江苏省无锡市天一中学2016-2017学年高一(上)期末数学试卷(解析版)

第 1 页 共 20 页 2016 2017 学年江苏省无锡市天一中学高一 上 期末数学试卷学年江苏省无锡市天一中学高一 上 期末数学试卷 一 填空题 本大题共一 填空题 本大题共 14 小题 每小题小题 每小题 5 分 共分 共 70 分 请把答案直接填写在分 请把答案直接填写在 答题纸相应位置上 答题纸相应位置上 1 已知集合 A 0 1 2 3 4 5 B 1 0 1 6 且 A B 2 函数的定义域是 3 cos24 cos36 cos66 cos54 的值等于 4 已知向量 满足 它们的夹角为 60 那么 5 若幂函数 f x 的图象过点 则 f x 6 函数 f x 1 2sin2x 的最小正周期为 7 方程 lgx x 2 的根 x0 k k 1 其中 k Z 则 k 8 设定义域为 R 的偶函数 f x 满足 对任意的 x1 x2 0 x1 x2 f x1 f x2 0 则 f f 3 14 填 或 9 将函数 y sinx 的图象上每个点的横坐标变为原来的 倍 纵坐标不变 再 将得到的图象向左平移个单位长度 所得图象的函数解析式为 10 函数 f x Asin x A 0 0 0 2 的图象如图所示 则 11 如图 在 ABC 中 BAC 120 AB 2 AC 1 D 是边 BC 上一点 第 2 页 共 20 页 DC 2BD 则 12 已知角 的顶点在坐标原点 始边与 x 轴的正半轴重合 0 角 的终边与单位圆交点的横坐标是 角 的终边与单 位圆交点的纵坐标是 则 cos 13 若奇函数 f x 在其定义域 R 上是减函数 且对任意的 x R 不等式 f cos2x sinx f sinx a 0 恒成立 则 a 的最大值是 14 已知 ABC 的边长为 2 的等边三角形 动点 P 满足 则的取值范围是 二 解答题 本大题共二 解答题 本大题共 6 小题 共小题 共 90 分 解答应写出文字说明 证明过程或演分 解答应写出文字说明 证明过程或演 算步骤 算步骤 15 已知 1 求 tan 的值 2 求的值 16 已知向量 向量 向量 满足 1 若 且 求的值 2 若与共线 求实数 k 的值 17 已知函数 1 求函数 f x 的单调增区间 2 若 求 cos2 的值 18 某仓库为了保持库内的湿度和温度 四周墙上均装有如图所示的自动通风 设施 该设施的下部 ABCD 是矩形 其中 AB 2 米 BC 0 5 米 上部 CmD 是个 半圆 固定点 E 为 CD 的中点 EMN 是由电脑控制其形状变化的三角通风窗 阴影部分均不通风 MN 是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和 AB 平行 第 3 页 共 20 页 的伸缩横杆 MN 和 AB DC 不重合 1 当 MN 和 AB 之间的距离为 1 米时 求此时三角通风窗 EMN 的通风面积 2 设 MN 与 AB 之间的距离为 x 米 试将三角通风窗 EMN 的通风面积 S 平 方米 表示成关于 x 的函数 S f x 3 当 MN 与 AB 之间的距离为多少米时 三角通风窗 EMN 的通风面积最大 并求出这个最大面积 19 在平面直角坐标系中 O 为坐标原点 已知向量 1 2 又点 A 8 0 B n t C ksin t R 1 若 且 求向量 2 若向量与向量 共线 常数 k 0 求 f tsin 的值域 20 对于函数 f1 x f2 x h x 如果存在实数 a b 使得 h x a f1 x b f2 x 那么称 h x 为 f1 x f2 x 的生成函数 1 给出函数 h x 是否为 f1 x f2 x 的生成函数 并说明理由 2 设 生成函数 h x 若 不等式 3h2 x 2h x t 0 在 x 2 4 上恒成立 求实数 t 的取值范围 3 设 取 a 0 b 0 生成函 数 h x 图象的最低点坐标为 2 8 若对于任意正实数 x1 x2且 x1 x2 1 试问是否存在最大的常数 m 使 h x1 h x2 m 恒成立 如果存 在 求出这个 m 的值 如果不存在 请说明理由 第 4 页 共 20 页 2016 2017 学年江苏省无锡市天一中学高一 上 期末学年江苏省无锡市天一中学高一 上 期末 数学试卷数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一 填空题 本大题共一 填空题 本大题共 14 小题 每小题小题 每小题 5 分 共分 共 70 分 请把答案直接填写在分 请把答案直接填写在 答题纸相应位置上 答题纸相应位置上 1 已知集合 A 0 1 2 3 4 5 B 1 0 1 6 且 A B 0 1 考点 交集及其运算 分析 利用交集定义直接求解 解答 解 集合 A 0 1 2 3 4 5 B 1 0 1 6 A B 0 1 故答案为 0 1 2 函数的定义域是 1 0 0 考点 函数的定义域及其求法 分析 由对数式的真数大于 0 分式的分母不为 0 联立不等式组求解 解答 解 要使原函数有意义 则 得 x 1 且 x 0 函数的定义域是 1 0 0 故答案为 1 0 0 3 cos24 cos36 cos66 cos54 的值等于 第 5 页 共 20 页 考点 两角和与差的余弦函数 分析 利用互余两角的诱导公式 算出 cos66 sin24 cos54 sin36 将此 代入题中式子并利用两角和的余弦公式加以计算 可得所要求的值 解答 解 24 66 90 cos66 sin24 同理可得 cos54 sin36 由此可得 cos24 cos36 cos66 cos54 cos24 cos36 sin24 sin36 cos 24 36 cos60 故答案为 4 已知向量 满足 它们的夹角为 60 那么 考点 平面向量数量积的运算 分析 根据平面向量的数量积与模长公式 计算即可 解答 解 向量 满足 它们的夹角为 60 2 12 2 1 2 cos60 22 7 故答案为 5 若幂函数 f x 的图象过点 则 f x x 2 考点 幂函数的概念 解析式 定义域 值域 分析 设出幂函数的解析式 然后把点的坐标代入求出幂指数即可 解答 解 设幂函数为 y x 因为图象过点 则 所以 2 所以 f x x 2 第 6 页 共 20 页 故答案为 x 2 6 函数 f x 1 2sin2x 的最小正周期为 考点 三角函数的周期性及其求法 二倍角的余弦 分析 先利用二倍角公式对函数解析式进行化简整理 进而利用三角函数最 小正周期的公式求得函数的最小正周期 解答 解 f x 1 2sin2x cos2x 函数最小正周期 T 故答案为 7 方程 lgx x 2 的根 x0 k k 1 其中 k Z 则 k 1 考点 对数函数的图象与性质 分析 设 f x lgx x 2 求出函数 f x 的定义域 并判断出函数的单调性 验证 f 1 0 和 f 2 0 可确定函数 f x 在 0 上有一个零点 再转化为方程 lgx x 2 的一个根 x0 1 2 即可求出 k 的值 解答 解 由题意设 f x lgx x 2 则函数 f x 的定义域是 0 所以函数 f x 在 0 是单调增函数 因为 f 1 0 1 2 1 0 f 2 lg2 2 2 lg2 0 所以函数 f x 在 0 上有一个零点 即方程 lgx x 2 的一个根 x0 1 2 因为 x0 k k 1 k Z 所以 k 1 故答案为 1 8 设定义域为 R 的偶函数 f x 满足 对任意的 x1 x2 0 x1 x2 f x1 f x2 0 则 f f 3 14 填 或 考点 抽象函数及其应用 第 7 页 共 20 页 分析 根据已知分析出函数的单调性 结合函数 f x 是定义域为 R 的偶函 数 可得答案 解答 解 函数 f x 满足 对任意的 x1 x2 0 x1 x2 f x1 f x2 0 函数 f x 在 0 上为增函数 又由函数 f x 是定义域为 R 的偶函数 故 f f f 3 14 故答案为 9 将函数 y sinx 的图象上每个点的横坐标变为原来的 倍 纵坐标不变 再 将得到的图象向左平移个单位长度 所得图象的函数解析式为 y sin 2x 考点 函数 y Asin x 的图象变换 分析 利用函数 y Asin x 的图象变换规律 得出结论 解答 解 将函数 y sinx 的图象上每个点的横坐标变为原来的 倍 纵坐标 不变 可得 y sin2x 的图象 再将得到的图象向左平移个单位长度 可得 y sin2 x sin 2x 的图象 故答案为 y sin 2x 10 函数 f x Asin x A 0 0 0 2 的图象如图所示 则 第 8 页 共 20 页 考点 由 y Asin x 的部分图象确定其解析式 分析 通过函数的图象求出 A T 然后求出 通过函数经过 3 0 求出 的值 解答 解 由题意可知 A 3 T 8 所以 因为函数经过 3 0 所以 3sin 0 2 所以 故答案为 11 如图 在 ABC 中 BAC 120 AB 2 AC 1 D 是边 BC 上一点 DC 2BD 则 考点 平面向量数量积的运算 分析 法一 选定基向量 将两向量 用基向量表示出来 再进 行数量积运算 求出的值 法二 由余弦定理得可得分别求得 又夹角大小为 ADB 所以 解答 解 法一 选定基向量 由图及题意得 第 9 页 共 20 页 法二 由题意可得 BC2 AB2 AC2 2AB ACcosA 4 1 2 7 BC cosB AD 故答案为 12 已知角 的顶点在坐标原点 始边与 x 轴的正半轴重合 0 角 的终边与单位圆交点的横坐标是 角 的终边与单 位圆交点的纵坐标是 则 cos 考点 任意角的三角函数的定义 分析 根据角的范围及同角三角函数的基本关系求出 sin 根据 的范围 及 cos 的值求出 sin 的值 利用两角差的余弦公式计算 cos cos 的值 解答 解 由题意得 0 cos sin 故 第 10 页 共 20 页 sin cos cos cos cos cos sin sin 故答案为 13 若奇函数 f x 在其定义域 R 上是减函数 且对任意的 x R 不等式 f cos2x sinx f sinx a 0 恒成立 则 a 的最大值是 3 考点 二倍角的余弦 奇偶性与单调性的综合 复合三角函数的单调性 分析 根据函数是奇函数且在 R 上是减函数 将原不等式变形为 cos2x 2sinx a 恒成立 结合二倍角的三角函数公式和二次函数在闭区间上求最 值的方法 即可得到 a 的最大值 解答 解 不等式 f cos2x sinx f sinx a 0 恒成立 即 f cos2x sinx f sinx a 恒成立 又 f x 是奇函数 f sinx a f sinx a 不等式 f cos2x sinx f sinx a 在 R 上恒成立 函数 f x 在其定义域 R 上是减函数 cos2x sinx sinx a 即 cos2x 2sinx a cos2x 1 2sin2x cos2x 2sinx 2sin2x 2sinx 1 当 sinx 1 时 cos2x 2sinx 有最小值 3 因此 a 3 a 的最大值是 3 故答案为 3 14 已知 ABC 的边长为 2 的等边三角形 动点 P 满足 第 11 页 共 20 页 则的取值范围是 0 考点 平面向量数量积的运算 分析 根据题意 画出图形 结合图形化简 得出 cos2 O 为 BC 的中点 P 在线段 OA 上 再设 t t 0 计算 的最大 最小值即可 解答 解 如图所示 ABC 中 设 BC 的中点为 O 则 2 sin2 cos2 sin2 cos2 1 cos2 cos2 cos2 即 cos2 可得 cos2 又 cos2 0 1 P 在线段 OA 上 由于 BC 边上的中线 OA 2 sin60 因此 2 设 t t 0 可得 2t t 2t2 2t 2 t 2 当 t 时 取得最小值为 当 t 0 或时 取得最大值为 0 的取值范围是 0 第 12 页 共 20 页 故答案为 0 二 解答题 本大题共二 解答题 本大题共 6 小题 共小题 共 90 分 解答应写出文字说明 证明过程或演分 解答应写出文字说明 证明过程或演 算步骤 算步骤 15 已知 1 求 tan 的值 2 求的值 考点 同角三角函数基本关系的运用 分析 1 根据角的范围 利用二倍角的正切公式 求得 tan 的值 2 利用二倍角的余弦公式 同角三角函数的基本关系 求得 tan 的值 解答 解 1 2 tan 2 2 16 已知向量 向量 向量 满足 1 若 且 求的值 2 若与共线 求实数 k 的值 考点 平面向量数量积的运算 分析 1 由已知求得及 再由且列式求得 k 值 进 一步得到 的坐标 代入向量模的公式求的值 2 由已知可得 则 由与共线可得 由此求得 k 值 解答 解 1 第 13 页 共 20 页 又 而 且 得 k 则 2 由 得 与共线 解得 k 1 17 已知函数 1 求函数 f x 的单调增区间 2 若 求 cos2 的值 考点 三角函数中的恒等变换应用 正弦函数的图象 分析 1 化简函数 f x 为正弦型函数 根据正弦函数的单调性写出它的 单调增区间 2 根据 f x 的解析式 结合 的取值范围 利用三角函数关系即可求出 cos2 的值 解答 解 1 函数 sin2x 2 sin2x cos2x sin 2x 令 2k 2x 2k k Z 第 14 页 共 20 页 解得 k x k k Z 函数 f x 的单调增区间为 k k k Z 2 f sin 2 2 sin 2 又 2 2 2 cos2 18 某仓库为了保持库内的湿度和温度 四周墙上均装有如图所示的自动通风 设施 该设施的下部 ABCD 是矩形 其中 AB 2 米 BC 0 5 米 上部 CmD 是个 半圆 固定点 E 为 CD 的中点 EMN 是由电脑控制其形状变化的三角通风窗 阴影部分均不通风 MN 是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和 AB 平行 的伸缩横杆 MN 和 AB DC 不重合 1 当 MN 和 AB 之间的距离为 1 米时 求此时三角通风窗 EMN 的通风面积 2 设 MN 与 AB 之间的距离为 x 米 试将三角通风窗 EMN 的通风面积 S 平 方米 表示成关于 x 的函数 S f x 3 当 MN 与 AB 之间的距离为多少米时 三角通风窗 EMN 的通风面积最大 并求出这个最大面积 第 15 页 共 20 页 考点 解三角形的实际应用 函数的值域 二次函数的性质 分析 1 当 MN 和 AB 之间的距离为 1 米时 MN 应位于 DC 上方 且此时 EMN 中 MN 边上的高为 0 5 米 从而可求 MN 的长 由三角形面积公式求面 积 2 当 MN 在矩形区域内滑动 即时 由三角形面积公式建立面积 模型 当 MN 在半圆形区域内滑动 即时 由三角形面积公式建立 面积模型 3 根据分段函数 分别求得每段上的最大值 最后取它们当中最大的 即为 原函数的最大值 并明确取值的状态 从而得到实际问题的建设方案 解答 解 1 由题意 当 MN 和 AB 之间的距离为 1 米时 MN 应位于 DC 上方 且此时 EMN 中 MN 边上的高为 0 5 米 又因为 EM EN 1 米 所以 MN 米 所以 即三角通风窗 EMN 的通风面积为 2 当 MN 在矩形区域内滑动 即时 EMN 的面积 当 MN 在半圆形区域内滑动 即时 EMN 的面积 综上可得 3 当 MN 在矩形区域内滑动时 f x 在区间上单调递减 则 f x f 0 当 MN 在半圆形区域内滑动 等号成立时 第 16 页 共 20 页 因此当 米 时 每个三角形得到最大通风面积为 平方米 19 在平面直角坐标系中 O 为坐标原点 已知向量 1 2 又点 A 8 0 B n t C ksin t R 1 若 且 求向量 2 若向量与向量 共线 常数 k 0 求 f tsin 的值域 考点 平面向量的坐标运算 分析 1 n 8 t 由 且 可得 n 8 2t 0 8 联立解出即可得出 2 ksin 8 t 由向量与向量 共线 常数 k 0 可得 t 2ksin 16 f tsin 2ksin2 16sin 2k 对 k 分类讨论 利用三角函数的值域 二次函数的单调性即可得出 解答 解 1 n 8 t 且 n 8 2t 0 8 解得 t 8 t 8 时 n 24 t 8 时 n 8 向量 24 8 8 8 2 ksin 8 t 2 向量与向量 共线 常数 k 0 t 2ksin 16 f tsin 2ksin2 16sin 2k k 4 时 sin 时 f tsin 取得最大值 sin 1 时 f tsin 取得最小值 2k 16 此时函数 f 的值域为 第 17 页 共 20 页 4 k 0 时 1 sin 1 时 f tsin 取得最大值 2k 16 sin 1 时 f tsin 取得最小值 2k 16 此时函数 f 的值域为 2k 16 2k 16 20 对于函数 f1 x f2 x h x 如果存在实数 a b 使得 h x a f1 x b f2 x 那么称 h x 为 f1 x f2 x 的生成函数 1 给出函数 h x 是否为 f1 x f2 x 的生成函数 并说明理由 2 设 生成函数 h x 若 不等式 3h2 x 2h x t