tgxxx i 当 1 7 x 时 1 12 2 x 则 2 2 84 2 12lng tgxxx 记 1 42 2 1ln 7 p xxxx x 则 2212121 11 xxxx p x xxxx x 故 x 1 7 1 1 7 1 1 p x 0 p x 1 7 p 单调递减 极小值 1 p 单调递增 所以 1 0p xp 因此 2 2 2 0g tgp x ii 当 2 1 1 e7 x 时 12ln 1 1 2 xxx g tg xx 令 2 1 1 2ln 1 e7 q xxxxx 则 ln2 10 x q x x 故 q x在 2 11 e7 上单调递增 所以 1 7 q xq 由 i 得 12 712 7 1 0 7777 qpp 所以 0q x 因此 1 10 2 q x g tg xx 由 i ii 得对任意 2 1 e x 2 2 0tg t 即对任意 2 1 e x 均有 2 x f x a 综上所述 所求a的取值范围是 2 0 4 4 解析 解析 1 设 g xf x 则 1 cos 1 g xx x 2 1 sin 1 x x g x 当1 2 x 时 g x单调递减 而 0 0 0 2 g g 可得 g x在1 2 有唯一零点 设为 则当 1 x 时 0g x 当 2 x 时 0g x 所以 g x在 1 单调递增 在 2 单调递减 故 g x在1 2 存在唯一极 大值点 即 f x在1 2 存在唯一极大值点 2 f x的定义域为 1 i 当 1 0 x 时 由 1 知 f x在 1 0 单调递增 而 0 0f 所以 当 1 0 x 时 0f x 故 f x在 1 0 单调递减 又 0 0f 从而0 x 是 f x在 1 0 的唯一零点 ii 当0 2 x 时 由 1 知 f x在 0 单调递增 在 2 单调递减 而 0 0f 0 2 f 所以存在 2 使得 0f 且当 0 x 时 0f x 当 2 x 时 0f x 故 f x在 0 单调递增 在 2 单调 递减 又 0 0f 1 ln 10 22 f 所以当0 2 x 时 0f x 从而 f x 在0 2 没有零点 iii 当 2 x 时 0f x 所以 f x在 2 单调递减 而0 2 f 0f 所以 f x在 2 有唯一零点 iv 当 x 时 ln 1 1x 所以 f x时 xfxf x 0 所以 h x在 0 上单调递减 根据对称性 h x在 0 上单调递增 又 1 0f 1 0f 数形结合可知 使得 0f x 成立的x的取值范围是 10 1 6 D 解析 由题意可知存在唯一的整数 0 x 使得 0 00 21 x exaxa 设 21 x g xex h xaxa 由 21 x g xex 可知 g x在 1 2 上单调递减 在 1 2 上单调递增 作出 g x与 h x的大致图象如图所示 x y g x ex 2x 1 h x ax a 3 2 112 1 1 2 3 O 故 0 0 1 1 hg hg 即 1 3 2 a a e 所以 3 1 2 a e x 函数2x单调递增 所有 12 2 2 xx 12 0 xx 则m 12 12 f xf x xx 12 12 22 xx xx 0 所以正确 2 设 1 x 2 x 则 12 0 xx 则 12 12 g xg x n xx 22 1212 12 xxa xx xx 1212 12 12 xxxxa xxa xx 可令 1 x 1 2 x 2 4a 则10n 所以错误 3 因为mn 由 2 得 21 21 xx xfxf 12 xxa 分母乘到右边 右边即为 12 g xg x 所以原等式即为 12 f xf x 12 g xg x 即为 12 f xg x 12 f xg x 令 h xf xg x 则原题意转化为对于任意的a 函数 h xf xg x 存在不相等的实数 1 x 2 x 使得函数值相等 2 2xh xxax 则 2 ln22 x h xxa 则 2 ln2 2 x h x 令 0 0h x 且 0 12x 可得 0 h x 为极小值 若10000a 则 0 0h x 即 0 0h x h x单调递增 不满足题意 所以错误 4 由 3 得 12 f xf x 12 g xg x 则 1122 f xg xg xf x 设 h xf xg x 有 1 x 2 x使其函数值相等 则 h x不恒为单调 2 2xh xxax 2 ln22 x h xxa 2 2ln220 x h x 恒成立 h x 单调递增且 0h 0h 所以 h x先减后增 满足题意 所以正 确 24 4 解析 当01x 时 lnf xx 0g x 此时方程 1f xg x 即为ln1x 或ln1x 故xe 或 1 x e 此时 1 x e 符合题意 方程有一个实根 当12x 时 lnf xx 22 422g xxx 方程 1f xg x 即为 2 ln21xx 或 2 ln21xx 即 2 ln10 xx 或 2 ln30 xx 令 2 ln1yxx 则 1 20yx x 函数 2 ln1yxx 在 1 2 x 上单调递减 且1x 时0y 所以当12x 时 方程 2 ln10 xx 无解 令 2 ln3yxx 则 1 20yx x 2x 时ln2 10y 所以当12x 函数 2 yln7xx 在 2 x 上单调递增 且2x 时 ln2 30y 所以当2x 时方程 2 ln70 xx 有 1 个实根 同理 2 ln50 xx 在 2 x 有 1 个实根 故方程1 xgxf实根的个数为 4 个 25 2 解析 由题意 2 363 2 fxxxx x 令 0fx 得0 x 或2x 因0 x 或2x 时 0fx 02x 时 0fx 2x 时 f x取得极小值 26 解析 1 f x的定义域为 0 2 22 11 1 axax fx xxx i 若2 a 则 0 fx 当且仅当2a 1x 时 0fx 所以 f x在 0 单调递减 ii 若2a 令 0fx 得 2 4 2 aa x 或 2 4 2 aa x 当 22 44 0 22 aaaa x U时 0fx 当 22 44 22 aaaa x 时 0fx 所以 f x在 2 4 0 2 aa 2 4 2 aa 单调递减 在 22 44 22 aaaa 单调递增 2 由 1 知 f x存在两个极值点当且仅当2a 由于 f x的两个极值点 1 x 2 x满足 2 10 xax 所以 12 1x x 不妨设 12 xx 则 2 1x 由于 1212122 12121212 2 2 lnlnlnln2ln1 122 1 f xf xxxxxx aaa xxx xxxxx x x 所以 12 12 2 f xf x a xx 等价于 22 2 1 2ln0 xx x 设函数 1 2lng xxx x 由 1 知 g x在 0 单调递减 又 1 0g 从而 当 1 x 时 0g x 所以 22 2 1 2ln0 xx x 即 12 12 2 f xf x a xx 27 解析 1 当1 a时 1 f x等价于 2 1 e10 x x 设函数 2 1 1 x g xxe 则 22 21 1 xx g xxxexe 当1 x时 0 g x 所以 g x在 0 单调递减 而 0 0 g 故当0 x时 0 g x 即 1 f x 2 设函数 2 1e x h xax f x在 0 只有一个零点当且仅当 h x在 0 只有一个零点 i 当0 a时 0 h x h x没有零点 ii 当 0a 时 2 e x h xax x 当 0 2 x时 0 h x 当 2 x时 0 h x 所以 h x在 0 2 单调递减 在 2 单调递增 故 2 4 2 1 e a h是 h x在 0 的最小值 若 2 0 h 即 2 e 4 a h x在 0 没有零点 若 2 0 h 即 2 e 4 a h x在 0 只有一个零点 若 2 0 h 即 2 e 4 a 由于 0 1 h 所以 h x在 0 2 有一个零点 由 1 知 当0 x时 2 e x x 所以 333 4224 1616161 4 11110 e e 2 aa aaa ha aa 故 h x在 2 4 a有一个零点 因此 h x在 0 有两个零点 综上 f x在 0 只有一个零点时 2 e 4 a 28 解析 1 当0a 时 2 ln 1 2f xxxx ln 1 1 x fxx x 设函数 ln 1 1 x g xfxx x 则 2 1 x g x x 当10 x 时 0g x 当0 x 时 0g x 故当1x 时 0 0g xg 且仅当0 x 时 0g x 从而 0fx 且 仅当0 x 时 0fx 所以 f x在 1 单调递增 又 0 0f 故当10 x 时 0f x 当0 x 时 0f x 2 i 若0a 由 1 知 当0 x 时 2 ln 1 20 0 f xxxxf 这与0 x 是 f x的极大值点矛盾 ii 若0a 设函数 22 2 ln 1 22 f xx h xx xaxxax 由于当 1 min 1 x a 时 2 20 xax 故 h x与 f x符号相同 又 0 0 0hf 故0 x 是 f x的极大值点当且仅当0 x 是 h x的极大值点 2222 2222 12 2 2 1 2 461 1 2 1 2 xaxxaxx a xaxa h x xxaxxaxx 如果610a 则当 61 0 4 a x a 且 1 min 1 x a 时 0h x 故0 x 不是 h x的极大值点 如果610a 则 22 4610a xaxa 存在根 1 0 x 故当 1 0 xx 且 1 min 1 x a 时 0h x 所以0 x 不是 h x的极大值 点 如果610a 则 3 22 24 1 612 xx h x xxx 则当 1 0 x 时 0h x 当 0 1 x 时 0h x 所以0 x 是 h x的极大值点 从而0 x 是 f x的极大 值点 综上 1 6 a 29 解析 1 因为 2 41 43 x f xaxaxae 所以 2 2 41 41 43 xx fxaxaeaxaxae x R 2 21 2 x axaxe 1 1 fa e 由题设知 1 0 f 即 1 0a e 解得1a 此时 1 30fe 所以a的值为 1 2 由 1 得 2 21 2 1 2 xx fxaxaxeaxxe 若 1 2 a 则当 1 2 x a 时 0fx 当 2 x 时 0fx 所以 0f x 在2x 处取得极小值 若 1 2 a 则当 0 2 x 时 20 x 1 110 2 axx 所以 0fx 所以 2 不是 f x的极小值点 综上可知 a的取值范围是 1 2 30 解析 1 由已知 ln x h xaxa 有 lnln x h xaaa 令 0h x 解得0 x 由1a 可知当x变化时 h x h x的变化情况如下表 x 0 0 0 h x 0 h x 极小值 所以函数 h x的单调递减区间 0 单调递增区间为 0 2 证明 证明 由 ln x fxaa 可得曲线 yf x 在点 11 xf x处的切线斜率为 1ln x aa 由 1 ln g x xa 可得曲线 yg x 在点 22 x g x处的切线斜率为 2 1 lnxa 因为这两条切线平行 故有 1 2 1 ln ln x aa xa 即 1 2 2 ln 1 x x aa 两边取以 a 为底的对数 得 21 log2log ln0 aa xxa 所以 12 2lnln ln a xg x a 3 证明 证明 曲线 yf x 在点 1 1 x x a处的切线 1 l 11 1 ln xx yaaaxx 曲线 yg x 在点 22 log a xx处的切线 2 l 22 2 1 log ln a yxxx xa 要证明当 1 e ea 时 存在直线l 使l是曲线 yf x 的切线 也是曲线 yg x 的 切线 只需证明当 1 e ea 时 存在 1 x 2 0 x 使得 l1和 l2重合 即只需证明当 1 e ea 时 方程组 1 11 2 12 1 ln ln 1 lnlog ln x xx a aa xa ax aax a 有解 由 得 1 2 2 1 ln x x aa 代入 得 11 11 12lnln ln0 lnln xx a ax aax aa 因此 只需证明当 1 e ea 时 关于 1 x的方程 有实数解 设函数 12lnln ln lnln xx a u xaxaax aa 即要证明当 1 e ea 时 函数 yu x 存在零点 2 1 ln x u xaxa 可知 0 x 时 0u x 0 x 时 u x 单调递 减 又 0 10 u 2 1 ln 2 1 10 ln a ua a 故存在唯一的 0 x 且 0 0 x 使得 0 0u x 即 0 2 0 1 ln 0 x ax a 由此可得 u x在 0 x 上单调递增 在 0 x 上单调递减 u x在 0 xx 处取得极大值 0 u x 因为 1 e ea 故ln ln 1a 所以 00 000 12lnln ln lnln xx a u xax aax aa 0 2 0 12lnln22lnln 0 ln lnln aa x xaaa 下面证明存在实数t 使得 0u t 由 1 可得1ln x axa 当 1 ln x a 时 有 12lnln 1ln 1ln lnln a u xxaxax aa 22 12lnln ln 1 lnln a axx aa 所以存在实数t 使得 0u t 因此 当 1 e ea 时 存在 1 x 使得 1 0u x 所以 当 1 e ea 时 存在直线l 使l是曲线 yf x 的切线 也是曲线 yg x 的 切线 31 解析 1 函数 f xx 2 22g xxx 则 1fx 22g xx 由 f xg x 且 fxg x 得 2 22 122 xxx x 此方程组无解 因此 f x与 g x不存在 S点 2 函数 2 1f xax lng xx 则 1 2 fxaxg x x 设 0 x为 f x与 g x的 S点 由 00 f xg x 且 00 fxg x 得 2 00 0 0 1ln 1 2 axx ax x 即 2 00 2 0 1ln 21 axx ax 得 0 1 ln 2 x 即 1 2 0 ex 则 1 2 2 1e 2 2 e a 当 e 2 a 时 1 2 0 ex 满足方程组 即 0 x为 f x与 g x的 S点 因此 a的值为 e 2 3 对任意0a 设 32 3h xxxaxa 因为 0 0 1 1 320hahaa 且 h x的图象是不间断的 所以存在 0 0 1 x 使得 0 0h x 令 0 3 0 0 2 e 1 x x b x 则0b 函数 2 e x b f xxag x x 则 2 e 1 2 x bx fxxg x x 由 f xg x 且 fxg x 得 2 2 e e 1 2 x x b xa x bx x x 即 0 0 3 2 0 0 3 0 2 0 2e e 1 2e 1 2 e 1 x x x x x xa xx xx x xx 此时 0 x满足方程组 即 0 x是函数 f x与 g x在区间 0 1 内的一个 S点 因此 对任意0a 存在0b 使函数 f x与 g x在区间 0 内存在 S点 32 解析 1 函数 f x的导函数 11 2 fx xx 由 12 fxfx 得 12 12 1111 22xxxx 因为 12 xx 所以 12 111 2xx 由基本不等式得 4 121212 1 2 2 x xxxx x 因为 12 xx 所以 12 256x x 由题意得 1211221212 1 lnlnln 2 f xf xxxxxx xx x 设 1 ln 2 g xxx 则 1 4 4 g xx x 所以 x 0 16 16 16 g x 0 g x 24ln2 所以 g x在 256 上单调递增 故 12 256 8 8ln2g x xg 即 12 8 8ln2f xf x 2 令 ak me 2 1 1 a n k 则 0f mkmaakka 1 1 0 aa f nknanknk nnn 所以 存在 0 xm n 使 00 f xkxa 所以 对于任意的a R及 0 k 直线ykxa 与曲线 yf x 有公共点 由 f xkxa 得 lnxxa k x 设 ln xxa h x x 则 22 ln1 1 2 x xa g xa h x xx 其中 ln 2 x g xx 由 1 可知 16 g xg 又3 4ln2a 故 1 16 134ln2g xagaa 所以 0h x 即函数 h x在 0 上单调递减 因此方程 0f xkxa 至多 1 个实根 综上 当34ln2a 时 对于任意0k 直线ykxa 与曲线 yf x 有唯一 公共点 33 解析 1 f x的定义域为 2 2 2 1 1 21 xxxx fxaeaeaee 若0a 则 0fx 所以 f x在 单调递减 若0a 则由 0fx 得lnxa 当 ln xa 时 0fx 当 ln xa 时 0fx 所以 f x在 ln a 单调递减 在 ln a 单调递增 2 若0a 由 1 知 f x至多有一个零点 若0a 由 1 知 当lnxa 时 f x取得最小值 最小值为 1 ln 1lnfaa a 当1a 时 由于 ln 0fa 故 f x只有一个零点 当 1 a 时 由于 1 1ln0a a 即 ln 0fa 故 f x没有零点 当 0 1 a 时 1 1ln0a a 即 ln 0fa 又 422 2 e 2 e22e20faa 故 f x在 ln a 有一个零点 设正整数 0 n满足 0 3 ln 1 n a 则 0000 0000 e e2 e20 nnnn f naannn 由于 3 ln 1 lna a 因此 f x在 ln a 有一个零点 综上 a的取值范围为 0 1 34 解析 1 f x的定义域为 0 设 lng xaxax 则 f xxg x 0f x 等价于 0g x 因为 1 0g 0g x 故 1 0 g 而 1 g xa x 1 1ga 得1a 若1a 则 1 1g x x 当01x 时 0g x g x单调递减 当1x 时 0g x g x单调递增 所以1x 是 g x的极小值点 故 1 0g xg 综上 1a 2 由 1 知 2 lnf xxxxx 22lnfxxx 设 22lnh xxx 则 1 2h x x 当 1 0 2 x 时 0h x 当 1 2 x 时 0h x 所以 h x在 1 0 2 单调递 减 在 1 2 单调递增 又 2 0h e 1 0 2 h 1 0h 所以 h x在 1 0 2 有唯一零点 0 x 在 1 2 有 唯一零点 1 且当 0 0 xx 时 0h x 当 0 1 xx 时 0h x 当 1 x 时 0h x 因此 fxh x 所以 0 xx 是 f x的唯一极大值点 由 0 0fx 得 00 ln2 1 xx 故 000 1 f xxx 由 0 0 1 x 得 0 1 4 f x 因为 0 xx 是 f x在 0 1 的最大值点 由 1 0 1 e 1 0f e 得 12 0 f xf ee 所以 22 0 2ef x 35 解析 1 f x的定义域为 0 若a0 因为 11 ln20 22 fa 所以不满足题意 若 0a 由 1 axa f x xx 知 当 0 x a 时 0f x 当 xa 时 0f x 所以 f x在 0 a单调递减 在 a 单调递增 故xa 是 f x在 0 的唯一最小值点 由于 10f 所以当且仅当 a 1 时 0f x 故 a 1 2 由 1 知当 1 x 时 1 ln0 xx 令 1 1 2n x 得 11 ln 1 22 nn 从而 22 1111111 ln 1 ln 1 ln 1 11 2222222 nnn 故 2 111 1 1 1 222n e 而 23 111 1 1 1 2 222 所以 m 的最小值为 3 36 解析 因为 1 21 1 21 xx x xx ee 所以 1 1 21 21 xx fxexxe x 1 212 21 x xxe x 1 2 x 由 1 212 0 21 x xxe fx x 解得 1x 或 5 2 x 因为 x 1 2 1 2 1 1 1