求三角函数值域及最值的常用方法+练习题

求三角函数值域及最值的常用方法求三角函数值域及最值的常用方法 1 一次函数型一次函数型 或利用 xbxaycossin sin 22 xba 化为一个角的同名三角函数形式 利用三角函数的有界性或单调性求解 2 2sin 3 5 12 yx xxycossin 3 函数xxycos3sin 在区间 0 2 上的最小值为 1 4 函数tan 2 yx 44 x 且0 x 的值域是 1 1 2 二次函数型二次函数型 利用二倍角公式 化为一个角的同名三角函数形式的一元二次式一元二次式 利用配方法 换元 及图像法求解 2 函数 2cos 2 1 cos Rxxxxf 的最大值等于 4 3 3 当 2 0 x时 函数 x xx xf 2sin sin82cos1 2 的最小值为 4 4 已知k 4 则函数y cos2x k cosx 1 的最小值是 1 5 若2 则cos6siny 的最大值与最小值之和为 2 3 借助直线的斜率的关系借助直线的斜率的关系 用数形结合求解用数形结合求解 型如型如型 此类型最值问题可考虑如下几种解法 dxc bxa xf cos sin 转化为再利用辅助角公式求其最值 cxbxa cossin 利用万能公式求解 采用数形结合法 转化为斜率问题 求最值 例例 1 1 求函数的值域 sin cos2 x y x 解法解法 1 1 数形结合法 求原函数的值域等价于求单位圆上的点 P cosx sinx 与定点 Q 2 0 所确定的直线的斜率的范围 作出如图得图象 当 过 Q 点的直线与单位圆相切时得斜率便是函数 得最值 由几何知识 易求得过 Q 的两切线得 sin cos2 x y x 斜率分别为 结合图形可知 此函数的值域是 3 3 3 3 33 33 解法解法 2 2 将函数变形为 sin cos2 x y x cossin2yxxy 由 解得 2 2 sin 1 y x y 2 2 sin 1 1 y x y 22 2 1yy 故值域是 33 33 y 33 33 解法解法 3 3 利用万能公式求解 由万能公式 代入 2 1 2 sin t t x 2 2 1 cos 1 t x t 得到则有知 当 则 满足条 sin cos2 x y x 2 2 13 t y t 2 320ytty 0t 0y 件 当 由 故所求函数的值域是0t 2 4 120y 33 33 y 33 33 解法解法 4 4 利用重要不等式求解 由万能公式 代入 2 1 2 sin t t x 2 2 1 cos 1 t x t 得到当时 则 满足条件 当时 sin cos2 x y x 2 2 13 t y t 0t 0y 0t x Q P y O 如果t 0 则 22 11 3 3 y tt tt 2223 11 32 3 3 3 y tt tt 此时即有 如果t 0 则 此时有 3 0 3 y 223 1 31 3 2 3 y t t t t 综上 此函数的值域是 3 0 3 y 33 33 例例 2 2 求函数 2cos 0 sin x yx x 的最小值 解法解法 1 1 利用三角函数的有界性求解 原式可化为sincos2 0 yxxx 得 2 1sin 2yx 即 2 2 sin 1 x y 故 2 2 1 1y 解得3y 或3y 舍 所以y的最小值为3 解法解法 2 2 从结构出发利用斜率公式 结合图像求解 2cos 0 sin x yx x 表示的是点 0 2 A与 sin cos Bxx 连线的斜率 其中点 B 在左半圆 22 1 0 aba 上 由图像知 当 AB 与半圆相切时 y最小 此时3 AB k 所以y的最小值为3 4 换元法换元法 代数换元法代换 xxxxycossincossin 令 再用配方 t t ytxx 2 1 cossin 2 则 例题 求函数sincossincosyxxxx 的最大值 解 设sincosxxt 22 t 则 2 1 sincos 2 t xx 则 2 11 22 ytt 当2t 时 y有最大值为 1 2 2 5 降幂法降幂法 型如型如型 此类型可利用倍角公式 降幂公式进 0 cossinsin 2 acxxbxay 行降次 整理为再利用辅助角公式求出最值 sin2cos2yAxBx 型 例例 1 1 求函数的最值 并 24 7 4 cossin4sin3cos35 22 xxxxxxf 求取得最值时x的值 分析 先化简函数 化成一个角的一种函数再由正弦 余弦函数的有界性 同时应注 意角度的限定范围 解 由降幂公式和倍角公式 得 x xx xf2sin2 2 2cos1 3 2 2cos1 35 332sin23cos32 xx 33 6 2cos 4 x 24 7 4 x 4 3 6 2 3 2 x 2 1 6 2cos 2 2 x 的最小值为 此时 无最大值 f x2233 24 7 x f x 例例 2 2 已知函数 2 2sin3cos2 4 f xxx 4 2 x I 求 f x的最大值和最小值 II 若不等式 2f xm 在 4 2 x 上恒成立 求实数m的取值范围 分析 观察角 单角二次型 降次整理为sincosaxbx 形式 解 1 cos23cos21 sin23cos2 2 f xxxxx 12sin 2 3 x 又 4 2 x 2 2 633 x 即 212sin 23 3 x maxmin 3 2f xf x 2 2 2f xmf xmf x 4 2 x max 2mf x 且 min 2mf x 14m 即m的取值范围是 14 典型应用题典型应用题 例题例题 扇形AOB的半径为 1 中心角为60 PQRS是扇形的内接矩形 问P在怎 样的位置时 矩形PQRS的面积最大 并求出最大值 分析 引入变量AOPx 建立目标函数 解 连接OP 设AOPx 则sinPSx cosOSx 3 cossin 3 RSxx 333 cossin sinsin 2 3366 Sxxxx 0 3 x 所以当 6 x 时 P在圆弧中心位置 max 3 6 S 点评点评 合理引进参数 利用已知条件 结合图形建立面积与参数之间的函数关系式 这 是解题的关键 A B O R S P Q 6 条件最值问题 不要忘了条件自身的约束 条件最值问题 不要忘了条件自身的约束 例例 1 1 已知 1 sinsin 3 xy 求 2 sincosyx 的最大值与最小值 分析 分析 可化为二次函数求最值问题 解 解 1 由已知得 1 sinsin 3 yx sin 1 1 y 则 2 sin 1 3 x 22 111 sincos sin 212 yxx 当 1 sin 2 x 时 2 sincosyx 有最小值 11 12 当 2 sin 3 x 时 2 sincosyx 有最小值 4 9 例例 2 2 已知 求的取值范围 sin2sin2sin3 22 22 sinsin y 分析 用函数的思想分析问题 这是已知关于 sin sin 的二元条件等式求二元二 次函数的值域问题 应消元 把二元变一元 注意自变量的范围 解 解 sin2sin2sin3 22 sinsin 2 3 sin 22 1sin0 2 3 2 sin0 1sinsin 2 3 0sinsin 2 3 2 2 解得 2 1 1 sin 2 1 sinsin 2 1 sinsin 2222 y 3 2 sin0 sin 0时 时 0 min y 3 2 sin 9 4 max y 9 4 sinsin0 22 例例 3 3 求函数的最大值和最小值 并指出当x分别为何值时取到最大值和xxy 1 最小值 解 解 定义域为 0 x 1 可设且xx 2 cos 2 0 22 sincos11 x 2 0 4 sin 2cossinsincos 22 y 即 2 0 4 3 44 1 4 sin 2 2 21 y 当或 即 0 或 此时 x 1 或 x 0 y 1 44 4 3 4 2 当 即时 此时 2 4 2 1 x2 y 当x 0 或x 1 时 y 有最小值 1 当时 y 有最大值 2 1 x2 评析 评析 利用三角换元法求解此类问题时 要注意所设角的取值范围 要同原函数定义域 相一致 尽量恰到好处 反馈演练反馈演练 1 函数 6 cos 3 sin 2Rxxxy 的最小值等于 1 2 已知函数 3sinf xx 3 sin 2 g xx 直线mx 和它们分别交于M N 则 max MN 3 当0 4 x 时 函数 2 2 cos cos sinsin x f x xxx 的最小值是 4 4 函数 sin cos2 x y x 的最大值为 最小值为 5 函数costanyxx 的值域为 6 已知函数 11 sincos sincos 22 f xxxxx 则 f x的值域是 7 已知函数 2sin 0 f xx 在区间 3 4 上的最小值是2 则 的最小值等 于 3 2 1 2 3 3 3 3 1 1 22 22 10 8 1 已知 0 函数 2 3sin 1 3sin y 的最大值是 2 已知 0 x 函数 2 sin sin yx x 的最小值是 3 9 在 OAB中 O为坐标原点 2 0 1 sin cos 1 BA 则当 OAB的面积达最 大值时 10 已知函数 2cos sincos 1f xxxxx R 求函数 f x的最小正周期 求函数 f x在区间 3 84 上的最小值和最大值 解 2cos sincos 1sin2cos22sin 2 4 f xxxxxxx 因此 函数 f x的最小正周期为 因为 2sin 2 4 f xx 在区间 3 88 上为增函数 在区间 3 3 84 上为减 函数 又 0 8 f 3 2 8 f 3 3 2sin2cos1 4244 f 故函数 f x在区间 3 84 上的最大值为2 最小值为1 解法二 作函数在长度为一个周期的区间上的图象如下 2sin 2 4 f xx 9 84 2 由图象得函数在区 f x 间上 3 84 的最大值为 最小值为 2 3 1 4 f 11 若函数 4 sin sin 2 sin 2 2cos1 2 xax x x xf的最大值为32 试确定常数 a的值 解 4 sin sin 2 sin 2 1cos21 2 2 xax x x xf 4 sin cossin 4 sin sin cos2 cos2 22 2 xaxxxax x x 4 sin 2 4 sin 4 sin 2 22 xaxax 因为 xf的最大值为 4 sin 32 x的最大值为 1 则 322 2 a 所以 3 a 12 已知函数 2 2sinsin2f xxx 1 若 0 2 x 求使 f x为正值的x的集合 2 若关于x的方程 2 0f xf xa 在 0 4 内有实根 求实数a的取值范围 y x O 2 2 解 1 1 cos2sin2f xxx 12sin 2 4 x 012sin 2 0 4 f xx 2 sin 2 42 x 5 222 444 kxk 3 4 kxk 又 0 2 x 37 0 44 x 2 当 0 4 x 时 2 44 4 x 22 sin 2 322 x 则 0 2 f x 2 0 6 fxf x 方程 2 0f xf xa 有实根 得 2 xfxfa 6 0 a 高考赏析高考赏析 1 本小题满分 13 分 设函数 其中 且的图 2 3cossinf xxxcos x 0 R f x 象在轴右侧的第一个最高点的横坐标为 y 6 I 求的值 II 如果在区间上的最小值为 求的值 f x 5 36 3 本小题 13 分 313 cos2sin2 222 3 sin 2 32 2 632 1 2 f xxx x 解 I 依题意得 解之得 3 2 57 0 3636 1 sin 1 23 513 3622 13 3 22 xx x f x I I 由 I 知 f x si n x 3 又当时 故 从而在上取得最小值 因此